Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Zadania

Ćwiczenie

Zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe i różniczka w punkcie $(0, 0)$ funkcji

a) f (x, y) = \sqrt{| x y |}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle b) \ \ f(x,y)=\begincases &\frac{xy}{\sqrt {x^2+y^2}} \ \ \text {jeśli}\ \ (x,y)\neq 0, \\ &0, \ \ \text {jeśli}\ \ (x,y)=0. \endcases }

Ćwiczenie

Obliczyć różniczkę funkcji

a) $f (x, y) = x^{2} y + \cos (x + y)$ w punkcie $(\frac{π}{2}, 0)$

b) $f (x, y, z) = (x^{3} y^{2} z, x + y + z, \frac{x y}{z})$ w punkcie $(1, - 1, 1)$

c) $f (x, y, z) = (x^{y}, y^{z})$ w punkcie $(1, 1)$

d) $f (x) = (\ln x, \frac{1}{x^{2}}, \arcsin x)$ w punkcie $\frac{1}{2}$

e) $f (x, y, z) = \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ w punkcie $(1, 1, 1)$ .

Ćwiczenie

Obliczyć różniczkę funkcji złożonej $h = g \circ f$ , gdy

a) $f (x, y) = (x + y, x y)$ , $g (x, y) = (\sin (x + y), \frac{x}{y + 1})$ w punkcie $(0, \frac{π}{2})$

b) $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2$ , $g (x) = (t g x, \arccos x^{2})$ w punkcie $(1, 1)$

c) $f (x, y, z) = (\sin (x - y), \cos (x + y + z), - 1)$ , $g (x, y, z) = \frac{x - y}{y - z}$ w punkcie $(0, 0, 0)$

d) $f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ , $g (x) = (\ln x, \frac{x}{x + 1}, x^{3})$ w punkcie $(1, 1)$ .

Ćwiczenie

Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

a) $f (x, y) = 2 x^{2} + y^{2}$ w punkcie $(1, - 1)$

b) $f (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ w punkcie $(1, 1)$

b) $f (x, y) = \ln (x^{2} + y^{2})$ w punkcie $(0, 1)$ .

Ćwiczenie

Wykazać, że wykresy funkcji $f (x, y) = x y - x^{2} + 8 x - 5$ i $g (x, y) = e^{2 y + x + 4}$ są styczne w punkcie $(2, - 3)$ .

Ćwiczenie

Niech $g : ℝ \to ℝ$ będzie funkcją ciągłą. Obliczyć różniczkę funkcji

f (x, y) = \int_{x}^{y} g (t) d t .

Ćwiczenie

a) Wyznaczyć jakobian odwzorowania

Ψ : (0, \infty) \times ℝ ∋ (r, ϕ) \mapsto (r \cos ϕ, r \sin ϕ) \in ℝ^{2}

w dowolnym punkcie jego dziedziny.

b) Obliczyć jakobian odwzorowania

f : ℝ^{n} ∋ (x_{1}, . . ., x_{n}) \mapsto (\frac{1}{2} x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, x_{1} x_{3}, . . ., x_{1} x_{n}) \in ℝ^{n}

w punkcie $(1, 1, . . ., 1)$ .

Ćwiczenie

Obliczyć różniczkę rzędu drugiego funkcji

a) $f (x, y) = x^{2} y^{3}$

b) $f (x, y, z) = 4 x^{2} + 5 x^{3} + x y z$

c) $f (x, y) = (x y, x^{3} + y^{4})$ .

Ćwiczenie

Obliczyć wartość różniczki $d_{(1, 1)}^{3} f$ na trójce jednakowych wektorów $h = (h_{1}, h_{2})$ , jeśli

a) $f (x, y) = 5 x^{3} + x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

a) $f (x, y) = (2 x + e - 2)^{y}$

b) $f (x, y) = x a r c t g y - 9 y \sqrt[3]{x}$ .

Wskazówki

Wskazówka

Uzupelnic z.am2.06.090| Jak można wyrazić wartość różniczki

$n$ -tego rzędu na $n$ -tce takich samych wektorów?

Rozwiązania i odpowiedzi

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.010| a) Obliczmy pochodną cząstkową

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)

. Mamy

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x} = 0 .

Podobnie obliczmy

\frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = \lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y} = 0 .

Tak więc w punkcie $(0, 0)$ istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0, 0)$ . Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji $f$ istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo $0$ , czyli $d_{(0, 0)} f = 0$ . Z tego wynika, że następująca granica jest równa

0 = \lim_{(k, h) \to (0, 0)} \frac{f (0 + k, 0 + h) - f (0, 0) - \partial_{(0, 0)} f (k, h)}{\sqrt{k^{2} + h^{2}}} = \lim_{(k, h) \to (0, 0)} \frac{\sqrt{| k h |}}{\sqrt{k^{2} + h^{2}}} .

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu $x_{n} = 0, y_{n} = \frac{1}{n}$ dostajemy wartość graniczną $0$ , natomiast dla podciągu $x_{n} = y_{n} = \frac{1}{n}$ dostajemy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0, 0)$ było fałszywe.

b) Rozumujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie. Obliczmy pochodną cząstkową $\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)$ . Mamy

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x} = 0 .

Podobnie obliczmy

\frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = \lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y} = 0 .

Tak więc w punkcie $(0, 0)$ istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0, 0)$ . Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji $f$ istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo $0$ , czyli $d_{(0, 0)} f = 0$ . Z tego wynika, że następująca granica jest równa $0$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac {kh}{\sqrt {k^2+h^2}}}{\sqrt {k^2+h^2}} \\ &=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {kh}{k^2+h^2}. \endaligned }

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu $x_{n} = 0, y_{n} = \frac{1}{n}$ dostajemy wartość graniczną $0$ , natomiast dla podciągu $x_{n} = y_{n} = \frac{1}{n}$ dostajemy $\frac{1}{2}$ . Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje

różniczka funkcji

f

w punkcie

(0, 0)

było fałszywe.

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.020| Różniczka funkcji

f

jest reprezentowana

przez macierz pochodnych cząstkowych tej funkcji.

a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} \left(\frac {\pi}{2},0\right)=\frac {\pi^2}{4}-1. \\ \endaligned }

Tak więc różniczka funkcji jest równa

d_{(\frac{π}{2}, 0)} f (k, h) = [\begin{array}{cc} - 1 & \frac{π^{2}}{4} - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} k \\ h \end{array}] = - k + (\frac{π^{2}}{4} - 1) h .

b) Postępujemy jak w poprzednim przykładzie. Funkcję $f$ możemy zapisać jako zestawienie $f (x, y, z) = (f^{1} (x, y, z), f^{2} (x, y, z), f^{3} (x, y, z))$ , gdzie $f^{1} (x, y, z) = x^{3} y^{2} z$ , $f^{2} (x, y, z) = x + y + z$ , $f^{3} (x, y, z) = \frac{x y}{z}$ . Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f^{1}}{\partial x} & \frac{\partial f^{1}}{\partial y} & \frac{\partial f^{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial f^{2}}{\partial x} & \frac{\partial f^{2}}{\partial y} & \frac{\partial f^{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial f^{3}}{\partial x} & \frac{\partial f^{3}}{\partial y} & \frac{\partial f^{3}}{\partial z} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 3 x^{2} y^{2} z & 2 x^{3} y z & x^{3} y^{2} \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac{y}{z} & \frac{x}{z} & - \frac{x y}{z^{2}} \end{array}] .

Mamy

[\begin{array}{ccc} 3 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} k \\ h \\ l \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 k - 2 h + l \\ k + h + l \\ - k + h + l \end{array}] .

Tak więc różniczka funkcji $f$ w punkcie $(1, - 1, 1)$ jest równa

d_{(1, - 1, 1)} f (k, h, l) = (3 k - 2 h + l, k + h + l, - k + h + l) .

c) Funkcję $f$ możemy zapisać jako zestawienie $f (x, y, z) = (f^{1} (x, y, z), f^{2} (x, y, z))$ , gdzie $f^{1} (x, y, z) = x^{y}$ , $f^{2} (x, y, z) = y^{z}$ . Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f^{1}}{\partial x} & \frac{\partial f^{1}}{\partial y} & \frac{\partial f^{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial f^{2}}{\partial x} & \frac{\partial f^{2}}{\partial y} & \frac{\partial f^{2}}{\partial z} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} y x^{y - 1} & x^{y} \ln x & 0 \\ 0 & z y^{z - 1} & y^{z} \ln y \end{array}] .

Mamy

[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} k \\ h \\ l \end{array}] = [\begin{array}{c} k \\ h \end{array}] .

Tak więc różniczka funkcji $f$ w punkcie $(1, 1, 1)$ jest równa

d_{(1, 1, 1)} f (k, h, l) = (k, h) .

d) Funkcję $f$ możemy zapisać jako zestawienie $f (x) = (f^{1} (x), f^{2} (x), f^{3} (x))$ , gdzie $f^{1} (x) = \ln x$ , $f^{2} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $f^{3} (x) = \arcsin x$ . Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{c} \frac{\partial f^{1}}{\partial x} \\ \frac{\partial f^{2}}{\partial x} \\ \frac{\partial f^{3}}{\partial x} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{x} \\ - \frac{2}{x^{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{array}] .

Mamy

[\begin{array}{c} 2 \\ - 16 \\ \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}] [\begin{array}{c} k \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 k \\ - 16 k \\ \frac{2}{\sqrt{3}} k \end{array}] .

Tak więc różniczka funkcji $f$ w punkcie $\frac{1}{2}$ jest równa

d_{\frac{1}{2}} f (k, h, l) = (2 k, - 16 k, \frac{2}{\sqrt{3}} k) .

e) Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & \frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & \frac{2 z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{array}] .

Tak więc różniczka funkcji $f$ w punkcie $(1, 1, 1)$ jest równa

d_{(1, 1, 1)} f (k, h, l) = [\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} k \\ h \\ l \end{array}] = \frac{2}{3} k + \frac{2}{3} h + \frac{2}{3} l .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.030| Jeżeli

h = g \circ f

, to macierz

reprezentująca różniczkę funkcji $h$ powstaje z pomnożenia macierzy pochodnych cząstkowych funkcji $g$ przez macierz pochodnych cząstkowych funkcji $f$ .

a) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $f$ i $g$ :

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ y & x \end{array}] i [\begin{array}{cc} \cos (x + y) & \cos (x + y) \\ \frac{1}{y + 1} & - \frac{x}{(y + 1)^{2}} \end{array}]

Różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0, \frac{π}{2})$ jest reprezentowana przez macierz

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}] .

Różniczka funkcji $g$ w punkcie $f (0, \frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}, 0)$ jest reprezentowana przez macierz

[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & - \frac{π}{2} \end{array}] .

Zatem różniczka funkcji $h$ w punkcie $(0, \frac{π}{2})$ ma macierz

[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & - \frac{π}{2} \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 - \frac{π^{2}}{4} & 1 \end{array}] .

b) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $f$ i $g$ :

[\begin{array}{cc} 2 x & 2 y \end{array}] i [\begin{array}{c} \frac{1}{\cos^{2} x} \\ - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \end{array}] .

Różniczka funkcji $f$ w punkcie $(1, 1)$ jest reprezentowana przez macierz $[\begin{array}{cc} 2 & 2 \end{array}] .$ Różniczka funkcji $g$ w punkcie $f (1, 1) = 0$ jest reprezentowana przez macierz $[\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] .$ Zatem macierzą różniczki funkcji $h$ w punkcie $(1, 1)$ jest

[\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 2 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array}] .

c) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $f$ i $g$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\cos (x-y)&-\cos (x-y)&0\\-\sin (x+y+z)&-\sin (x+y+z)&-\sin (x+y+z)\\0&0&0\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad \left[\beginmatrix \frac {1}{y-z}&\frac {z-x}{(y-z)^2}&\frac {x-y}{(y-z)^2}\endmatrix \right]. }

Różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0, 0, 0)$ jest reprezentowana przez macierz

[\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] .

Różniczka funkcji $g$ w punkcie $f (0, 0, 0) = (0, 1, - 1)$ jest reprezentowana przez macierz

[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}] .

Zatem macierzą różniczki funkcji $h$ w punkcie $(0, 0, 0)$ jest

[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \end{array}] .

d) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $f$ i $g$ :

[\begin{array}{cc} \frac{y^{3} - x^{2} y}{(x^{2} + y^{2})^{2}} & \frac{x^{3} - x y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \end{array}] i [\begin{array}{c} \frac{1}{x} \\ \frac{1}{(x + 1)^{2}} \\ 3 x^{2} \end{array}] .

Różniczka funkcji $f$ w punkcie $(1, 1)$ jest reprezentowana przez macierz $[\begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}] .$ Różniczka funkcji $g$ w punkcie $f (1, 1) = \frac{1}{2}$ jest reprezentowana przez macierz

[\begin{array}{c} 2 \\ \frac{4}{9} \\ \frac{3}{4} \end{array}] .

Zatem macierzą różniczki funkcji $h$ w punkcie $(1, 1)$ jest

[\begin{array}{c} 2 \\ \frac{4}{9} \\ \frac{3}{4} \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.040| Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji

$f (x, y)$ w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ ma równanie

z - f (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .

a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w punkcie $(1, - 1)$ . Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,-1)=-2. \endaligned }

Skoro $f (1, - 1) = 3$ , to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(1, - 1)$ ma postać

z - 3 = 4 (x - 1) - 2 (y + 1),

czyli

4 x - 2 y - z = 3 .

b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w punkcie $(1, 1)$ . Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1. \endaligned }

Skoro $f (1, 1) = 0$ , to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(1, 1)$ ma postać

z = (x - 1) - (y - 1),

czyli

x - y - z = 0 .

c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w punkcie $(0, 1)$ . Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(0,1)=2. \endaligned }

Skoro $f (0, 1) = 0$ , to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(0, 1)$ ma postać

z = 0 (x - 0) + 2 (y - 1),

czyli

2 y - z = 2 .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.050| Najpierw sprawdźmy, czy w punkcie

$(2, - 3)$ wartości obu funkcji są takie same. Mamy $f (2, - 3) = - 6 - 4 + 16 - 5 = 1$ oraz $g (2, - 3) = e^{- 6 + 2 + 4} = 1$ , zatem punkt $(2, - 3, 1)$ jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji $f$ i $g$ są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów $f$ i $g$ w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac {\partial f}{\partial x}(2,-3)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x,&& \frac {\partial f}{\partial y}(2,-3)=2; \\ &\frac {\partial g}{\partial x}=e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial x}(2,-3)=1;\\ &\frac {\partial g}{\partial y}=2e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial y}(2,-3)=2. \endaligned }

Wynika stąd, że wykresy obu funkcji są styczne do siebie w naszym punkcie, a ich wspólna płaszczyzna styczna ma równanie $x + 2 y - z = - 5$ .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.060| Ustalmy punkt

(x_{0}, y_{0})

i policzmy

pochodne cząstkowe funkcji $f$ w tym punkcie. Niech $G (t)$ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji $g (t)$ tzn. $G^{'} (t) = g (t)$ . Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right) \\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_x^{x_0}g(t)dt =\lim_{x\to x_0}\frac{G(x_0)-G(x)}{x-x_0}=-G'(x_0)=-g(x_0). \endaligned }

Podobnie obliczamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt \\ &=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{y_0}^yg(t)dt =\lim_{y\to y_0}\frac{G(y)-G(y_0)}{y-y_0}=G'(y_0)=g(y_0). \endaligned }

Zauważmy, że z ciągłości funkcji $g$ wynika ciągłość pochodnych cząstkowych $\frac{\partial f}{\partial x}$ i $\frac{\partial f}{\partial y}$ , a w szczególności różniczkowalność funkcji $f$ . Na mocy powyższych zależności różniczka funkcji $f$ jest równa

d_{(x_{0}, y_{0})} f (k, h) = [\begin{array}{cc} - g (x_{0}) & g (y_{0}) \end{array}] [\begin{array}{c} k \\ h \end{array}] = - g (x_{0}) k + g (y_{0}) h .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.070| a) Macierz Jacobiego odwzorowania

Ψ

w dowolnym punkcie $(r, ϕ)$ ma postać

[\begin{array}{cc} \cos ϕ & - r \sin ϕ \\ \sin ϕ & r \cos ϕ \end{array}] .

Zatem jac $_{(r, ϕ)} Ψ = r \cos^{2} ϕ + r \sin^{2} ϕ = r$ .

b) Macierz Jacobiego odwzorowania $f$ ma postać

[\begin{array}{ccccccc} x_{1} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x_{2} & x_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x_{3} & 0 & x_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{n - 1} & 0 & 0 & 0 & \dots & x_{1} & 0 \\ x_{n} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_{1} \end{array}] .

Jest to macierz trójkątna, czyli jej wyznacznik jest ilorazem wyrazów z przekątnej. Zatem jac $_{(x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})} f = (x_{1})^{n}$ , a w szczególności jac $_{(1, 1 . . ., 1)} f = 1$ .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.080| Różniczkę rzędu drugiego funkcji

$f : ℝ^{2} \to ℝ$ możemy utożsamić z macierzą utworzoną z pochodnych cząstkowych rzędu drugiego tej funkcji.

a) Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 2 y^{3} & 6 x y^{2} \\ 6 x y^{2} & 6 x^{2} y \end{array}] .

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $f$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1 \end{array} \right] \\ &=2y^2k_1k_2+6xy^2k_2h_1+6xy^2k_1h_2+6x^2yh_1h_2. \endaligned }

b) Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $f$ ma postać

[\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{f}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 8 + 30 x & z & y \\ z & 0 & x \\ y & x & 0 \end{array}] .

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $f$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1\\l_1 \end{array} \right] \\ & =(8+30x)k_1k_2+zk_1h_2+zk_2h_1+yk_1l_2+yk_2l_1+xh_1l_2+xh_2l_1. \endaligned }

c) Funkcję $f$ możemy zapisać jako zestawienie $f = (g, h)$ , gdzie $g (x, y) = x y$ a $h (x, y) = x^{3} + y^{4}$ . Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $g$ ma postać

[\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] .

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $g$ jest równa

d_{(x, y)}^{2} g ((k_{1}, h_{1}), (k_{2}, h_{2})) = [\begin{array}{cc} k_{2} & h_{2} \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} k_{1} \\ h_{1} \end{array}] = k_{1} h_{2} + k_{2} h_{1} .

Podobnie macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $h$ ma postać

[\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} h}{\partial y \partial x} \\ \frac{\partial^{2} h}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 x & 0 \\ 0 & 12 y^{2} \end{array}] .

Stąd różniczka rzędu drugiego funkcji $f$ jest równa

d_{(x, y)}^{2} g ((k_{1}, h_{1}), (k_{2}, h_{2})) = [\begin{array}{cc} k_{2} & h_{2} \end{array}] [\begin{array}{cc} 6 x & 0 \\ 0 & 12 y^{2} \end{array}] [\begin{array}{c} k_{1} \\ h_{1} \end{array}] = 6 x k_{1} k_{2} + 12 y^{2} h_{1} h_{2} .

Zatem różniczka rzędu drugiego funkcji $f$ jest postaci

d_{(x, y)}^{2} f ((k_{1}, h_{1}), (k_{2}, h_{2})) = (k_{1} h_{2} + k_{2} h_{1}, 6 x k_{1} k_{2} + 12 y^{2} h_{1} h_{2}) .

Rozwiązanie

Uzupelnic z.am2.06.090| Niech

z = (z_{1}, z_{2}) = (x, y)

. Zastosujemy

wzór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^3 _{(1,1)} f(h, h, h) =\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial z^\alpha} f(1,1)h^\alpha =\\&= \frac{\partial ^3f}{\partial x^3} (1,1)h_1^3+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x^2\partial y} (1,1)h_1^2h_2+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x\partial y^2} (1,1)h_1h_2^2+ \frac{\partial ^3f}{\partial y^3} (1,1)h_2^3. \endaligned}

a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $f (x, y) = 5 x^{3} + x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=6, && \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=-6 \endaligned }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $(1, 1)$ do wzoru, otrzymując

d_{(1, 1)}^{3} f (h, h, h) = 30 h_{1}^{3} + 6 h_{1}^{2} h_{2} + 18 h_{1} h_{2}^{2} - 6 h_{2}^{3} .

b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $f (x, y) = (2 x + e - 2)^{y}$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=2(2x+e-2)^{y-1}\ln(2x+e-2)[2+y\ln(2x+e-2)], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=(2x+e-2)^y\ln^3(2x+e-2) \endaligned }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $(1, 1)$ do wzoru, otrzymując

d_{(1, 1)}^{3} f (h, h, h) = 0 h_{1}^{3} + \frac{12}{e} h_{1}^{2} h_{2} + 18 h_{1} h_{2}^{2} + e h_{2}^{3} .

c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $f (x, y) = x a r c t g y - 9 y \sqrt[3]{x}$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\ &\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=\frac{-2y}{(1+y^2)^2}, &\qquad& \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=\frac{2x(3y^2-1)}{(1+y^2)^3} \endaligned }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $(1, 1)$ do wzoru, otrzymując

d_{(1, 1)}^{3} f (h, h, h) = - \frac{10}{3} h_{1}^{3} + 6 h_{1}^{2} h_{2} - \frac{3}{2} h_{1} h_{2}^{2} + \frac{1}{2} h_{2}^{3} .

Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Spis treści

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Zadania

Wskazówki

Rozwiązania i odpowiedzi

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia