CWGI Moduł 2

Wykład 2. Elementy przynależne i wspólne w rzutach prostokątnych Wykład poświęcony jest działowi nazwanemu elementy przynależne i wspólne. Na wykładzie zostaną omówione konstrukcje podstawowe w rzutach prostokątnych, oparte o zasady określone w niezmiennikach rzutu równoległego oraz podstawach teoretycznych rzutowania prostokątnego. Wykład stanowi podstawę do realizacji złożonych konstrukcji zapisywanych w grafice inżynierskiej, jako element profesjonalnego, graficznego zapisu postaci konstrukcyjnej złożonych obiektów technicznych.

---

Rzut prostokątny jest rzutem równoległym, zatem obowiązują w tym odwzorowaniu wszystkie własności (niezmienniki) rzutu równoległego, w szczególności przynależność elementów. Jeżeli zatem punkt przynależy do prostej to rzuty tego punktu przynależą do rzutów prostej. Zakładając, że punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , leży na prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , obieramy punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P''\} , leżący na rzucie pionowym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l''\} , prostej. Rzut poziomy $P^{\prime }$ tego punktu, będzie leżał na odnoszącej (prostopadłej do osi x) i rzucie $l^{\prime }$ poziomym prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla przynależności prostej do płaszczyzny. Zakładając, że prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , leży w płaszczyźnie dwóch prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,, obieramy dowolny rzut pionowy prostej - $k^{″}$. Prosta $k^{″}$ przecina proste Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a"} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b"} w punktach $1^{″}$ i $2^{″}$. Rzuty poziome tych punktów będą leżały odpowiednio na odnoszących (prostopadłych do osi x) oraz rzutach poziomych prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b'\} ,.

---

---

---

Punkt jest przynależny do płaszczyzny, jeżeli przynależy do prostej leżącej w płaszczyźnie. Płaszczyzna w tym przypadku określona jest bezśladowo, przez dwie przecinające się proste Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,. Obierzemy dowolny punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} ,, przyjmując jego rzut pionowy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A''\} , jak na rys. 2.2_1a, i założymy, że leży on na płaszczyźnie dwóch przecinających się prostych ($axb$). Aby wyznaczyć drugi rzut tego punktu poprowadźmy przez rzut pionowy punktu $A^{″}$ dowolną prostą $p^{″}$, która będzie leżała w płaszczyźnie dwóch prostych ($axb$). Jeżeli tak, to prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p''\} , przetnie nam proste $a^{″}$ i $b^{″}$ w punktach odpowiednio $2^{″}$ i $1^{″}$. Rzuty poziome $1^{\prime }$ i $2^{\prime }$ tych punktów znajdziemy na przecięciu się odnoszących z rzutami poziomymi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b'\} , prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,. Rzuty poziome Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1'\} , i $2^{\prime }$ punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} , wyznacza rzut poziomy prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p'\} ,, leżącej w płaszczyźnie prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,. Prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\} , prowadzono przez punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} ,, a więc można jego rzut poziomy $A^{\prime }$ wyznaczyć na przecięciu się odnoszącej, i rzutu poziomego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p'\} , prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\} , (patrz rys. 2.2_1a).

---

---

Analogiczne zagadnienie można rozpatrzyć, zakładając, iż dana płaszczyzna określona jest śladami $v_{\alpha }$ i $h_{\alpha }$(patrz rys. 2.2_2a, b)Przyjmijmy dowolny rzut poziomy punktu $A^{\prime }$. Zakładając, iż punkt należy do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , wyznaczymy drugi rzut punktu. Prosta należy do płaszczyzny, jeżeli ma z nią, co najmniej dwa punkty wspólne. W konstrukcjach śladowych prosta leży na płaszczyźnie, jeżeli ślady prostej leżą na śladach płaszczyzny. Przez rzut poziomy punktu prowadzimy rzut poziomy prostej $l(l^{\prime })$, dla której zakładamy przynależność do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,. Rzut pionowy punktu $A^{″}$ wyznaczymy pośrednio poprzez wyznaczenie drugiego rzutu prostej $l^{″}$. Wyznaczamy ślad poziomy $H_l$ prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , - oraz pokrywający się z nim rzut poziomy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle H_l’} tego śladu . Rzut pionowy śladu poziomego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle H_l”} prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , będzie leżał na przecięciu się z osią x, wystawionej ze śladu poziomego prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. Rzut poziomy śladu pionowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle V_l”} będzie leżał na przecięciu się rzutu poziomego prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , z osią x. Rzut pionowy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle V_l”} śladu pionowego $V_l$ będzie leżał na przecięciu się odnoszącej, wystawionej z tego punktu, aż do przecięcia się z rzutem pionowym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l”} prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. Otrzymaliśmy w ten sposób rzuty pionowe śladów prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,, które wyznaczają rzut pionowy prostej $l^{″}$. Na rzucie tym leży szukany rzut $A^{″}$ punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} ,, który będzie należał do płaszczyzny $\alpha$ Na rys. 2.2_2 b przedstawiono analogiczną konstrukcję, korzystając z pośrednictwa prostej poziomej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\} , leżącej w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,.

---

---

Wyznaczanie krawędzi przecięcia się dwu płaszczyzn należy do zagadnień rozdziału o nazwie Elementy wspólne. W technice z zagadnieniem takim mamy do czynienia powszechnie. Na rys.2.3_1a,b przedstawiono wyznaczanie krawędzi przecięcia się płaszczyzn dla przypadku, gdy płaszczyzny są zadane przy pomocy postaci śladów. W celu wyznaczenia wspólnej krawędzi płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , należy ustalić dwa punkty wspólne tych płaszczyzn, ponieważ one jednoznacznie określają prostą, będącą krawędzią wspólną płaszczyzn. Punkty te łatwo ustalić, ponieważ ślady płaszczyzn są to proste należące do tych płaszczyzn i jednocześnie leżące na rzutniach. Punkty przecięcia się jednoimiennych śladów wyznaczają nam ślady wspólnej prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "k"} , zwanej krawędzią przecięcia się płaszczyzn. Mając ślady krawędzi $V_k$ i $H_k$ można wyznaczyć rzuty śladów. Jak już wcześniej powiedziano rzut pionowy śladu pionowego pokrywa się ze śladem pionowym, rzut poziomy tego śladu znajduje się na osi x. Podobnie rzut poziomy śladu poziomego pokrywa się ze śladem poziomym, natomiast rzut pionowy tego śladu znajduje się na osi x. W konsekwencji rzuty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k"} krawędzi otrzymamy łącząc jednoimienne rzuty śladów. Wyznaczanie krawędzi przecięcia się płaszczyzn w konstrukcjach bezśladowych zostanie omówione w dalszej części wykładu.

---

---

Położenie płaszczyzn może przyjmować charakter szczególny. Jednak poszukiwanie krawędzi oparte jest na tych samych zasadach. Na rys. 2.3_2a,b rozważono przypadek płaszczyzn śladowych, z których jedna jest równoległa do osi x, druga natomiast jest w położeniu takim, że jej ślady (pionowy i poziomy) pokrywają się. Wyznaczenie krawędzi rozpoczynamy od wyznaczenia punktów przecięcia się jednoimiennych śladów płaszczyzn, które będą odpowiednio śladami (pionowym i poziomym) krawędzi. Wyznaczając rzuty śladów przez jednoimienne rzuty śladów poprowadzimy poszukiwane rzuty krawędzi przecięcia się płaszczyzn.

---

---

W celu wyznaczenia punktu przebicia płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , należy przez tą prostą poprowadzić dowolną płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , a następnie wyznaczyć krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , przecięcia się płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. W miejscu przecięcia się dwóch prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , otrzymamy punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , - wspólny dla prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , i płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , czyli punkt przebicia płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. Na rys. 2.4_1.b przedstawiony został przykład wyznaczania punktu przebicia prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , z płaszczyzną $\mathrm{\Delta }(ABC)$. Zgodnie z wcześniej omówionym schematem postępowania, w pierwszej kolejności przez daną prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , poprowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Jeżeli prosta ma leżeć w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , to rzut pionowy płaszczyzny, będący jednocześnie śladem pionowym płaszczyzny powinien pokrywać się z rzutem pionowym prostej $l^{″}$. Każdy element płaski leżący w płaszczyźnie pionowo - rzutującej będzie miał rzut pionowy zawierający się w śladzie pionowym (rzucie pionowym) płaszczyzny. Kolejny etap - to wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Rzut pionowy krawędzi wyznaczymy natychmiast, ponieważ musi on, zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami, leżeć na rzucie pionowym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Otrzymujemy, zatem rzut pionowy krawędzi $k^{″}$. Ponieważ krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , jest prostą leżącą w płaszczyźnie trójkąta musi zatem przecinać boki tego trójkąta. Punkty przecięcia rzutu pionowego $k^{″}$ krawędzi z rzutami pionowymi boków oznaczono odpowiednio cyframi $1^{″}$ i $2^{″}$. Rzuty poziome tych punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2'\} ,, które wyznaczymy na odpowiednich rzutach poziomych boków trójkąta pozwolą wyznaczyć rzut poziomy krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k'\} ,. Ostatni etap tego zadania to poszukiwanie punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , - przecięcia się krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , z prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,, który jest punktem przebicia płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. W rzucie pionowym proste Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k"} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l"} pokrywają się, ale w rzucie poziomym punkt przecięcia jest wyraźnie widoczny. Oznaczając rzut poziomy punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P'\} , możemy następnie wyznaczyć jego rzut pionowy, poprzez przecięcie się odnoszącej prostopadłej do osi x z rzutem pionowym prostej $k^{″}$. Przyjmując założenie, że płaszczyzna trójkąta jest nieprzezroczysta powinniśmy oznaczyć jeszcze widoczność prostej. Podobnie jak postępowaliśmy poprzednio, widoczność w danym rzucie oznaczamy analizując rzut drugi. I tak, chcąc rozpatrzyć widoczność prostej w rzucie poziomym analizujemy rzut pionowy. Ocenimy, czy punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} , leżący na boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , ma większą głębokość (odległość od rzutni pionowej) niż punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3\} , leżący na prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,. Ocenę tego faktu możemy zaobserwować w rzucie poziomym. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} , leżący na boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , jest bardziej oddalony od rzutni pionowej (ma większą głębokość), zatem bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , w rzucie pionowym jest widoczny, prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , natomiast, na której leży punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3\} , jest niewidoczna. Podobną analizę możemy przeprowadzić dla rzutu poziomego, oceniając wysokość punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 4\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 5\} , (w rzucie pionowym) należących odpowiednio do prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , i boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AB\} ,. Prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , będzie niewidoczna, natomiast bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AB\} , w rzucie poziomym będzie widoczny.

---

---

Celem naszych rozważań jest wyznaczenie linii przenikania dwóch wielokątów płaskich: trójkąta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABC\} , i równoległoboku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle DEFG\} , (rys. 2.4_2b). Jednocześnie przyjmując założenie, że płaszczyzny wielokątów są nieprzezroczyste ustalona zostanie widoczność krawędzi w poszczególnych rzutach. Linia przenikania figur płaskich to nic innego jak odcinek krawędzi przecięcia się płaszczyzn, zdefiniowanych przez te figury, wspólny dla obu płaszczyzn. Należy, zatem wyznaczyć wspólną krawędź przecięcia się płaszczyzn reprezentowanych przez trójkąt i równoległobok. Krawędź wyznaczymy metodą pośrednią, poszukując punktów przebicia bokiem jednej z figur płaszczyzny drugiej figury. Wyznaczenie dwóch punktów przebicia, czyli dwóch punktów wspólnych tych płaszczyzn określi nam krawędź przecięcia się płaszczyzn (dwa punkty, jednoznacznie, określają prostą). Wyznaczmy punkt przebicia boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , trójkąta z płaszczyzną równoległoboku. W tym celu poprowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , przez bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , trójkąta. Płaszczyzna jest rzutująca, a więc krawędź przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyzną równoległoboku $k_1$ będzie leżała w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, ale również w płaszczyźnie równoległoboku. Rzut pionowy tej krawędzi będzie pokrywał się z rzutem pionowym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , oraz z rzutem pionowym boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B"C"} . Przynależność krawędzi $k_1$ do płaszczyzny równoległoboku oznacza, że punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1"} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2"} są rzutami punktów przecięcia się krawędzi z rzutami boków Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle D"G"} oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle E"F"} . Rzuty poziome tych punktów znajdziemy na przecięciu się odnoszących prostopadłych do osi x z rzutami poziomymi boków równoległoboku $D^{\prime }{G}^{\prime }$ oraz $E^{\prime }{F}^{\prime }$. W ten sposób znajdujemy rzuty krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1”} oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1’} . W rzucie poziomym otrzymamy szukany punkt przebicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q'\} , boku $B^{\prime }{C}^{\prime }$ trójkąta z płaszczyzną równoległoboku. Rzut pionowy tego punktu wyznaczymy jako przecięcie odnoszącej z rzutem pionowym krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1”} (oraz boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B"C"} ). Podobną konstrukcję przeprowadzamy z inną parą boków, np. równoległoboku oraz płaszczyzny trójkąta $ABC$. Wybierzmy do rozważań bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle DG\} , równoległoboku, przez który poprowadzimy płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , a następnie, w drodze postępowania analogicznego jak poprzednio, wyznaczymy krawędź przecięcia się płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , z płaszczyzną trójkąta oraz w konsekwencji punkt przebicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle DG\} , z trójkątem $ABC$. Podobnie jak w przypadku opisanym w na rys. 2.4_1b ustalamy widoczność poszczególnych krawędzi analizując odpowiednio wysokość i głębokość punktów znajdujących się na przecięciu się rzutów poszczególnych boków figur płaskich.

---

---