PEE Moduł 8

Wykład 8. Zastosowanie metody operatorowej Laplace’a w analizie stanów nieustalonych

---

8.1 Rachunek operatorowy Laplace’a Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym $s=\sigma +j\omega$, gdzie $\omega$ oznacza pulsację. W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań: $F(s)=L\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$ (8.1) $f(t)=L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi \cdot j}\underset{c-j\omega }{\overset{c+j\omega }{\int }}F(s)e^{st}ds$ (8.1) w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje proste przekształcenie Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie przekształcenie odwrotne dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem (8.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem (8.2) dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a.

---

8.1.1 Podstawowe własności przekształcenia Laplace’a. Z wielu istniejących własności przekształcenia Laplace’a ograniczymy się tutaj do kilku podstawowych, których znajomość jest konieczna do określenia stanów nieustalonych w obwodach RLC. Liniowość przekształcenia Jeśli współczynniki $a_1$ i $a_2$ są dowolnymi stałymi to $L[a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)]=a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)$ (8.3) $L^{-1}[a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)]=a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)$ (8.4) gdzie symbole $L$ i $L^{-1}$ oznaczają odpowiednio transformaty: prostą i odwrotną Laplace’a. Z własności liniowości przekształcenia wynika, że przekształcenie Laplace’a spełnia zasadę superpozycji. Transformata pochodnej funkcji czasu Transformata pochodnej funkcji czasu spełnia relację $L\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0^{+})$ (8.5) W której $f(0^{+})$ oznacza wartość początkową funkcji f(t). Mnożenie funkcji F(s) przez zmienną zespoloną s odpowiada w dziedzinie czasu różniczkowaniu funkcji. Stąd operator s nazywany jest operatorem różniczkowania. Transformata całki funkcji czasu Transformata całki funkcji czasu spełnia relację $L[\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau ]=\frac{F(s)}{s}$ (8.6) Pomnożenie funkcji F(s) przez 1/s odpowiada w dziedzinie czasu całkowaniu funkcji. Stąd operator s-1 jest nazywany również operatorem całkowania. Transformata splotu Splot stanowi ważne pojęcie w teorii obwodów, gdyż za jego pośrednictwem określa się odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu $f_1(t)$ i $f_2(t)$ oznaczony w postaci $f_1(t)*f_1(t)$ jest zdefiniowany w następujący sposób $f_1(t)*f_1(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau =$ $=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )d\tau$ (8.7) Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych funkcji tworzących splot $L[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s)$ (8.8)

---