Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

Własności euklidesowych przestrzeni afinicznych

Jeżeli $X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $V$ i $V$ jest euklidesową przestrzenią wektorową, to przestrzeń $X$ nazywamy euklidesową przestrzenią afiniczną.

Mając wybrany punkt bazowy mamy też bijekcję ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{o}}:X⟶V$ zdefiniowana w 2. paragrafie Wykładu XIII. Za pomocą tej bijekcji można przenieść nie tylko strukturę przestrzeni wektorowej z $V$ na $X$, ale także iloczyn skalarny. Tak jak w przypadku struktury liniowej, przeniesiony iloczyn skalarny w istotny sposób zależy od wyboru punktu bazowego.

W euklidesowej przestrzeni afinicznej właściwym pojęciem geometrycznym jest odległość punktów, którą definiujemy przy pomocy normy wektora. Mianowicie, dla dowolnych punktów $x,y\in X$ odległość $d(x,y)$ definiujemy wzorem

$d(x,y)=\overrightarrow{xy}.$

Łatwo sprawdzić, że jest to dobrze zdefiniowana funkcja odległości.

Mówimy, że wektor $v\in V$ jest prostopadły do podprzestrzeni afinicznej $X_0$, jeśli $v$ jest prostopadły do każdego wektora kierunku tej podprzestrzeni.

Twierdzenie 15.1

Niech $X_0$ będzie podprzestrzenią afiniczna przestrzeni $X$. Dla każdego punktu $x\in X$ istnieje dokładnie jeden punkt $x^{\prime }\in X_0$ taki, że $\overrightarrow{x{x}^{\prime }}$ jest prostopadły do $X_0$. Dla każdego punktu $y\in X_0$ zachodzi nierówność

$d(x,x^{\prime })\le d(x,y),$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $y=x^{\prime }$.

Dowód

Niech $V_0$ będzie kierunkiem $X_0$. Niech $x_0\in X_0$ i $x\in X$. Niech $V_0^{\perp }$ będzie dopełnieniem ortogonalnym do $V_0$. Rozłóżmy wektor $\overrightarrow{x_{0}x}$ na sumę wektorów $v+w$, gdzie $v\in V_0$ i $w\in V_0^{\perp }$. Zdefiniujmy

$x^{\prime }=x_0+v.$

Punkt ten należy do $X_0$. Ponadto

$\overrightarrow{x{x}^{\prime }}=\overrightarrow{x{x}_0}+\overrightarrow{x_0{x}^{\prime }}=\overrightarrow{x{x}_0}+v=-(v+w)+v=-w\in V_0^{\perp }.$

A zatem $\overrightarrow{x{x}^{\prime }}$ jest prostopadły do $X_0$.

Załóżmy, że $x^{″}\in X_0$ jest również takim punktem, że $\overrightarrow{x{x}^{″}}\in V_0^{\perp }$. Zachodzą równości

$\overrightarrow{x^{\prime }{x}^{″}}=\overrightarrow{x^{\prime }x}+\overrightarrow{x{x}^{″}}=-\overrightarrow{x{x}^{\prime }}+\overrightarrow{x{x}^{″}}\in V_0^{\perp }.$

Z drugiej strony $\overrightarrow{x^{\prime }{x}^{″}}\in V_0$, bo oba punkty $x^{\prime },x^{″}$ należą do $X_0$. A zatem $x^{\prime }=x^{″}$.

Niech $y\in X_0$. Wtedy $\overrightarrow{xy}=\overrightarrow{x{x}^{\prime }}+\overrightarrow{x^{\prime }y}$. Składniki sumy po prawej stronie tej równości są prostopadłe, a zatem, z twierdzenia Pitagorasa, mamy

$\Vert \overrightarrow{xy}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{x{x}^{\prime }}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{x^{\prime }y}{\Vert }^2.$

A zatem $d^2(x,y)\ge d^2(x,x^{\prime })$ i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $y=x^{\prime }$.

Odwzorowanie $X\ni x⟶x^{\prime }\in X_0$ nazywamy rzutowaniem prostokątnym na podprzestrzeń $X_0$. Oznaczmy to odwzorowanie przez ${\mathrm{\Pi }}_{X_0}$. Punkt $x^{\prime }={\mathrm{\Pi }}_{X_0}(x)$ można otrzymać jako przecięcie $X_0$ i podprzestrzeni $x+V_0^{\perp }$.

Liczbę $d(x,x^{\prime })$ nazywamy odległością punktu $x$ od podprzestrzeni $X_0$. Oznaczać ją będziemy przez $d(x,X_0)$.

Twierdzenie 15.2

Rzutowanie prostokątne w euklidesowej przestrzeni afinicznej $X$ jest odwzorowaniem afinicznym indukującym rzutowanie prostokątne w przestrzeni $V$.

Dowód

Niech ${\mathrm{\Pi }}_{V_0}$ oznacza rzutowanie prostokątne na podprzestrzeń wektorową $V_0$. Z dowodu poprzedniego twierdzenia wiemy, że $x^{\prime }=x_0+v$, gdzie $\overrightarrow{x_{0}x}=v+w$ i $v\in V_0$, $w\in V_0^{\perp }$. Niech $z\in V$ i $z=z^{\prime }+z^{″}$, gdzie $z^{\prime }\in V_0$ i $z^{″}\in V_0^{\perp }$.

Zachodzą następujące równości

$\overrightarrow{x_0(x+z)}=\overrightarrow{x_{0}x}+z=v+w+z^{\prime }+z^{″}=(v+z^{\prime })+(w+z^{″}).$

Zatem

${\mathrm{\Pi }}_{X_0}(x+z)=x_0+(v+z^{\prime })=(x_0+v)+z^{\prime }={\mathrm{\Pi }}_{X_0}(x)+{\mathrm{\Pi }}_{V_0}(z).$

Zdefiniujemy teraz odbicie symetryczne względem podprzestrzeni $X_0$. Definiujemy to odwzorowanie formułą

$S_{X_0}(x)=x+2\overrightarrow{x{\mathrm{\Pi }}_{X_0}(x)}.$

Odwzorowanie $S_{X_0}$ nazywa się też symetrią względem podprzestrzeni $X_0$.

Twierdzenie 15.3

Odbicie symetryczne względem podprzestrzeni jest odwzorowaniem afinicznym.

Dowód

Twierdzimy, że symetria $S_{X_0}$ indukuje odwzorowanie liniowe $\phi$ zdefiniowane wzorem

$\phi (z)=2{\mathrm{\Pi }}_{V_0}(z)-z.$

Niech $z\in V$ będzie dowolnym wektorem i niech $z=z^{\prime }+z^{″}$, gdzie $z^{\prime }\in V_0$, $z^{″}\in V_0^{\perp }$. Oznaczmy przez $x^{\prime }$ punkt ${\mathrm{\Pi }}_{X_0}(x)$. Zachodzą następujące równości

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\alignedS”): {\displaystyle \alignedS_{X_0} (x+z) &=& ( x+z) + 2\overrightarrow {(x+ z)( x'+ z')}\\ &=& x+z +2\overrightarrow {xx'}+2(z'-z)= S_{X_0}(x) +z +2(z'-z)\\ &=& S_{X_0}(x) +(2z'-z). \endaligned}

Izometrią euklidesowej przestrzeni afinicznej $X$ nazywamy odwzorowanie zachowujące odległość, tzn. odwzorowanie $f:X⟶X$ takie, że dla każdych $x,y\in X$ zachodzi równość

$d(f(x),f(y))=d(x,y).$

Jest oczywiste, że odwzorowanie afiniczne indukujące izometrię liniową jest izometrią. Istotnie, wystarczy zauważyć, że jeśli $f$ indukuje izometrię $\phi$, to

$d(f(x),f(y))=\Vert \overrightarrow{f(x)f(y)}\Vert =\Vert \phi (\overrightarrow{xy})\Vert =\Vert \overrightarrow{xy}\Vert =d(x,y).$

Zachodzi też twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 15.4

Izometria jest odwzorowaniem afinicznym indukującym izometrię liniową.

Dowód

Niech $o\in X$ będzie ustalonym punktem przestrzeni $X$. Niech dane będą dwa dowolne wektory $v,w\in V$. Oznaczmy przez $x,y$ punkty $o+v$ i $o+w$ odpowiednio. Definiujemy odwzorowanie $\phi :V⟶V$ formułą

$\phi (v)=\overrightarrow{f(o)f(o+v)}.$

Zachodzą równości

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\alignedd”): {\displaystyle \alignedd(x,y)^2 =\Vert \overrightarrow {xy}\Vert ^2& =&\Vert \overrightarrow {xo} +\overrightarrow {oy}\Vert ^2 = \Vert \overrightarrow {ox}\Vert ^2 + \Vert \overrightarrow {oy}\Vert ^2 -2 \overrightarrow {ox} \cdot \overrightarrow {oy}\\ &=& d(o,x)^2 +d(o,y) ^2 -2\overrightarrow {ox}\cdot\overrightarrow {oy}, \endaligned}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\alignedd”): {\displaystyle \alignedd(f(x),f(y))^2 &=& \Vert \overrightarrow {f(x)f(y)}\Vert ^2= \Vert \overrightarrow {f(x)f(o)}+ \overrightarrow {f(o)f(y)}\Vert ^2\\ &=& \Vert \overrightarrow {f(o)f(x)}\Vert ^2 +\Vert \overrightarrow {f(o)f(y)}\Vert ^2 - 2\overrightarrow {f(o)f(x)}\cdot \overrightarrow {f(o)f(y)}\\ &=& d(f(o),f(x))^2 +d(f(o)f(y))^2- 2\overrightarrow {f(o)f(x)}\cdot \overrightarrow {f(o)f(y)} . \endaligned}

Porównując te równości i korzystając z tego, że $f$ zachowuje odległość punktów otrzymujemy równość

$\phi (v)\cdot \phi (w)=v\cdot w$

dla dowolnych wektorów $v,w\in V$. Z Twierdzenia 1.10 z Wykładu X wiemy, że $\phi$ jest odwzorowaniem liniowym. Pozostaje więc zauważyć, że

$f(x+z)=f(x)+\phi (z)$

dla dowolnych $x$ i $z$. W tym celu zauważamy, że zachodzą równości

$f(x+z)=f(o+\overrightarrow{ox}+z)=f(o)+\phi (\overrightarrow{ox}+z)=f(o)+\phi (\overrightarrow{ox})+\phi (z)=f(x)+\phi (z).$

Twierdzenie 15.5

Odbicie symetryczne jest izometrią.

Dowód

Korzystamy z dowodu Twierdzenia (15.3). Mamy równość $2z^{\prime }-z=z^{\prime }-z^{″}$ i kolejne równości (pamiętamy, że $z^{\prime }\cdot z^{″}=0$)

$(z^{\prime }-z^{″})\cdot (z^{\prime }-z^{″})=z^{\prime }\cdot z^{\prime }+z^{″}\cdot z^{″}=(z^{\prime }+z^{″})\cdot (z^{\prime }+z^{″})=z\cdot z.$

A zatem $\phi$ jest odwzorowaniem liniowym zachowującym normę. Jest więc izometrią liniową.

Na koniec tego paragrafu podamy bez dowodu

Twierdzenie 15.6

Każda izometria $n$-wymiarowej afinicznej przestrzeni euklidesowej $X$ jest złożeniem co najwyżej $n+1$ odbić symetrycznych względem hiperpłaszczyzn.

Analityczny opis podprzestrzeni afinicznej podprzestrzeni euklidesowej

Rozważmy $n$-wymiarową afiniczną podprzestrzeń euklidesową. Bez utraty ogólności możemy założyć, że jest to przestrzeń afiniczna ${\mathbf{𝐑}}^n$ o kierunku ${\mathbf{𝐑}}^n$ wyposażonym w standardowy iloczyn skalarny. W przypadku wymiarów $2$ i $3$ można też myśleć o tych przestrzeniach jako o znanych ze szkoły płaszczyźnie i trójwymiarowej przestrzeni fizycznej z ustalonym prostokątnym układem współrzędnych.

Przypomnijmy, że hiperpłaszczyzna afiniczna jest opisana jednym równaniem liniowym

$a_0+a_1{x}_1+...+a_n{x}_n=0,$      (2.2)

gdzie któryś ze skalarów $a_1,...,a_n$ jest różny od $0$, czyli $a_1^2+...+a_n^2\ne 0$. Jeśli wszystkie te skalary są równe zeru, to równanie opisuje całą przestrzeń ${\mathbf{𝐑}}^n$ lub zbiór pusty. W dalszych rozważaniach zakładamy, że zadane równania nie będą opisywały tego typu trywialnych sytuacji. Równanie (2.2) nazywa się równaniem ogólnym hiperpłaszczyzny. W przypadkach $n=2$, $n=3$ rozpoznajemy znane ze szkoły równania ogólne prostej na płaszczyźnie i płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni.

Kierunek hiperpłaszczyzny danej równaniem (2.2) jest dany równaniem jednorodnym

$a_1{x}_1+...+a_n{x}_n=0.$      (2.3)

A zatem, jeśli oznaczymy

$x=(x_1,...,x_n),a=(a_1,...,a_n),$

to hiperpłaszczyzna wektorowa (2.3) jest równa

$\{x\in {\mathbf{𝐑}}^n|x\cdot a=0\}.$

Wektor $a$ jest prostopadły do hiperpłaszczyzny. Ponieważ $a$ jest niezerowy, rozpina prostą prostopadłą do danej hiperpłaszczyzny wektorowej. Wektor $a$ jest prostopadły do przestrzeni afinicznej (2.2).

Ogólniej, mówimy, że dwie podprzestrzenie afiniczne są prostopadłe, jeżeli ich kierunki są prostopadłe, czyli każde dwa wektory wzięte z tych podprzestrzeni (różnych) są prostopadłe.

Jeśli układ równań liniowych

$\{\begin{array}{l}{a}_{10}+a_{11}{x}_1+...+a_{1n}{x}_n=0\\ ..............................................\\ a_{m0}+a_{m1}{x}_1+...+a_{mn}{x}_n=0\end{array}$      (2.4)

ma rozwiązanie, to opisuje $(n-k)$-wymiarową podprzestrzeń afiniczną $L$ przestrzeni ${\mathbf{𝐑}}^n$, gdzie $k=\mathrm{r}\mathrm{k}A$ i $A=[a_{ij}]\in M(m,n;\mathbf{𝐑})$ jest macierzą układu (2.4). Każde z równań opisuje hiperpłaszyznę (zgodnie z umową zakładamy, że zadane równania ogólne nie opisują sytuacji trywialnych) i koniunkcja $m$ równań opisuje zbiór będący przecięciem tych hiperpłaszczyzn. Układ (2.4) nazywamy równaniem krawędziowym podprzestrzeni $L$.

Każdy z wektorów

$a_1=(a_{11},...,a_{1n}),...,a_m=(a_{m1},...,a_{mn})$      (2.5)

jest prostopadły do przestrzeni $L$. Wektory te generują dopełnienie ortogonalne do kierunku podprzestrzeni $L$ opisanego układem równań