Test GR4

22222222222222222222222222222222222222

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

Pochodna funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$ jest równa

$f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}$ Dobrze

$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$ Źle

$f^{\prime }(x)=1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2-1}}$. Dobrze

tak, nie, tak

Styczna do wykresu funkcji $f(x)=x\sin x$ w punkcie $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ma równanie

$y=x$ Dobrze

$y=(-\frac{\pi }{2}+1)x+\frac{{\pi }^2}{4}$ Źle

$y=x+\frac{\pi }{2}$. Źle

tak, nie, nie

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \endcases }

jest ciągła Dobrze

ma pochodną w punkcie $x=0$ Dobrze

ma ciągłą pochodną w punkcie $x=0$. Dobrze

tak, tak, tak

Równanie $x^e=k{e}^x$

nie ma rozwiązań dla $k\in (0,1)$ Źle

nie ma rozwiązań dla $k>1$ Dobrze

ma dwa rozwiązania dla $k=1$. Źle

nie, tak, nie

Pochodna funkcji $f(x)=x^{e^x}$ jest równa

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}$ Źle

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x}\ln x$ Źle

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}\frac{x\ln x+1}{x}$. Źle

nie, nie, nie

Niech $x_0\in (a,b)$ i niech $f$ będzie funkcją ciągłą w przedziale $(a,b)$ taką, że istnieje granica

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.$

Wtedy

istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i $f^{\prime }(x_0)=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=\frac{A}{2}$. Dobrze

nie, nie, tak

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja $x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}$


 (1)

ma dokładnie dwa punkty krytyczne

   

 (2)

nie ma ekstremum w punkcie $0$

   

 (3)

ma minimum w punkcie 2.

tak, nie, nie

Funkcja $x\to x+\ln (\sin x)$
 

 (1)

ma punkty krytyczne postaci $\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

   

 (2)

ma tylko minima

   

 (3)

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5\pi }{2},3\pi )$.

 nie, nie, nie

Niech $f(x)=x^m(1-x{)}^n$ dla pewnych

liczb naturalnych $m,n$. Wtedy

 

 (1)

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne

   

 (2)

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0,1)$

   

 (3)

funkcja $f$ może mieć dwa minima.

 nie, tak, tak

Liczba $\frac{\pi }{2}$ jest największą

wartością funkcji

 

 (1)

$x\mapsto x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ w przedziale $[0,1]$

   

 (2)

$x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ w przedziale $[1,+\mathrm{\infty })$

   

 (3)

$x\mapsto (1-x)\arccos x$ w przedziale $[0,1]$.

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o

wymiarach $a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$. Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

 

 (1)

jeśli $a=3$ i $b=8$, to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$

   

 (2)

jeśli $a=b$, to $x=\frac{a}{6}$

   

 (3)

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne.

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej

dwukrotnie, która nie jest klasy $C^2$ jest funkcja

 

 (1)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^4\cos \frac{1}{x},& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ne 0\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x=0\end{array}$

   

 (2)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}-x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$

   

 (3)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ -x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$.

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest


 (1)

$[+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$

   

 (2)

$\left[1^{+\mathrm{\infty }}\right]$

   

 (3)

$\left[0^{-\mathrm{\infty }}\right]$.

tak, tak, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^3}$
 

 (1)

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala

   

 (2)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^6}$

   

 (3)

jest równa 0. tak, nie, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln x$
 

 (1)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }(1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x})$

   

 (2)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }1\cdot \frac{1}{x}$

 (3)

jest równa 0.

nie, nie, tak

Granica $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln x}$
 

 (1)

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$

   

 (2)

jest równa $1$ dla $m=2$

   

 (3)

jest równa $0$ dla pewnego $m$.

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala

prawdziwa jest równość

 

 (1)

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{10x+3}{4x-7}$

   

 (2)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x+\cos x}{2x-\sin x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-\sin x}{2-\cos x}$

   

 (3)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{2x}$

   nie, nie, nie

Funkcja $f(x)=2x\arccos \frac{1}{x}$
 

 (1)

ma asymptotę pionową $x=0$

   

 (2)

ma asymptotę ukośną $y=\pi x-2$ w plus lub minus nieskończoności

   

 (3)

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja


 (1)

$x\mapsto \ln \frac{1}{x}$ jest wklęsła

   

 (2)

$x\mapsto \cosh x$ jest wypukła

   

 (3)

$x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja $f$ jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0,+\mathrm{\infty })$. Wtedy:

 

 (1)

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f^{\prime }$ jest rosnąca.

   

 (2)

Jeśli $f^{\prime }$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła.

   

 (3)

Jeśli $f^{″}(1)=0$, to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia. tak, tak, nie

Funkcja $f(x)=x^3+12\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ jest
 

 (1)

wypukła w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$

   

 (2)

wklęsła w przedziale $(-\mathrm{\infty },-1)$

   

 (3)

wypukła w przedziale $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

 tak, tak, nie

Funkcja $x\mapsto x\arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

 

 (1)

$(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$

   

 (2)

$(-\frac{\pi }{2},0)$

   

 (3)

$(5\pi ,6\pi )$.

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w

przedziale $(0,1)$, to

 

 (1)

funkcja $f^2(x)=(f(x){)}^2$ też jest wypukła w tym przedziale

   

 (2)

funkcja $f^3(x)=(f(x){)}^3$ też jest wypukła w tym przedziale

   

 (3)

funkcja $(0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech $x,y,z$ będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

 

 (1)

$xyz\le \frac{(x+y+z{)}^3}{27}$

   

 (2)

$e^{\frac{2x+y}{3}}\le \frac{2}{3}(e^x+e^y)$

   

 (3)

$2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{2x+y+z}{4}\le \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}y+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z)$.

tak, tak, tak