TTS Moduł 3

Wykład

---

---

• PROWADNICE TEM

• Właściwości prowadnic TEM

Można wykazać, że zależności pól w prowadnicy TEM od zmiennej z są identyczne jak dla fali płaskiej w przestrzeni nieograniczonej. Podobnie możemy uzyskać równanie falowe określające wektory $E_T$ lub $H_T$ w postaci. Oznacza to, że wektory pól $E$ i $H$ są do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku propagacji $z$.

$\gamma =\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \epsilon )}=\alpha +j\beta$

(3-1)

Dodatkowo, relacje między wektorami pól elektrycznego i magnetycznego obowiązują dla prowadnic TEM, czyli

$E_T=Z_f{H}_T\times i_z$ $H_T=\frac{1}{Z_f}{i}_z\times E_T$

(3-2)

oraz spełniona jest poniższa relacja

$Z_f=Z_w=\sqrt{\frac{j\omega \mu }{\sigma +j\omega \epsilon }}$

(3-3)

Zasadnicza różnica między cechami pół fali płaskiej w ośrodku nieograniczonym i pól w linii TEM jest związana z tym, że pola w ośrodku nieograniczonym nie zależą od zmiennych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w prowadnicy TEM, w której muszą być spełnione określone warunki brzegowe na powierzchni przewodników linii, pola na ogół zależą od tych zmiennych.

Warto zapamiętać, że prowadnicę falową charakteryzują dwa parametry: współczynnik propagacji $\gamma$ oraz impedancja charakterystyczna $Z_0$. Pierwszy z tych parametrów jest wielkością polową, której obliczenie wiąże się w ogólności z rozwiązaniem równań Maxwella. Drugi jest wielkością obwodową, wyznaczaną z zastosowaniem definicji (3-4):

$Z_0=\frac{U}{I}$

(3-4)

w której $U$ i $I$ są amplitudami napięcia i prądu fali poruszającej się w jedną stronę.

Definicja $Z_0$ jest przydatna przy analizie obwodów zawierających prowadnice falowe i elementy reprezentowane przez układy zastępcze o stałych skupionych.

• Linia współosiowa

Najpopularniejszą prowadnicą w rodzinie TEM jest linia współosiowa o promieniach $a$ i $b$ ($a>b$), w której przestrzeń między przewodem wewnętrznym i zewnętrznym wypełniona jest małostratnym dielektrykiem o przenikalności względnej ${\epsilon }_r$ – rys.3.1. Impedancja charakterystyczna linii współosiowej obliczana jest z zależności:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{138}{\sqrt{{\epsilon }_r}}log\frac{b}{a}$

(3-5)

Rys.3.1. Przekrój poprzeczny linii współosiowej .

Zależność (3-5) wskazuje, że impedancja charakterystyczna linii współosiowej zależy od stosunku promieni przewodów i właściwości ośrodka wypełniającego prowadnicę.

Linia współosiowa, albo koncentryczna jest szeroko stosowana w systemach pomiarowych, a rozpowszechnionym w aparaturze standardem jest linia o impedancji $Z_0=50\mathrm{\Omega }$. Linie współosiowe pracują do 60 GHz.

Tłumienie linii współosiowej jest najmniejsze dla $Z_0=75\mathrm{\Omega }$, ten standard przyjęto w telekomunikacji (m.in. sieci telewizji kablowej).

• Linia dwuprzewodowa

Na rys.3.2 przedstawiono strukturę innej linii TEM, a mianowicie linii dwuprzewodowej. Przewody zanurzone są w dielektryku o przenikalności ${\epsilon }_r$. Polowe wielkości charakteryzujące falę TEM dla tej prowadnicy są identyczne jak dla linii współosiowej. Impedancję charakterystyczną linii dwuprzewodowej określa zależność:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{276}{\sqrt{{\epsilon }_r}}log\frac{s}{a}$

(3-6)

Linia dwuprzewodowa jest z historycznego punktu widzenia pierwszą linią długą, dla której znaleziono rozwiązanie falowe. Stosowana jest jeszcze w sieciach telewizyjnych i telefonicznych w postaci tzw. skrętki.

Rys.3.2. Przekroje poprzeczne przykładowych prowadnic TEM: linii dwuprzewodowej (a) i symetrycznej linii paskowej (b).

• Symetryczna linia paskowa

Strukturę symetrycznej linii paskowej pokazano na rys.3.2b. Impedancję charakterystyczną tej linii oblicza się ze wzoru:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{30\pi }{\sqrt{{\epsilon }_r}}\frac{b}{w+0,441b}$

(3-7)

Symetryczna linia paskowa stosowana w konstrukcjach niektórych przyrządów, jak sprzęgacze, filtry, itp..

• FALOWÓD PROSTOKĄTNY

Zgodnie z pokazaną na rys.3.3 strukturą falowód prostokątny jest prowadnicą falową, w której nie występują dwa niezależne przewody, a więc nie może się rozchodzić fala elektromagnetyczna typu TEM.

Mogą natomiast, przy spełnieniu pewnych warunków rozchodzić mody TE (E) lub TM (H). Dla każdego z modów konfiguracja pól E i H jest inna. Można udowodnić, że dla każdego modu można określić częstotliwość graniczną, poniżej której dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.3.3 Struktura i wymiary falowodu prostokątnego

Każdy z modów określony jest wskaźnikami „m” i „n”. Wartość częstotliwości granicznej zależy od wartości „m” i „n”, od rozmiarów a i b falowodu, oraz od wartości przenikalności elektrycznej materiału wypełniającego falowód. W miarę wzrostu częstotliwości wzbudzają się kolejne mody $T{E}_{m,n}$ i $T{M}_{m,n}$. Mod o najniższej częstotliwości granicznej nazywany jest podstawowym. Modem podstawowym w falowodzie prostokątnym jest TE10. Dla niego wartość długości fali granicznej (jest to długość fali w wolnej przestrzeni dla częstotliwości granicznej) wynosi:

${\lambda }_{gTE10}=2a$

(3-8)

W Tabeli 3.1 zestawiono wartości częstotliwości granicznych dla kilku pierwszych modów, dla falowodu skonstruowanego do pracy w pasmie $3cm$, bez wypełnienia dielektrykiem.

Tabela 3.1: Pierwsze mody falowodu na pasmo X, o wymiarach: $a=2,286cm$, $b=1,016cm$.

MOD	$T{E}_{10}$	$T{E}_{20}$	$T{E}_{01}$	$T{E}_{11}T{M}_{11}$
Częstotliwość graniczna $f_g[GHz]$	$6,562$	$13,123$	$14,764$	$16,156$

Rozkład pola elektrycznego i magnetycznego dla modu $T{E}_{10}$ pokazano na rys.3.4.

Rys.3.4. Linie sił pola elektrycznego E i magnetycznego H dla modu podstawowego

Pasmo pracy falowodu prostokątnego zawiera się między częstotliwością graniczą modu podstawowego i częstotliwością graniczną kolejnego modu, z pewnymi marginesami.

Prędkości: fazowa $v_f$ i grupowa $v_g$ oraz długość fali ${\lambda }_f$ są, dla tej samej $f$ różne i różne dla różnych modów. Oznaczamy: prędkość $v$ i długość $\lambda$ dla fali płaskiej w wolnej przestrzeni wypełnionej ośrodkiem o ${\epsilon }_r{\epsilon }_0$ i ${\mu }_r{\mu }_0$.

$v=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}};\lambda =\frac{{\lambda }_0}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}$

(3-9)

Dla falowodów prędkość fazowa i długość fali w falowodzie opisują następujące zależności:

$v_f=\frac{\omega }{\beta }=\frac{v}{\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}}$ $v_g=v\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}=\frac{1}{d\beta /d\omega }$

(3-10)

Długość fali $\lambda$ w falowodzie jest większa, niż w wolnej przestrzeni i gdy częstotliwość zbliża się do częstotliwości granicznej długość fali rośnie do nieskończoności.

${\lambda }_f=\frac{\lambda }{\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}}$

(3-11)

Między prędkościami fazową i grupową istnieje związek (3-12):

$v_g{v}_f=v^2$

(3-12)

Na rys.3.5 pokazano zależności $v_f(f/f_g)$ i $v_g(f/f_g)$. Gdy częstotliwość zbliża się do wartości granicznej, to prędkość fazowa rośnie do nieskończoności, prędkość grupowa maleje do zera i ustaje przepływ energii. Poniżej częstotliwości granicznej dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.3.5. Prędkości fazowa i grupowa w falowodzie

Straty mocy w ściankach metalowych powodują, że falowody wykazują stosunkowo duże tłumienie mocy sygnału. Aby je zmniejszyć falowody prostokątne wykonywane są z miedzi, mosiądzu, aluminium, często są srebrzone i złocone.

• FALOWÓD CYLINDRYCZNY

Falowód cylindryczny jest metalową rurą, najczęściej powietrzną, co pokazuje rys.3.6a. W falowodzie cylindrycznym można także wzbudzić nieskończenie wiele modów $T{E}_{m,n}$ i $T{M}_{m,n}$.

Wartość częstotliwości granicznej $f_{gmn}$ związana jest z wartościami:

• dla modów $T{M}_{nm}$ z m-tym pierwiastkiem funkcji Bessela $J_n(x)=0$,
• dla modów $T{E}_{nm}$ z m-tym pierwiastkiem pochodnych tych funkcji $J_n^{\text{'}}(x)=0$.

Obecność funkcji Bessela wynika z rozwiązania równań Maxwella dla falowodu cylindrycznego.

Modem podstawowym falowodu cylindrycznego jest mod $T{E}_{11}$. Długość fali odpowiadającej częstotliwości granicznej dla tego modu równa jest:

${\lambda }_{cTE11}=3,412a$

(3-13)

Rys.3.6. Falowód cylindryczny. a) Wymiary falowodu cylindrycznego. b) Oś z częstotliwościami kolejnych modów.

Kolejny mod, który się wzbudzi, to $T{M}_{01}$, a następnie $T{E}_{21}$. tak więc pasmo pracy falowodu cylindrycznego jest niewielkie, co ogranicza zakres zastosowań. Falowody te stosowane są w konstrukcjach niektórych rezonatorów i filtrów, ze względu na ich duże dobrocie (będzie o tym mowa w jednym z dalszych wykładów).

• PROWADNICE MIKROFALOWYCH UKŁADÓW SCALONYCH

• Linia mikropaskowa

Rozwój technologii układów scalonych, planarnych z samej natury, zmusił konstruktorów do opracowania nowej rodziny prowadnic falowych, które można stosować zarówno w hybrydowych jak i monolitycznych układach scalonych. Najpopularniejszym rozwiązaniem jest linia mikropaskowa, której strukturę pokazano na rys.3.7a. Płaska, o odpowiednio dobranej grubości h warstwa dielektryka pokrywana jest obustronnie metalem. Warstwa metalizacji jest z jednej strony pozostawiona w całości, natomiast z drugiej strony pozostawione są tylko wąskie ścieżki metalizacji o odpowiednio dobranej szerokości $w$.

Linia mikropaskowa nazywana jest linią quasi-TEM, ponieważ fala EM porusza się w ośrodkach o 2 różnych prędkościach. Linia wykazują niewielka dyspersję.

Rys.3.7. Prowadnice planarne. a) Linia mikropaskowa b). Linia koplanarna c). Linia paskowa koplanarna.

Impedancja charakterystyczna linii mikropaskowej jest funkcją grubości warstwy $h$, szerokości paska metalizacji w oraz przenikalności elektrycznej ${\epsilon }_r$ dielektryka oddzielającego pasek od metalizacji „ziemi”.

Do zależności na prędkość i długość fali wprowadza się efektywną przenikalność ${\epsilon }_{eff}$, której wartość leży między ${\epsilon }_r$ podłoża a ${\epsilon }_0$ powietrza. Odpowiednie zależności można znaleźć w dostępnej literaturze.

Zakres częstotliwości pracy linii mikropaskowej jest szeroki, od prądu stałego DC do 30 GHz dla układów hybrydowych, i do 500 GHz dla układów monolitycznych.

• Linie koplanarne

Niedogodnością struktury linii mikropaskowej jest konieczność wykonywania otworów w warstwie dielektryka zwierających pasek z warstwą metalizacji. Jest to szczególnie kłopotliwe w przypadku realizacji monolitycznych układów scalonych. Niedogodności tej nie ma całkowicie planarna struktura linii koplanarnej pokazana na rys.3.7b. W niektórych rozwiązaniach stosowane także dwuprzewodowe linie planarne – rys.3.7c.

Impedancje charakterystyczne $Z_0$ zależy od ${\epsilon }_r$ podłoża i wymiarów linii i mogą być dobierane w szerokich granicach: dla linii mikropaskowej $20...100\mathrm{\Omega }$, dla linii koplanarnej $25...150\mathrm{\Omega }$, a dla linii dwuprzewodowej koplanarnej $45...220\mathrm{\Omega }$.

Dla potrzeb technologii mikrofalowych układów scalonych opracowano techniki wytwarzania planarnych rezystorów, kondensatorów, cewek indukcyjnych, a także diod i tranzystorów. W scalonych układach hybrydowych MIC elementy te montuje się na powierzchni układu, łączą je z paskami prowadnic falowych. W monolitycznych układach scalonych MMIC wszystkie elementy wykonuje się w procesach technologicznych na podłożu krzemu, albo arsenku galu.

• Podłoża linii planarnych

Jak wspomniano wyżej parametry linii planarnej, takie jak impedancja charakterystyczna, długość fali, straty zależą od rodzaju użytego dielektryka. Zestawienie typowych dielektryków i ich najważniejsze parametry zestawiono w Tabeli 3.2.

Tabela 3.2. Zestawienie właściwości podłoży prowadnic planarnych

Tabela 3.1: Pierwsze mody falowodu na pasmo X, o wymiarach: $a=2,286cm$, $b=1,016cm$.

Podłoże	${\epsilon }_r$	$tg\delta$	Zastosowania
$A{l}_2{O}_3$ - ceramika alundowa	9,6	0,0001	MIC
$Si{O}_2$ - kwarc	3,8	0,00006	MIC
Teflon	2,1	0,00015	MIC
$GaAs$ - arsenek galu	12,5 - 13	0,002	MMIC
$Si$ - krzem	11,2	0,004	MMIC

Wśród nich najbardziej popularnymi są ceramika alundowa $A{l}_2{O}_3$, płytki wykonane z kwarcu oraz teflon, niekiedy wymieszany z proszkiem alundowym.

Arsenek galu i krzem jako półprzewodniki samoistne o niewielkim poziomie domieszek nie są najlepszymi dielektrykami i wykonane na nich linie wykazują duże straty. Jednakże stosujemy je w układach monolitycznych, gdyż tylko na takim podłożu można wykonywać aktywne tranzystory.

• TŁUMIENIE PROWADNIC FALOWYCH

• Straty w liniach długich

Tłumienie mocy sygnału propagowanego prowadnicą falową zależy od trzech najważniejszych czynników:

• przewodności metalu, z którego wykonano przewody linii,
• strat materiału dielektrycznego wypełniającego częściowo lub w całości prowadnicę,
• strat mocy na promieniowanie.

Można więc w ogólnym przypadku zapisać współczynnik tłumienia następująco:

$\alpha ={\alpha }_m+{\alpha }_d+{\alpha }_{rad}$

(3-14)

Gdzie ${\alpha }_m$ reprezentują straty wywołane skończoną przewodnością metalu, ${\alpha }_d$ to straty wywołane obecnością stratnego dielektryka, a ${\alpha }_{rad}$ reprezentuje straty wywołane promieniowaniem energi na zewnątrz linii.

Przyjmiemy, że linia TEM wypełniona jest dielektrykiem o przenikalności:

$\epsilon ={\epsilon }^{\prime }+j{\epsilon }^{″}={\epsilon }_r{\epsilon }_0(1-jtg\delta )$

(3-15)

Dla linii współosiowej można oszacować straty następująco:

${\alpha }_d=\frac{\pi tg\delta }{{\lambda }_f}=\frac{\pi ftg\delta }{v_f}$

(3-16)

Jak widać ${\alpha }_d$ rośnie proporcjonalnie do częstotliwości $f$ we wszystkich liniach TEM i quasi-TEM.

Ogólnie:

${\alpha }_d=Aftg\delta$

(3-17)

a stała proporcjonalności zależy od rozmiarów linii.

Straty spowodowane niedoskonałością przewodnika są duże i rosną z częstotliwością, ze względu na efekt naskórkowości. Jak nam wiadomo pole elektryczne nie wnika do doskonałego przewodnika, ale do niedoskonałego wnika, na pewną, niewielką głębokość - rys.3.8a.

Rys.3.8. Zanikanie pola elektrycznego (a) i pradu (b) jako efekt naskórkowości.

W rezultacie na powierzchni przewodnika płynie prąd, ale tylko w cienkiej warstwie o głębokości wnikania ${\delta }_s[m]$ i szybko zanika w warstwach głębszych – rys.3.8b. Głębokość wnikania może być obliczona ze wzoru (3-18):

${\delta }_s[m]=\frac{1}{\sqrt{\pi f{\mu }_r{\mu }_0\sigma }}$

(3-18)

Na przykład dla miedzi $Cu$, dla częstotliwości $f=10GHz$, głębokość wnikania jest niewielka i wynosi ${\delta }_s=0,66\mu m$.

Rezystancja powierzchniowa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_s[\Omega/kwadrat]\} rośnie dla każdego przewodnika z częstotliwością $f$, choć wolniej dla przewodników dobrze przewodzących (duża przewodność $\sigma$):

$R_s[\mathrm{\Omega }/kw.]=\frac{1}{\sigma {\delta }_s}=\sqrt{\frac{\pi f{\mu }_r{\mu }_0}{\sigma }}$

(3-19)

Dla linii typu TEM składnik stałej tłumienia ${\alpha }_m$ jest proporcjonalny do rezystancji $R_s$ :

${\alpha }_m=B\sqrt{\frac{f{\mu }_r}{\sigma }}$

(3-20)

Straty na promieniowanie można w przypadku falowodów pominąć, dla linii koncentrycznej także, chyba, że w kablu koncentrycznym przewód zewnętrzny wykonany jest z plecionki metalowej. Jednakże w liniach planarnych nie może być pominięty, choć jest trudny do oszacowania.

• Porównanie strat

Porównanie strat rozmaitych typów prowadnic falowych, zestawione na rys.3.9 prowadzi do przygnębiających wniosków: straty są duże.

Rys.3.9. Tłumienie dla różnych typów falowodów prostokątnych wykonanych z aluminium i srebra, oraz dla miedzianych kabli współosiowych, w funkcji częstotliwości.

Można je pominąć w monolitycznych układach scalonych przy propagacji na odległość 1 mm, w układach hybrydowych przy propagacji na odległość 3 cm, w kablach współosiowych łączących aparaturę pomiarową pracującą w pasmie 1000 MHz na odległościach 1 metra. Ale w sieciach telewizji kablowej już nie można ich pominąć. Dodajmy, że w światłowodach kwarcowych straty są rzędu 0,2-0,4 dB/km. Aż trudno uwierzyć!

---