Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 9

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T9.1. Dane są macierze

$A=\left[\begin{array}{rr}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 2& -2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{rr}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{rr}-4& -5\\ 2& 3\end{array}\right].$

Macierze $A$ i $B$ są podobne. {F}

Macierze $A$ i $C$ są podobne. {F}

Macierze $B$ i $C$ są podobne. {F}

$D=C^{-1}BC$. {T}

T9.2. Dana jest macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}8& -2& 4\\ -1& 3& -1\\ -5& 1& -1\end{array}\right].$

Liczba $4$ jest wartością własną macierzy $A$. {T}

Wektor $(1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $A$. {T}

Wektor $(1,-1,-2)$ jest wektorem własnym macierzy $A$ odpowiadającym wartości własnej $4$. {F}

Wielomian $-(8-\lambda )(3-\lambda )(1+\lambda )$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy $A$. {F}

T9.3.Dana jest macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& 0\\ -1& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\in M(3,3;\mathbb{ℂ}).$

Liczba $1-\text{i}$ jest wartością własną macierzy $A$. {T}

Liczba $2+\text{i}$ jest wartością własną macierzy $A$. {F}

Wektor $(\text{i},-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $A$. {T}

Wektor $(1,-1,1)$ jest wektorem własnym macierzy $A$. {F}

T9.4. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (-x+2y,2x-y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ i niech

$A=\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -3\end{array}\right].$

Liczba $-1$ jest wartością własną endomorfizmu $f$. {F}

$U=\{(t,-t);t\in \mathbb{ℝ}\}$ jest podprzestrzenią $f$ - niezmienniczą przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. {T}

Istnieje baza przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $f$. {T}

$A$ jest macierzą endomorfizmu $f$ w pewnej bazie przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. {T}

T9.5. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (5x-y,9x-y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ i niech

$A=\left[\begin{array}{rr}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right].$

Wektory $(1,3)$ i $(0,-1)$ stanowią bazę Jordana endomorfizmu $f$. {T}

$A$ jest macierzą Jordana endomorfizmu $f$. {F}

$U=\{(t,t);t\in \mathbb{ℝ}\}$ jest podprzestrzenią $f$ - niezmienniczą przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. {F}

Istnieje baza przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $f$. {F}

T9.6. Niech $A,B\in M(2,2;\mathbb{ℝ})$.

Jeśli tr\, $A=$ tr\, $B$, to $A$ i $B$ są podobne. {F}

Jeśli $A$ i $B$ są podobne i $A$ jest odwracalna, to $B$ jest odwracalna. {T}

Jeśli $A$ i $B$ są podobne, to det\, $A=$ det\, $B$. {T}

Jeśli $A$ i $B$ są podobne, to $AB=BA$. {F}