Test GR4

555555555555555555555555555555555555555555555555555555

Test sprawdzający

Poznana definicja prawdopodobieństwa warunkowego\linebreak $P(W|Z)$ zakłada, że:

oba zdarzenia $W$ i $Z$ mają prawdopodobieństwa dodatnie. Źle

przynajmniej jedno z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo dodatnie. Źle

zdarzenie $Z$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. Dobrze

zdarzenie $W$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. Źle

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia te są rozłączne. Źle

Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są zależne. Źle

Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są niezależne. Źle

Jeżeli $P(B|A)=P(A)$, to zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne. Źle

Rzucamy trzema kostkami do gry. Zdarzenie $A$ oznacza, że wśród uzyskanych oczek nie ma "szóstki", zaś zdarzenie $B$ -- że na co najmniej jednej kostce wypada "jedynka". Wtedy $P(A|B)$:

równa się $\frac{61}{91}$. Dobrze

równa się $\frac{127}{216}$. Źle

jest mniejsze od $\frac{1}{2}$. Źle

jest większe od $\frac{2}{3}$. Dobrze

Trzy oddziały pewnej firmy produkują monitory komputerowe, które następnie są centralnie testowane: 40\% monitorów pochodzi z oddziału $A$, gdzie wadliwość wynosi 3\%, 30\% monitorów pochodzi z oddziału $B$, gdzie wadliwość wynosi 1\%, zaś pozostałe monitory pochodzą z oddziału $C$, który ma 0\% wadliwości. Wiemy, że losowo wybrany monitor przeszedł pozytywnie test. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został on wyprodukowany w oddziale $C$?

Około 3\%. Źle

Ponad 30\%. Dobrze

Więcej niż 50\%. Źle

$\frac{60}{197}$. Dobrze

Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi $0.4$, dwiema złączonymi zapałkami -- $0.6$, zaś trzema złączonymi zapałkami -- $0.8$. Jaką wybrać strategię?

Używać pojedynczych zapałek. Źle

Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki. Źle

Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę. Źle

Użyć od razu trzy zapałki. Dobrze

W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $0.2$. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?

Uzyskanie 2 sukcesów. Źle

Uzyskanie 3 sukcesów. Źle

Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów. Dobrze

Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów. Źle

66666666666666666666666666666666666666666666666666

Test sprawdzający

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę. Dobrze

Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym. Źle

Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą. Dobrze

Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą. Dobrze

Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:

$x_i=1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. Źle

$x_i=0,1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. Dobrze

$x_i=0,1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. Źle

$x_i=1,2,3,4,5,6$; \ $p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. Źle

Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

$P(X>1)<\frac{1}{2}$. Źle

$P(X=1)=\frac{2}{e^{-1}}$. Źle

$P(X>1)>\frac{3}{4}$. Źle

$P(X>-1)<1$. Źle

Zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny na odcinku $(-1,1)$. Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej $X^2$:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le -1\\ \frac{1}{2}{x}^2& \text{dla }-1<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ Źle

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le 0\\ \frac{1}{3}{x}^2& \text{dla }0<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ Źle

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le -1\\ \frac{1}{\sqrt{|x|}}& \text{dla }-1<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ Źle

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le 0\\ \frac{1}{2\sqrt{x}}& \text{dla }0<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ Dobrze

Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech $X$ oraz $Y$ oznaczają liczby oczek otrzymanych w rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

$P(X>Y)=P(X<Y)$. Dobrze

$P(X=Y)=0.172$. Dobrze

$P(X>Y)=0.414$. Dobrze

$X$ oraz $Y$ są zależnymi zmiennymi losowymi. Źle

Czy z niezależności zmiennych losowych $\xi$ oraz $\eta$ wynika, że:

niezależne są zmienne losowe $\xi +\eta$ oraz $\xi -\eta$? Źle

niezależne są zmienne losowe $3\xi$ oraz $-\eta$? Dobrze

niezależne są zmienne losowe ${\xi }^2$ oraz ${\eta }^2$? Dobrze

niezależne są zmienne losowe $\max (\xi ,\eta )$ oraz $\xi +\eta$? Źle

7777777777777777777777777777777777777777777777777

Test sprawdzający

Niech $X$ oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka"

wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:

    $\mathbb{𝔼}(X)=3.2$. {N}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(X)=6.25$. {N}
    średni błąd $X$ wynosi  $2.32$. {N}
    $q_{0.9}=6$. {N}

Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy $w$ zł, a otrzymujemy $a$ zł za wyciągnięcie asa,

15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz $x$ zł za wyciągnięcie karty mającej $x$ oczek. Gra jest sprawiedliwa,
gdy:

    $a=5$, $w=8$. {T}
    $a=10$, $w=7$. {N}
    $a=100$, $w=15$. {N}
    nigdy nie jest sprawiedliwa. {N}

Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

    $\mathbb{𝔼}(X)=2$. {T}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(X)=2$. {T}
    średni błąd $X$ wynosi $8e^{-2}$. {T}
    $q_{0.5}\approx 1.68$. {T}

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. {N}
    Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana. {T}
    Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru. {T}
    Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją
   i są skończone. {N}

Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku $(0,1)$, a następnie utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech $X$ będzie długością tej łamanej. Wtedy:

    $P(|X-2|>1)\le \frac{1}{3}$ {T}
    $P(|X-2|<\sqrt{3})\ge \frac{8}{9}$  {T}
    $P(|X-2|<2)\ge 1$  {T}
    $P(X=2)=0$  {T}

Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:

$(48\mathrm{\%}$ liczby rzutów $,52\mathrm{\%}$ liczby rzutów $),$

z prawdopodobieństwem $0.99$ lub większym?

    Co najmniej 1 000 000 razy. {N}
    Wystarczy rzucić 100 000 razy. {T}
    Dokładnie 4 250 razy. {N}
    Na przykład 62 500 razy. {T}

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Test sprawdzający

Z urny zawierającej $L_n$ niebieskich i $L_c$ czarnych kul losujemy $k$ kul. Niech $N$ oraz $C$ oznaczają liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:

    $N$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {N}
    wektor losowy  $(N,C)$ ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {T}
    $\mathbb{𝔼}(N)=\frac{k{L}_n}{L_n+L_c}$, gdy losowanie odbywa się bez zwracania. {T}
    $C$ ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a
       liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie.  {T}

Niech $X$ ma rozkład Poissona o parametrze $\lambda =4$. Wtedy:

    $P(X=0)\approx 0.018$. {T}
    $P(X\le 7)\approx 0.99$. {N}
    $P(X>4)\approx 0.37$. {T}
    $P(1<X\le 5)\approx 0.69$. {T}

Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział $[a,b]$ taki, że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym

przedziale.

    $a=7$, $b=20$. {N}
    $a=0$, $b=14$. {N}
    $a=5$, $b=15$. {T}
    $a=6$, $b=16$. {T}

Prawdopodobieństwo $q$ tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach jest:

    w przybliżeniu równe $0.35$. {N}
    w przybliżeniu równe $0.24$. {T}
    mniejsze niż $0.5$. {T}
    większe $0.5$. {N}

Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi $0.005$. Zakładając, że awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo $Pr$ tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co

najmniej dwie awarie.

    $Pr>0.8$. {N}
    $Pr<0.5$. {N}
    $Pr\approx 0.4943$. {N}
    $Pr>0.7$. {T}

Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka

ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość
oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?

    24 minuty. {T}
    2.5 godziny. {N}
    20 minut. {N}
    12 minut. {N}

999999999999999999999999999999999999999999999999

Test sprawdzający

Liczba $q\approx 3.5631$ jest kwantylem rzędu $p=0.9$ rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$, gdy:

    $m=2$, $\sigma =1$. {N}
    funkcja $F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{x}{2}-0.5)$
   jest dystrybuantą rozkładu $N(m,\sigma )$. {T}
    $\mathrm{\Phi }(q)=p$. {N}
    ${\mathrm{\Phi }}_{m,\sigma }(1)=0.5$.  {T}

Niech $X_1,X_2,\dots ,X_n$ będą zmiennymi losowymi o rozkładach $N(0,1),N(0,2),\dots ,N(0,n)$ oraz

niech:

$Y=X_1+\frac{X_2}{2}+\dots +\frac{X_n}{n}.$

Wówczas:

    $\mathbb{𝔼}(Y)=0$. {T}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(Y)=n$. {N}
    $Y$ ma rozkład $N(0,\sqrt{n})$. {N}
    $Y$ ma rozkład $N(0,n)$. {N}

Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?

    Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {N}
    Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
    Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
    Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}

Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi 0.1\%. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby mieć co najmniej 99\% pewności, że wśród nich są przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?

    2 000 osób. {N}
    3 000 osób. {T}
    2 110 osób lub mniej. {N}
    2 106 osób. {N}

Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(124,10)$, wybrano losowo 10 000 osób. Niech $Pr$ oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od średniej dla całej populacji. Wówczas:

    $Pr\approx 0.7$. {T}
    $Pr\in (0.6,0.7)$. {T}
    $Pr>0.7$. {N}
    $Pr\approx 0.5$. {N}

Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż
       dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru. {T}
    Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została
   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
    Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została
   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
    Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną. {N}

101010101010101010101010101010101010101010101010

Test sprawdzający

W przykładzie Uzupelnic markov13| przestrzenią stanów jest:

    zbiór liczb całkowitych. {T}
    zbiór liczb rzeczywistych. {N}
    zbiór liczb naturalnych. {N}
    zbiór $\{-1,0,1\}$. {N}

Niech ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\dots$ oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

$X_0=0$ oraz $X_i=X_{i-1}+{\xi }_i$ dla $i=1,2,3,\dots .$

Wtedy ciąg zmiennych losowych $\{X_i\}$ jest

łańcuchem Markowa, w którym:

    przestrzeń stanów $E$ jest zbiorem liczb naturalnych $0,1,2,\dots$ {T}
    $\mathbf{𝐩}(k,k)=0$ oraz $\mathbf{𝐩}(k,k+1)=\mathbf{𝐩}(k,k+6)$ dla każdego $k\in E$. {T}
    każde dwa stany się komunikują. {N}
    suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia $\mathbf{𝐏}$ jest równa 1. {T}

Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

$\mathbf{𝐏}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& 0\end{array}\right].$

Wtedy:

    łańcuch ten jest powracający. {T}
    łańcuch ten jest nieredukowalny. {T}
    łańcuch ten jest okresowy. {N}
    łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych $\frac{2}{3}$ i
       $\frac{1}{3}$. {T}

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów $E\subset \mathbb{ℝ}$, to także ciąg
       $X_n^2$ jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów $E$. {N}
    Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny. {N}
    Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny. {N}
    Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia $\mathbf{𝐏}$ pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten
       jest nieredukowalny. {T}

Niech $X_n$ będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla $k=3$. Wtedy:

    łańcuch $X_n$ ma skończony zbiór stanów. {T}
    łańcuch $X_n$ jest nieredukowalny. {T}
    łańcuch $X_n$ jest powracający. {T}
    łańcuch $X_n$ jest okresowy. {N}

Niech $X_n$, $n=0,1,2,3,\dots$, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie $Q$.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki. {N}
Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze
   macierzy przejścia są sobie równe. {T}
Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie
   kolumny macierzy przejścia są sobie równe. {N}
Ciąg $X_n$ nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne). {N}

111111111111111111111111111111111111111111111111

Test sprawdzający

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie

dwupunktowym

$(0,1,p)$

:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{n+1}{n}\overline{X}$ oraz $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.$

Wówczas:

    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- asymptotycznie nieobciążonym. {T}
    $S$ nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. {N}
    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- obciążonym. {N}
    $T$ jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. {N}

Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru $\alpha$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $(0,\alpha )$:

$T(X_1,\dots ,X_n)=(n+1)\min \{X_1,\dots ,X_n\}.$

    $T$ jest obciążony. {N}
    $T$ jest asymptotycznie nieobciążony. {T}
    $T$ jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. {N}
    $T$ jest nieobciążony. {T}

Przeprowadzono $n$ prób Bernoulliego $X_1,\dots ,X_n$ , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru $p$?

    Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". {N}
    $\frac{k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {T}
    $\frac{n-k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {N}
    $\sum \frac{X_i}{n}$. {N}

Jeżeli estymator $S(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem zgodnym parametru $\theta$, to:

    $S(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{s}{⟶}\theta$ (symbol
       $\stackrel{s}{⟶}$ został wprowadzony w uwadze Uzupelnic usz|). {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S(X_1,\dots ,X_n)}{n}=\theta \}\right)=1$. {N}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=\theta \}\right)=1$. {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=0\}\right)=1$. {N}

Próbka prosta:

$0,2,1,2,5,0,3,4,4,2$

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda >0$. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru $\lambda$?

    $3.0$. {N}
    $2.3$. {T}
    $3.1$. {N}
    $2.4$. {N}

Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

$2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. {N}
    Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". {T}
    Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
   wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. {N}
    Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to  prawdopodobieństwo
   otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1\%. {T}

121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Test sprawdzający

Rozważmy funkcję $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$, określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

    nie istnieje wartość największa funkcji $f$. {N}
    funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.  {T}
    wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. {N}
    wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. {T}

Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x),$

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

    $S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
   wartości oczekiwanej. {T}
    $\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. {T}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n+1}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

Wiek || $10$ || $30$ || $80$

Liczba chorych || $1$ || $5$ || $9$

.

\endcenter Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

    $\theta >\frac{1}{80}$. {N}
    $\theta =0.01$. {N}
    $\theta \in (0.01,0.0125)$. {N}
    żadne z powyższych. {T}

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

    $\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $\frac{n+1}{n}\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $2\overline{X}$. {N}
    $\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {T}

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    $\hat{p}<0.5$. {T}
    $\hat{p}<0.4$. {N}
    $\hat{p}=0.4$. {T}
    $\hat{p}>\frac{2}{5}$. {N}

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

    $\hat{m}=2.9$. {N}
    $\hat{\lambda }=\frac{10}{29}$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. {N}
    $\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {N}
    $\hat{\lambda }\approx 0.35$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {T}

131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

Test sprawdzający

Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $(a,b)$ będzie $95\mathrm{\%}$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

    $b-a\in (0.1,0.11)$. {T}
    $a\approx -0.1$. {N}
    $a\approx -0.0143$, $b=0.1$. {N}
    $|a-b|\le 0.1$.  {N}

Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $0.01^{\circ }$C?

    2 670. {T}
    3 000. {T}
    2 000. {N}
    2 652. {N}

Do weryfikacji pewnej hipotezy ${\mathrm{H}}_0$ użyto statystyki testowej $U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości ${\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}$, jest rozkładem Studenta o $10$ stopniach swobody, otrzymując $U\approx 1.812$ oraz wartość-$p$ w przybliżeniu równą $0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $K$, którego użyto w tym teście?

    $K=[-a,a]$. {N}
    $K=(-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })$. {N}
    $K=[a,\mathrm{\infty })$. {T}
    $K=(-\mathrm{\infty },a]$. {N}

Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $H_0:\mu =124$, przy alternatywie $H_1:\mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Wynik testu sugerował odrzucenie $H_0$ na korzyść $H_1$. {T}
    Nie byłoby podstaw do odrzucenia $H_0$, gdyby $\alpha$ było równe $\frac{1}{10000000}$. {T}
    Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy $H_0$. {N}
    Wartość-$p$ wyniosła w tym teście około $0,00000029$. {N}

Testujemy pewną hipotezę $H_0$, wykorzystując statystykę $T$ oraz zbiór krytyczny $K$. Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

    $P(T\notin K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $P(T\notin K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}
    $P(T\in K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $1-P(T\in K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}

Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

A	B	C	D	E
35 || 45 || 40 || 50 || 30

\endcenter Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą $6.5$. {N}
    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $K=(a,\mathrm{\infty })$, gdzie $a\approx 0.297$. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. {T}

14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Test sprawdzający

Na bazie próbki prostej:

$-0.75,-0.03,-0.72,-0.6,$

pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module metod wyznaczono $4$-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:

$f(x)=0,25{\mathrm{I}}_{[0,1]}+0,75{\mathrm{I}}_{(1,2]}.$

Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.

    $1.96,1,-0.29,-0.13$. {T}
    $1.67,0.12,-0.29,-0.13$. {N}
    $1,0.12,1.63,1.47$. {N}
    $1.47,1.63,0.12,1.67$.  {T}

W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:

$X_{n+1}=a{X}_n+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),$

z pewnością nie da zadowalających rezultatów?

    $a=b=p$. {T}
    $b=0$, $a\ne p$. {N}
    $b=0$, $X_0=p^2$ . {T}
    $a\ne b$, $X_0>0$. {N}

Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu $N(m,\sigma )$ ($m$ i $\sigma$ -- znane), można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(a,b)$ ($a$ i $b$ -- dowolne)?

    Tak. {T}
    Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $a=0$ i $b=1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =b=1$ i $a=0$. {N}

Które z poniższych funkcji są jądrami?

    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x|,& |x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x-1|,& 0<x<2\\ 0,& x\le 0\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">lub</mrow>}x\ge 2\end{array}$. {N}
    $K(x)=\frac{1}{2}\cos x\cdot I_{[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}(x)$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2},& |x|<2\\ 0,& |x|\ge 2\end{array}$. {N}

Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie 10 replikacji próbki:

$4,1,1,$

może być:

    $0.535$. {N}
    $2.275$. {T}
    $4.12$. {N}
    $2.271$. {N}

Dla próbki prostej:

$1,3,2,3,4,2,5,$

otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości $\hat{f}$ taki, że $\hat{f}(2)=\frac{1}{4}$. Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?

    $\frac{6}{7}$. {N}
    $\frac{8}{7}$. {N}
    $2$. {T}
    $0.1$. {N}