Zaawansowane algorytmy i struktury danych/Wykład 4

Abstrakt

Naturalna metoda dodawania dwóch wielomianów wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n)$, natomiast prosty algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia $n$ wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n^2)$. W wykładzie tym pokażemy, jak z wykorzystaniem szybkiej transformaty Fouriera (STF), wykonać wszystkie podstawowe operacje na wielomianach w czasie większym niż $\mathrm{\Theta }(n)$ o czynnik polilogarytmiczny. Pokażemy jak dla wielomianów stopnia $n$:

• mnożyć je w czasie $O(n\log n)$,
• obliczać wielomian interpolacyjny w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• obliczać wartość wielomianu w $n$ punktach w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• dzielić wielomiany w czasie $O(n{\log }^{3}n)$.

Mnożenie wielomianów w punktach

Niech $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ i $B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ będzą wielomianami stopnia $n$ nad ciałem $F$. Wielomiany te możemy jednoznaczne reprezentować poprzez ich wartości w $n$ punktach. Następujące twierdzenie zostało sformułowane w ramach wykładu z Metod Numerycznych.

Twierdzenie [Twierdzenie o interpolacji wielomianów]

Dla dowolnego zbioru $n$ par $X=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}$ takiego, że wszystkie wartości $x_i$ są

parami różne, istnieje jedyny wielomian $C(x)$ stopnia $n$ taki, że $C(x_i)=y_i$ dla $i=0,1,\dots ,n-1.$

Niech $X$ będzie ustalonym zbiorem parami różnych punktów $x_0,\dots ,x_{2n-1}\in F$. Dla tego zbioru punktów możemy wyznaczyć zbiory wartości wielomianów:

$X_A=\{(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1),\dots ,(x_{2n-1},A(x_{2n-1}))\}$

$X_B=\{(x_0,B(x_0)),(x_1,B(x_1),\dots ,(x_{2n-1},B(x_{2n-1}))\}$

Niech $C$ będzie wynikiem mnożenia wielomianów $A$ i $B$, mamy wtedy

$C(x_i)=A(x_i)\cdot B(x_i)$.

Ponieważ stopień wielomianu $C$ jest nie większy niż $2n$ to z Twierdzenia o interpolacji zbiór wartości

$X_{A\times B}=\{(x_0,A(x_0)B(x_0)),(x_1,A(x_1)B(x_1),\dots ,(2x_{n-1},A(x_{2n-1})B(x_{2n-1}))\}$,

jednoznacznie wyznacza wielomian $A\times B$. Mając zbiory $X_A$ i $X_B$ możemy wyznaczyć zbiór $X_C$ w czasie $O(n)$. Procedura ta jest przedstawiona na następującym rysunku:

<flash>file=Zasd_fft1.swf|width=460|height=350</flash>

Jednak aby ostatecznie otrzymać szybszy algorytm niż algorytm naiwny musimy pokazać jak rozwiązać problem obliczania wartości wielomianu w $n$ punktach w czasie szybszym niż $\mathrm{\Theta }(n^2)$. Podobnie musimy umieć obliczać wielomian interpolacyjny dla danego zbioru punktów.

Szybka transformata Fouriera (STF)

Problem obliczania wartości wielomianu w $n$ punktach i problem jego interpolacji rozwiążemy wykorzystując szybką transformatę Fouriera. W poprzednim rozdziale nie zakładaliśmy nic na temat zbioru punktów $X$. Głównym pomysłem w konstrukcji algorytmu STF będzie właśnie wybór odpowiedniego zbioru punktów X tak, aby jak największa ilość wykonywanych obliczeń powtarzała się.

Założymy chcemy obliczyć wartości wielomianu $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ oraz $n$ jest parzyste. Jeżeli $n$ jest nieparzyste to dodajemy na początek $A(x)$ jednomian $0x^{n+1}$ co nie zmienia nam wyniku działania algorytmu. Punkty Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lots”): {\displaystyle X_n = \{x_0,x_1,\lots,x_{n-1}\}} zdefiniujemy w następujący sposób:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_i = e^{\frac{2\pi i}{n}} .

Dla wielomianu $A(x)$ definiujemy dwa nowe wielomiany $A^{[0]}(x)$ i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A^{[1])(x)} poprzez wybranie do nich współczynników $A(x)$ o numerach odpowiednio parzystych i nieparzystych:

$A^{[0]}(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\dots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1}$,

$A^{[1]}(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1}$.

Wielomiany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A^{[0](x)} oraz $A^{[1]}(x)$ są stopnia co najwyżej $\frac{n}{2}$. Co więcej zachodzi:

$A(x)=A^{[0]}(x^2)+x{A}^{[1]}(x^2)$ (1).

Widzimy teraz, że problem ewaluacji wielomianu $A(x)$ w punktach ${\omega }_n^0,{\omega }_n^1,\dots ,{\omega }_n^{n-1}$ sprowadza się do:

• ewaluacji wielomianów $A^{[0]}(x)$ i $A^{[1]}(x)$

w punktach

$X^{\prime }=\{x_0^2,x_1^2,\dots ,x_{n-1}^2\}$.

• a następnie obliczenie wartości $A(x)$wyniku zgodnie ze wzorem (1).

Zauważmy, że z definicji punktów $x_i$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_i^2 = \left(e^{\frac{2\pi i}{n} \right)^2 = e^{\frac{2\pi i}{n/2}} .

Możemy teraz zauważyć, że zachodzi $x_i^2=x_{i+\frac{n}{2}}^2$, a więc $X^{\prime }=X_{\frac{n}{2}}$. Udało nam się więc zredukować problem rozmiaru $n$ --- obliczenia wartości wielomianu $A(x)$ stopnia $n$ w $n$do punktach, do dwóch problemów rozmiaru $\frac{n}{2}$ --- obliczenia wartości wielomianów $A^{[0]}(x)$ i $A^{[1]}(x)$ stopnia $\frac{n}{2}$ w $\frac{n}{2}$ punktach. Możemy teraz zastosować tą technikę rekurencyjne otrzymując następujący algorytm.

Równanie rekurencyjne na czas działania procedury STF wygląda następująco:

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\mathrm{\Theta }(n)=\mathrm{\Theta }(n\log n)$.

Odwrotna transformata Fouriera

Aby zakończyć konstrukcję algorytmu dla szybkiego mnożenia wielomianów pozostaje nam pokazanie jak wykonać obliczyć wielomian interpolujący dla zbioru punktów $X_n$. Obliczenie wykonane w czasie szybkiej transformaty Fouriera możemy przedstawić w postaci macierzowej jako mnożenie macierzy przez wektor $(A(x_0),A(x_1),\dots ,A(x_{n-1}){)}^T=V_n(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$, gdzie $V(x_0,\dots ,x_{n-1})$ jest macierzą Vandermonde'a zawierającą potęgi $x_i$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \left( \begin{array}{c} A(x_0)\\ A(x_1)\\ A(x_2)\\ \vdots\\ A(x_{n-1}) \end{array} \right) = \left[ \begin{array} x_0^0 & x_0^1 & x_0^2 & x_0^3 & \hdots & x_0^{n-1} \\ x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^3 & \hdots & x_1^{n-1} \\ x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & x_2^3 & \hdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n-1}^0 & x_{n-1}^1 & x_{n-1}^2 & x_{n-1}^3 & \hdots & x_{n-1}^{n-1} \\ \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2)\\ \vdots\\ a_{n-1) \end{array} \right) }

Element macierzy $V(x_0,\dots ,x_{n-1})$ dany jest jako

$V(x_0,\dots ,x_{n-1}{)}_{i,j}=x_i^j$.

W celu wykonania operacji odwrotnej do SFT, czyli obliczenia wielomianu interpolacyjnego, musimy wykonać mnożenie $V(x_0,\dots ,x_{n-1}{)}^{-1}(A(x_0),A(x_1),\dots ,A(x_{n-1}){)}^T$.

Korzystając z definicji zbioru $X_n$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle V(x_0,\ldots,x_{n-1})_{i,j} = \left(e^{\frac{2\pi i}{n}\right)^j = e^{\frac{2\pi ij}{n}.}