Wstęp do programowania / Ćwiczenia 2
To są ćwiczenia z rekurencji.
Zadanie 1 (Labirynt)
Czy istnieje droga miedzy wskazanymi punktami i w labiryncie reprezentowanym przez prostokątną tablicę liczb całkowitych A o rozmiarze n×m, zawierająca zera (droga) i jedynki (ściana)?
Wskazówka 1
Zadanie 2 (Z górki na pazurki)
W tablicy liczb całkowitych o rozmiarze n×m zapisana jest mapa gór (każdy punkt ma podaną dodatnią wysokość). Sprawdzić, czy da się przejść z punktu startowego do docelowego idąc:
- tylko w dół lub po płaskim
- tylko w dół
Wskazówka 1
Zadanie 3 (Wieże Hanoi z ograniczeniami)
Na wykładzie były wieże Hanoi. Ciekawa modyfikacja tego zadania polega na zabronieniu ruchów pomiędzy niektórymi pałeczkami, np. z pierwszej na drugą. Zapisac procedurę realizującą to zadanie przy zabronionych niektórych ruchach.
Uwagi:
1) Duzo latwiej rozwiazac to zadanie przy powyzszym sformułowaniu, niz
gdy powie
sie ze zabroniony jest konkretny ruch (np. 1-> 2).
2) Kiedy to zadanie ma jeszcze rozwiazanie (gdy na kazda wieze i z kazdej wiezy
istnieje co najmniej jeden dozwolony ruch).
3) Jak reprezentowac dozwolone ruchy (TDozwRuchow = array[1..3, 1..3] of boolean,
przekatna nie ma znaczenia).
4) Znow konieczna jest otoczka (dostarcza srodowisko pamietajace dozwolone ruchy,
sprawdza czy w ogole istnieje rozwiazanie).
5) Algorytm:
type Paleczki = 1..3;
procedure Hanoi(Ile: integer; Skad, Dokad: Paleczki; Dozw:
TDozwRuchow);
{...}
procedure Rob(Skad, Dokad, Pom: Paleczki; Ile: Integer);
begin
{Pom oczywiscie jest rowne 6 - skad - dokad, ale chyba z
parametrem jest czytelniej}
if Ile > 0 then
begin
if Dozw[Skad, Dokad]
then
begin
Rob(Skad, Pom, Dokad, Ile-1);
Przenies(Skad,Dokad);
Rob(Pom, Dokad, Skad, Ile-1);
end
else
begin
Rob(Skad, Dokad, Pom, Ile-1);
Przenies(Skad, Pom);
Rob(Dokad, Skad, Ile-1);
Przenies(Pom, Dokad);
Rob(Skad, Dokad, Ile-1);
end
end;
begin {Otoczka}
...
end;
6) Jaki przypadek jest najgorszy i ile trzeba wykonac ruchow (gdy przerwane jest polaczenie
Skad-Dokad w obie strony, 3^ile-1)
Zadanie 4 (Nawroty)
Napisz procedure znajdujaca wszystkie takie rozstawienia 8 hetmanow na
szachownicy, by zadne dwa hetmany sie nie atakowaly.
(rozwiazanie jest ladnie opisane w duzym Wirthcie 155-160, pamitamy w tablicach logicznych
zajetosc kolumn i obu rodzai przekatnych, kolejnego hetmana ustawiamy w
kolejnym
wierszu jesli sie da, jesli nie wracamy). Oczywiscie lepiej uogolnic na
N hetmanow na szachownicy
N*N.
Zadanie 5 (Mnozenie wielomianow stopnia n-1)
Dane sa dwie tablice (array[0..n-1] of real) reprezentujace dwa wielomiany. Nalezy obliczyc iloczyn tych wielomianow metoda dziel-i-zwyciezaj. Zakladamy, ze N jest potega dwojki.
Rozw.
Zamiast rozwiazania naiwnego wymagajacego n^2 mnozen zrobmy troche
lepsze
(aczkolwiek nie najlepsze) polegajace na podzieleniu wielomianow na dwie czesci. Caly pomysl polega na spostrzezeniu, ze jesli zadane wielomiany p(x) i q(x) podzielimy na dolna i gorna czesc (p(x) = p_l(x) + p_h(x)*x^(n/2) i analogicznie q(x)), to ich iloczyn mozna zapisac tak: r_l(x)+(r_m(x)-r_l(x)-r_h(x))*x^(n/2)+r_h(x)*x^n, gdzie r_l(x) = p_l(x)*q_l(x) r_h(x) = p_h(x)*q_h(x) r_m(x) = (p_h(x)+p_l(x))*(q_h(x)+q_l(x)) Czyli potrzebujemy 3 mnozen o polowe mniejszych wielomianow. W sumie uzyskamy liczbe mnozen rzedu n^lg3. Szczegoly mozna znalezc w Sedgewick
Algorithms in C++ 527-530 (lub tegoz autora Algorithms in *)
Uwagi ogolne: - zwrocmy uwage na kolejnosc wyliczania wyrazen logicznych: standard Pascala jej nie definiuje,
zatem AND moze byc liczony tak, ze najpierw liczy sie _oba_ argumenty
a dopiero potem podaje wynik
(nie mozna zakladac krotkiego liczenia od lewej do prawej). Przy
wywolaniach rekurencyjnych
to wazne szczegolnie, bo nie chodzi tylko (czy az) o poprawnosc (if
(i>1) and (tab[i]<>x) jest bledem)
ale o efektywnosc (if droga(i-1,j) or droga(i+1,j) or ... jest
nieefektywne). - podkreslmy wage procedur otoczek: pozwalaja uzytkownikowi i nam widziec nasze procedury z takimi parametrami
jakie sa potrzebne.
Zadanie 6 (Parser)
Dla zadanej poniżej gramatyki języka programowania (będącego uproszczoną wersją Pascala) napisz metodą zejść rekurencyjnych zestaw procedur weryfikujących poprawność programów zapisanych w tym języku. W przypadku napotkania błędu należy wypisać stosowny komunikat i zakończyć działanie. Należy założyć istnienie procedury GetSym(Symbol), która daje kolejny symbol (identyfikator, liczbę, operator (:=,<,>,<=,>=,=,<>), separator (;, ., (, ) ) z wejścia. Należy także zaprojektować odpowiedni typ danych do pamiętania symboli wejściowych.
Gramatyka: W opisie gramatyki występują następujące symbole:
<nieterminal>
terminal
{ coś } wielokrotne (być może 0-krotne) wystąpienie cosia
-> rozdziela lewą część produkcji od prawej
| rozdziela poszczególne produkcje
Jest to trochę roszerzona (o {}) gramatyka bezkontekstowa.
<program> -> <dekl> begin <ciąg instrukcji> end . <ciąg instrukcji> -> <instrukcja> { ; <instrukcja>} <deklaracja> -> var <zmienna> {, <zmienna>} ; <instrukcja> -> while <warunek> do <instrukcja> |
if <warunek> then <instrukcja> else <instrukcja> |
begin <ciąg instrukcji> end |
<zmienna> := <wyrażenie> <warunek> -> <składnik> {and <składnik>} <składnik> -> <czynnik> {or <czynnik>} <czynnik> -> true | false | not <czynnik> | <wyrażenie> <oprel> <wyrażenie> | ( <warunek> ) <wyrażenie> -> <zmienna> | <liczba> <oprel> -> < | <= | > | >= | <> | =
Rozw.
W tym zadaniu chodzi o przećwiczenie metody zejść rekurencyjnych (była na wykładzie). Niestety na razie nie mamy dostatecznie ciekawych typów danych, żeby móc zapamiętać strukturę danych programu (i np. po tem go wykonywać). Tym nie mniej zadanie jest pouczające. Typ danych który ma być wymyślony to rekord z wariantami. Można uatrakcyjnić to zadanie każąc sprawdzać, czy każda użyta zmienna była wcześniej zadeklarowana i czy nie była deklarowana kilkakrotnie (tablica napisów).
