PF Moduł 10

Wprowadzenie Termodynamika statystyczna opisuje układy wielu cząsteczek, z jakich składają się ciała za pomocą wielkości średnich (średnia prędkość, średnia droga, średnia energia itd.) oraz tzw. rozkładów statystycznych. Wiąże mikroskopowe, dane statystyczne o cząsteczkach z makroskopowymi parametrami stanu. Posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa i pozwala wyznaczać najbardziej prawdopodobne kierunki procesów.

---

Pomimo, że Identyczne cząsteczki są w chaotycznym ruchu Wszystkie kierunki ich ruchu są jednakowo prawdopodobne Temperatura jest miarą ich średniej energii kinetycznej Prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń Prędkości poszczególnych cząsteczek są różne w szerokim zakresie wartości. To Rozkład Maxwella opisuje prędkości cząsteczek gazu doskonałego będącego w stanie równowagi termodynamicznej, na który nie działają siły zewnętrzne. Pozwala obliczyć charakterystyczne wartości wielkości średnich: średnią prędkość kwadratową, średnią prędkość i prędkość najbardziej prawdopodobną oraz liczbę cząsteczek o prędkościach zawartych w przedziale wartości od $v$ do $v+dv$. Jeżeli mamy $N$ cząsteczek, to liczba $d{N}_v$ cząsteczek o prędkościach w przedziale od $v$ do $v+dv$ będzie określona wzorem $d{N}_v=N\cdot F(v)\cdot dv$ , gdzie $F(v)$ dane jest wzorem $F(v)={\left(\frac{m_0}{2\cdot \pi \cdot k\cdot T}\right)}^{3/2}\cdot exp(-\frac{m_0\cdot v^2}{2\cdot k\cdot T})\cdot 4\cdot \pi \cdot v^2$

---

Wyprowadzenie wzoru można znaleźć w literaturze. $F(v)={\left(\frac{m_0}{2\cdot \pi \cdot k\cdot T}\right)}^{3/2}\cdot exp(-\frac{m_0\cdot v^2}{2\cdot k\cdot T})\cdot 4\cdot \pi \cdot v^2$ Co jest charakterystyczne w tym rozkładzie $F(v)$ ? Jest to konieczność wystąpienia maksimum ze względu na iloczyn rosnącej parabolicznie i malejącej wykładniczo zależności od $v$ . (Przeanalizuj dokładnie trzy człony wzoru na $F(v)$ . Pierwszy, to czynnik normalizacyjny zawierający wyłącznie wartości stałe, drugi - to człon wykładniczy, ale z ujemną wartością w wykładniku, czyli malejący ze wzrostem prędkości i równy jedynce dla , ostatni - rosnący paraboliczne ze wzrostem prędkości. Rezultat jest zobrazowany na wykresie maxwellowskiej funkcji rozkładu prędkości cząsteczek azotu przy temperaturach: $73K(-200^{\circ }C)$ , $273K(0^{\circ }C)$ , $473K(200^{\circ }C)$. Gdy temperatura rośnie maksimum krzywej rozkładu przesuwa się w stronę większych prędkości i krzywa ulega spłaszczeniu. Pole pod krzywą równe jest całkowitej liczbie cząsteczek w próbce i pozostaje stałe niezależnie od temperatury. Rozkład prędkości cząsteczek w danej temperaturze zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym większa liczba cząsteczek o dużych prędkościach.

---

Dla każdej temperatury można określić prędkość, która występuje najczęściej, czyli najwięcej cząsteczek ma prędkości bliskie tej wartości. Wartość ta odpowiada maksimum rozkładu Maxwella. Prędkość tę nazywamy prędkością najbardziej prawdopodobną, $v_p$ . Można ją określić z matematycznego warunku na maksimum funkcji. $\frac{dF(v)}{dv}{|}_{v=v_p}=0$ Stąd otrzymuje się $v_p=\sqrt{2\cdot k\cdot T/m_0}$ , a więc Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v_p<v_{śr. kw.}} jak to wynika z definicji średniej prędkości kwadratowej (teoria kinetyczna). Korzystając z funkcji rozkładu można obliczyć odpowiednio prędkość średnią (średnia arytmetyczną wszystkich prędkości)

---

Ciśnienie atmosferyczne w danym punkcie nad powierzchnią Ziemi określone jest przez ciężar warstwy powietrza leżącej powyżej tego punktu, powinno zależeć od wysokości. Im większa wysokość, tym mniejsza jest warstwa powietrza, więc i ciśnienie jest mniejsze. Różnica ciśnień $dp$ związana ze wzrostem wysokości $dh$ ma znak ujemny i wynosi $dp=-\rho \cdot g\cdot dh$ gdzie $\rho$ jest gęstością gazu na wysokości $h$ , a $g$ jest przyspieszeniem ziemskim na tej wysokości. Z dobrym przybliżeniem można potraktować powietrze jako gaz doskonały. Dzieląc obustronnie równanie stanu gazu doskonałego dla jednego mola $p|cdotV=R\cdot T$ przez wartość średniej masy molowej powietrza, określonej z uwzględnieniem procentowej zawartości azotu, tlenu i pozostałych gazów w powietrzu, otrzymujemy $p\cdot \begin{array}{c}\underbrace{(V/M)}\\ 1/\rho \end{array}=\frac{R\cdot T}{M}$ , czyli $\rho =\frac{M\cdot p}{R\cdot T}$ Więc możemy napisać, że $dp=-\frac{M\cdot p\cdot g}{R\cdot T}\cdot dh$ Otrzymujemy w ten sposób równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych $\frac{dp}{p}=-\frac{M\cdot g}{R\cdot T}\cdot dh$ Zakładając, że temperatura atmosfery ma wartość stałą (tzw. atmosfera izotermiczna) i pole grawitacyjne jest jednorodne $(g(h)=const)$ możemy łatwo scałkować to równanie otrzymując $lnp=-\frac{M\cdot g\cdot h}{R\cdot T}+lnC$