CWGI Moduł 5

Powierzchnie obrotowe $I{I}^0$

---

Wykład obecny poświęcony jest bryłom obrotowym, bardzo często występujących w technice. Analizowane będą zatem powierzchnie II0 typu walec, stożek i kula. W pierwszej kolejności zajmiemy się punktami leżącymi na powierzchniach brył obrotowych, wyznaczając ich rzuty prostokątne różnymi metodami. Dokonajmy analizy punktów znajdujących się na powierzchni bocznej walca. W tym celu przyjmijmy rzuty pionowe dwóch punktów $A^{″}i{B}^{″}$, zakładając, że należą do powierzchni bocznej walca prostego stojącego na rzutni poziomej. Sytuację tą obrazuje rys. 5.1_1. Zadaniem naszym będzie wyznaczenie rzutów poziomych tych punktów. Rozwiązanie zadania można zrealizować dwoma metodami. Obydwie metody zostały zaprezentowane na tym samym rys. 5.1_1. Metoda I (za pomocą przekroju) Przez punkty A i B prowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą ${\omega }^{″}$, która jest równoległa do rzutni poziomej. Tak poprowadzona płaszczyzna wyznaczy nam przekrój walca w postaci okręgu, równoległego do rzutni poziomej, którego dwie średnice wzajemnie prostopadłe oznaczymy w rzucie pionowym jako $P^{″}{Q}^{\prime }$' i $R^{″}{S}^{″}$. Jedna ze średnic $PQ$ będzie równoległa do rzutni pionowej, druga $RS$ do niej prostopadła. W rzucie pionowym otrzymamy, zatem średnicę PQ w wielkości rzeczywistej oraz średnicę RS, która będzie punktem. Rzutem poziomym przekroju (okręgu) będzie okrąg pokrywający się z rzutem poziomym walca. Bez trudu na rzucie poziomym przekroju można wyznaczyć rzuty poziome średnic $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ i $R^{\prime }{S}^{\prime }$ przekroju walca płaszczyzną ${\omega }^{″}$. Na przekroju w postaci okręgu wyznaczymy poszukiwane rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. W celu oznaczenia widoczności punktów w rzucie pionowym prowadzimy pomocniczą płaszczyznę ${\gamma }^{\prime }$, która określa widoczną część powierzchni walca. Wszystkie punkty leżące poniżej tej płaszczyzny są widoczne, natomiast powyżej są niewidoczne. Z przeprowadzonej analizy wynika, zatem, że punkt $A$ w rzucie pionowym będzie niewidoczny. Metoda II (za pomocą tworzących) Zamiast prowadzenia płaszczyzny przechodzącej przez punkty A i B poprowadźmy przez te punkty dwie tworzące walca. W rzucie pionowym, będą to dwa odcinki $t_1^{\text{'}}{}^{\text{'}}$ i $t_2^{\text{'}}{}^{\text{'}}$. Rzuty poziome tworzących $t_1^{\text{'}}$ i $t_2^{\text{'}}$' wyznaczymy ustalając w pierwszej kolejności rzuty punktów przecięcia tworzących z podstawą stożka I i II. Na rzutach poziomych tworzących możemy wyznaczyć poszukiwane rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. Jak widać z przedstawionej konstrukcji rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$ pokrywają się niezależnie od stosowanej metody. Widoczność ustalana jest analogicznie jak w poprzednim przypadku.

---

---

Podobną konstrukcję ustalania rzutów punktów, tym razem $QR$, przedstawiono na rys. 5-1_2 w odniesieniu do powierzchni stożka. Zarówno metoda przekroju płaszczyzną ${\alpha }^{″}$ jak i metoda tworzących przyniosła oczekiwany efekt. W wyniku przekroju płaszczyzną $\alpha$, przechodzącą przez rzuty pionowe punktów leżących na powierzchni bocznej stożka otrzymamy okrąg, który bez zniekształceń w rzucie poziomym. Na okręgu tym leżą rzuty poziome punktów $Q^{\prime }{R}^{\prime }$. Konstrukcję powtarzamy prowadzac w rzucie pionowym tworzące stożka przechodzące przez rzuty pionowe punktów Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\i”): {\displaystyle Q''\i\R''} . Rzuty poziome tych punktów będą leżały na rzutach poziomych tworzących oraz na odnoszących rzutowania prostokątnego. Granicą widoczności dla rzutu pionowego jest płaszczyzna poziomo – rzutująca równoległa do płaszczyzny pionowej.Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma’} . Z analizy widoczności punktów na powierzchni stożka wynika, że punkt Q w rzucie pionowym będzie niewidoczny, natomiast punkt R będzie widoczny.

---