Analiza matematyczna 2/Test 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Dany jest ciąg funkcyjny $\{f_n\},$ gdzie $f_n(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\in [n,n+1]\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\in \mathbb{ℝ}\setminus [n,n+1]\end{array}$    dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do $f(x)\equiv 0$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do $f(x)\equiv 0$ Źle

zbieżny punktowo do funkcji $f(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\ge 1\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x<0\end{array}$ Źle

Dany jest ciąg funkcyjny $\{f_n\},$ gdzie

$f_n(x)=\{\begin{array}{lll}\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x>0\\ \\ \frac{2-n^x}{2+n^x}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x<0\\ \\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x=0\\ \end{array}$    dla $n=1,2,\dots$

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie Źle

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie Dobrze

rozbieżny Źle

Dany jest ciąg funkcyjny $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$ dla $x\ge 0.$ Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła Dobrze

Dany jest szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)},x\in \mathbb{ℝ}.$ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)\equiv 0.$ Źle

zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ takiej, że $0<f(x)<3$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}$ Źle

Funkcja $f(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}.$ Granica $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$ wynosi

$\frac{1}{10}$ Dobrze

$\sqrt{3}$ Źle

$0$ Źle

Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(x^4+4)}$ jest

zbieżny punktowo Źle

zbieżny jednostajnie Źle

rozbieżny Dobrze

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji $f(x)=\cos 2x$ to

$-\frac{2^6}{6!}$ Źle

$\frac{2^6}{6!}{x}^6$ Źle

$\frac{-4}{45}{x}^6$ Dobrze

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $f(x)=\frac{1}{2+x}$ o środku w $x_0=0$ wynosi

$\frac{-1}{64}{x}^6$ Źle

$\frac{-1}{64}{x}^5$ Dobrze

$\frac{1}{2}{x}^6$ Źle

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\sqrt{x}$ ośrodku w $x_0=1.$ Współczynnik przy $x$ wynosi

$\frac{15}{16}$ Dobrze

$\frac{5}{16}$ Źle

$\frac{1}{16}$ Źle