GKIW Moduł 4

Przekształcenia 2D, zapis macierzowy

Współczesna grafika komputerowa operuje na milionach elementów (punktów, trójkątów). Przy tak dużej liczbie zachodzi konieczność opisania operacji geometrycznych w taki sposób, aby ich wykonanie było z jednej strony efektywne, a z drugiej, aby opis był prosty i ujednolicony. Takie warunki spełnia opis macierzowy.

Niech $P = {[\begin{matrix} x_{p} & y_{p} \end{matrix}]}^{T}$ opisuje położenie punktu na płaszczyźnie. Najprostszym rozwiązaniem byłoby przyjęcie, że macierz $M (2 \times 2)$ opisuje przekształcenie punktu $P$ na $P^{'}$ i że $P^{'} = M \cdot P$

Przekształcenia 2D, obrót, problem przesunięcia I

Można zastanowić się nad tym, czy takie podejście do problemu wystarczy do opisu prostych operacji geometrycznych.

Rozpatrzmy zestaw przekształceń na płaszczyźnie: obrót, skalowanie, przesunięcie (translację).

Można zaproponować macierz 2x2, która, opisuje obrót punktu wokół początku układu współrzędnych.

Analogiczny opis można zaproponować dla operacji skalowania.

Przekształcenia 2D, obrót, problem przesunięcia II

Niech $M_{T 1} = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ . Niech wektor $P = [\begin{matrix} T_{X} & T_{Y} \end{matrix}]$ opisuje translację punktu na płaszczyźnie.

Czy można znaleźć takie a, b, c, d, aby $M_{T 1} = [\begin{matrix} x_{p} + T_{X} \\ y_{p} + T_{Y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} \end{matrix}]$ dla $T_{X} \neq 0$ i $T_{Y} \neq 0$ .

Widać że nie jest to możliwe dla współrzędnych dowolnego punktu. Na dodatek punkt $P = {[\begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ byłby punktem stałym takiego przekształcenia.

Jak zatem opisać translację na płaszczyźnie?

Operację tę można opisać macierzą $M = [\begin{matrix} 1 & 0 & T_{X} \\ 0 & 1 & T_{Y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Między współrzędnymi zachodzi następujący związek:

M = [\begin{matrix} X_{p}^{'} \\ Y_{p}^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & T_{X} \\ 0 & 1 & T_{Y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} X_{p} \\ Y_{p} \\ 1 \end{matrix}]

i jest to równoważne opisowi translacji o wektor w postaci układu równań:

{\begin{cases} x_{p}^{'} = x_{p} + T_{X} \\ y_{p}^{'} = y_{p} + T_{Y} \end{cases}

Tak wykonana operacja wymaga użycia współrzędnych jednorodnych.

Współrzędne jednorodne znormalizowane

Niech $x_{p}, y_{p}, z_{p}$ , opisują położenie punktu w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych. W grafice komputerowej do opisu położenia oraz opisu operacji (transformacji geometrycznych), którym punkty będą podlegały, jest używany układ współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. Dzięki temu wszystkie stosowane transformacje geometryczne mogą być opisane w identyczny sposób za pomocą mnożenia macierzowego. Jeśli współrzędne $x_{p}, y_{p}, z_{p}$ opisują położenie punktu, to odpowiada temu wektor $P = {[\begin{matrix} x_{p} & y_{p} & z_{p} & 1 \end{matrix}]}^{T}$ we współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. We współrzędnych nieznormalizowanych wektor ten miałby postać $P = {[\begin{matrix} \tilde{x_{p}} & \tilde{y_{p}} & \tilde{z_{p}} & \tilde{N} \end{matrix}]}^{T}$ dla $\tilde{N} \neq 0$ . Przy czym $x_{p} = \frac{\tilde{x_{p}}}{\tilde{N}}$ , $y_{p} = \frac{\tilde{y_{p}}}{\tilde{N}}$ , $z_{p} = \frac{\tilde{z_{p}}}{\tilde{N}}$ , co nosi nazwę operacji normalizacji.

Zastosowanie w przypadku przesunięcia na płaszczyźnie współrzędnych jednorodnych można sobie wyobrazić jako umieszczenie płaszczyzny, na której pracujemy, w trójwymiarowym układzie współrzędnych, w taki sposób, aby nie przechodziła ona przez początek układu (tzn. dla $z = h_{z} \neq 0$ ). Wtedy analogiczne opisanie operacji translacji na płaszczyźnie (ale już jako macierz 3x3) da poprawne rozwiązanie, gdyż punkt stały – początek układu współrzędnych jest poza płaszczyzną, na której jest wykonywana operacja. Jednocześnie, aby wynik operacji znajdował się na tej samej płaszczyźnie, najprościej operować na współrzędnych znormalizowanych, czyli pracować na płaszczyźnie $z = 1$ .

Gdyby operacja normalizacji nie została wykonana mogłoby się zdarzyć, że wynik operacji leżałby na innej płaszczyźnie – a to nie miałoby sensu

A zatem zawsze jeśli wynik operacji będzie nieznormalizowany zostanie przeprowadzona operacja normalizacji.

Analogicznie dla przekształceń trójwymiarowych można wyobrazić sobie umieszczenie przestrzeni 3D i trójwymiarowego układu współrzędnych wewnątrz układu czterowymiarowego, tak aby nie zawierał on początku układu współrzędnych..

Przekształcenia 2D

Niech położenie punktu o współrzędnych $(x_{p}, y_{p})$ na płaszczyźnie reprezentuje wektor P :

P = [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} \\ 1 \end{matrix}]

Jeśli macierz M opisuje pewną transformację geometryczną to operację tę można opisać następująco:

P^{'} = M \cdot P

czyli:

[\begin{matrix} x_{p}^{'} \\ y_{p}^{'} \\ 1 \end{matrix}] = M \cdot [\begin{matrix} x_{p} \\ y_{p} \\ 1 \end{matrix}]

gdzie P' opisuje położenie punktu po przekształceniu. Oczywiście, jeśli wynik mnożenia macierzy jest nieznormalizowany, to należy dokonać normalizacji.

W grafice komputerowej operacje na płaszczyźnie opisuje macierz 3x3.

Można powiedzieć, że macierz M definiuje liniowe funkcje określające każdą ze współrzędnych punktu tzn.:

GKIW Moduł 4

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia