Analiza matematyczna 1/Test 5: Obliczanie granic

\newtheorem*{stre}{Streszczenie} \newtheorem*{wsk}{Wskazówka} \newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} \newtheorem*{textt}{} \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{stw}[thm]{Stwierdzenie} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{uwa}[thm]{Uwaga} \newtheorem{exa}[thm]{Example} \newtheorem{dfn}[thm]{Definicja} \newtheorem{wn}[thm]{Wniosek} \newtheorem{prz}[thm]{Przykład} \newtheorem{zadan}[thm]{Zadanie}

\le{\leqslant} \ge{\geqslant}

Ciągi liczbowe. Obliczanie granic. Test

\bzad

 O ciągu $\{a_n\}$ wiadomo, że
 $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_{2n}=1$ oraz $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_{2n+1}=-1.$
 Wynika stąd, że

 (a) ciąg $\{a_n\}$ ma granicę niewłaściwą

 (b) ciąg $\{a_n\}$ jest ograniczony

 (c) ciąg $\{a_n\}$ nie jest monotoniczny

\ezad

 nie, tak, tak

\bzad

 Granicą ciągu
 $\left\{{\left(\frac{1+n^2}{2n^2}\right)}^{n^2}\right\}$
 jest

 (a) $0$

 (b) $e$

 (c) $\frac{e}{2}$

\ezad

 tak, nie, nie

\bzad

 Granicą ciągu
 $\left\{{\left(\frac{-1+n^2}{n^2}\right)}^{2n^2}\right\}$ jest

 (a) $e^2$

 (b) $e$

 (c) $\frac{1}{e^2}$

\ezad

 nie, nie, tak

\bzad

 Ciąg
 $(n+2)\sin \frac{\pi }{n}$ zmierza do

 (a) $\pi +2$

 (b) $\pi$

 (c) $\mathrm{\infty }$

\ezad

 nie, tak, nie

\bzad

 Dany jest ciąg

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_n \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} n\cos n\pi \sin \frac{1}{n} & \textrm{dla} & n=2k\\ \displaystyle \frac{n}{\sin \frac{n\pi}{2}} & \textrm{dla} & n=2k+1 \end{array} \right. }

 Punktem skupienia tego ciągu jest 

 (a) $1$

 (b) $-1$

 (c) $-\mathrm{\infty }$

\ezad

 tak, nie, tak

\bzad

 Ciąg $\sqrt[n]{5n^4+n+4^n}$

 (a) nie ma granicy

 (b) jest zbieżny do $4$

 (c) jest rozbieżny do $+\mathrm{\infty }$

\ezad

 nie, tak, nie