ED-4.2-m13-1.0-Slajd14
Własności rozkładu SVD
Szczególne znaczenie, z punktu widzenia problemu wymiarowości macierzy TF, ma własność dekompozycji macierzy A na macierze rzędu 1. Niech rząd macierzy A wynos m. Rozkład macierzy A względem wartości szczególnych oznacza, że macierz A można przedstawić w postaci zredukowanej jako sumę iloczynów si * ui * vi (transponowane), po i od 1 do m, gdzie każdy ze składników si*hi*ai jest macierzą rzędu 1. Załóżmy, że rząd macierzy A wynosi m i chcielibyśmy aproksymować macierz A macierzą B o rzędzie k, k < m. Załóżmy, że macierz B jest sumą iloczynów si * ui * vi (transponowane), po i od 1 do k. Błąd aproksymacji macierzy A macierzą B, równą sumie iloczynów si * ui * vi (transponowane), po i od 1 do k, jest równy sumie wartości szczególnych sk+1, sk+2, ..., sm macierzy S w rozkładzie SVD, podniesionych do kwadratu. Stąd, można obliczyć utratę informacji w wyniku aproksymacji.
