Logika i teoria mnogości

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

Sylabus

Autorzy

• Marek Zaionc
• Jakub Kozik
• Marcin Kozik

Zawartość

• Rachunek zdań i rachunek predykatów.
• Aksjomatyka teorii mnogości ZFC.
• Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów.
• Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
  • twierdzenie o indukcji,
  • własności liczb,
  • definiowanie przez indukcję,
  • zasada minimum,
  • zasada maksimum.
• Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
• Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych.
• Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
  • działania i porządek.
• Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
  • Obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
• Teoria mocy:
  • Zbiory przeliczalne i ich własności.
  • Zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne.
  • Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
  • Zbiory $\{0,1{\}}^N$ i $N^N$ nie są przeliczalne. Zbiór $2^N\sim R$
  • Twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
  • Lemat Banacha,
  • Twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne),
  • Twierdzenie Cantora.
  • Zbiory mocy kontinuum.
• Zbiory uporządkowane.
  • Lemat Kuratowskiego Zorna.
  • Przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna.
  • Dowód lemat Kuratowskiego Zorna
• Zbiory liniowo uporządkowane.
  • Pojęcia gęstości i ciągłości.
  • Porządek na $R$ jest ciągły.
• Zbiory dobrze uporządkowane.
  • Twierdzenie o indukcji.
  • Liczby porządkowe.
  • Zbiory liczb porządkowych.
  • Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
  • Twierdzenie Zermelo,
• Język rachunku predykatów
  • Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń

Literatura

1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 1971, 1984, 1998
2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa, 1978
3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, PWN, 1996.