Test GR4

22222222222222222222222222222222222222

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja $x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

tak, nie, nie

Funkcja $x\to x+\ln (\sin x)$

ma punkty krytyczne postaci $\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5\pi }{2},3\pi )$. Źle

 nie, nie, nie

Niech $f(x)=x^m(1-x{)}^n$ dla pewnych

liczb naturalnych $m,n$. Wtedy

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0,1)$ Dobrze

funkcja $f$ może mieć dwa minima. Dobrze

 nie, tak, tak

Liczba $\frac{\pi }{2}$ jest największą wartością funkcji

$x\mapsto x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ w przedziale $[0,1]$ Dobrze

$x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ w przedziale $[1,+\mathrm{\infty })$ Dobrze

$x\mapsto (1-x)\arccos x$ w przedziale $[0,1]$. Dobrze

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$. Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $a=3$ i $b=8$, to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$ Dobrze

jeśli $a=b$, to $x=\frac{a}{6}$ Dobrze

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne. Źle

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy $C^2$ jest funkcja

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^4\cos \frac{1}{x},& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ne 0\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x=0\end{array}$ Dobrze

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}-x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$ Źle

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ -x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$. Dobrze

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest

$[+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$ Dobrze

$\left[1^{+\mathrm{\infty }}\right]$ Dobrze

$\left[0^{-\mathrm{\infty }}\right]$. Źle

tak, tak, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^3}$

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala Dobrze

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^6}$ Źle

jest równa 0. Źle

tak, nie, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln x$

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }(1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x})$ Źle

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }1\cdot \frac{1}{x}$ Źle

jest równa 0. Dobrze

nie, nie, tak

Granica $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln x}$

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ Dobrze

jest równa $1$ dla $m=2$ Źle

jest równa $0$ dla pewnego $m$. Dobrze

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala prawdziwa jest równość

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{10x+3}{4x-7}$ Źle

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x+\cos x}{2x-\sin x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-\sin x}{2-\cos x}$ Źle

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{2x}$ Źle

   nie, nie, nie

Funkcja $f(x)=2x\arccos \frac{1}{x}$

ma asymptotę pionową $x=0$ Źle

ma asymptotę ukośną $y=\pi x-2$ w plus lub minus nieskończoności Dobrze

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności. Źle

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja

Źle

$x\mapsto \ln \frac{1}{x}$ jest wklęsła

Dobrze

$x\mapsto \cosh x$ jest wypukła

Źle

$x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja $f$ jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0,+\mathrm{\infty })$. Wtedy:

Dobrze

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f^{\prime }$ jest rosnąca.

Dobrze

Jeśli $f^{\prime }$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła.

Źle

Jeśli $f^{″}(1)=0$, to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia. tak, tak, nie

Funkcja $f(x)=x^3+12\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ jest
 

Dobrze

wypukła w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$

Dobrze

wklęsła w przedziale $(-\mathrm{\infty },-1)$

Źle

wypukła w przedziale $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

 tak, tak, nie

Funkcja $x\mapsto x\arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

Źle

$(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$

Dobrze

$(-\frac{\pi }{2},0)$

Dobrze

$(5\pi ,6\pi )$.

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w

przedziale $(0,1)$, to

Źle

funkcja $f^2(x)=(f(x){)}^2$ też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja $f^3(x)=(f(x){)}^3$ też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja $(0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech $x,y,z$ będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

Dobrze

$xyz\le \frac{(x+y+z{)}^3}{27}$

Dobrze

$e^{\frac{2x+y}{3}}\le \frac{2}{3}(e^x+e^y)$

Dobrze

$2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{2x+y+z}{4}\le \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}y+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z)$.

tak, tak, tak