Test GR4

{Niech $S_0=\left\{0\right\}$ oraz $S_{i+1}=S_i\cup \left\{\left|S_i\right|\right\}$ . Suma $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_i$ jest}

{zbiorem jednoelementowym  $\left\{0\right\}$ }
{zbiorem skończonym}
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
{zbiorem nieskończonym}

{Niech $S_0=\left\{10\right\}$ oraz $S_{i+1}=S_i\cup \left\{\left|S_i\right|\right\}$ . Suma $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_i$ jest}

{zbiorem jednoelementowym  $\left\{10\right\}$ }
{zbiorem skończonym  $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ }
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą  $0$ }

{Niech $a_0=1$ oraz $a_n=a_0+a_1+\dots +a_{n-1}$ . Ciąg $a_n$ jest }

{ciągiem arytmetycznym}
{ciągiem geometrycznym}
{ciągiem o wyrazach  $a_n=2^{n-1}$ }
{ciągiem Fibonacci'ego}

{Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu czterech wież zamiast trzech, liczba $H_n$ ruchów potrzebnych do przeniesienia $n$ krążków wyraża się zależnością:}

{ $H_n=2H_{n-1}+1$ }
{ $H_n=2H_{n-2}+3$ }
{ $H_n=2H_{n-1}+3$ }
{ $H_n=2H_{n-2}+1$ }

{Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:}

{ $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ }
{ $f_{n+2}=f_n+f_{n-1}$ }
{ $f_{n+2}=f_n+f_{n-1}+\dots +f_1+f_0-1$ }
{ $f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$ .}

{Niech $a_0=2$ , zaś $a_1=1$ , oraz ponadto $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$ . Postać zwarta ciągu $a_n$ , to}

{ $a_n={(-2)}^n+3^n$ }
{ $a_n={(-1)}^n+2^n$ }
{ $a_n=-2^n+3$ }
{ $a_n=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ }

{Drzewo binarne o wysokości $4$ ma szerokość:}

{co najwyżej  $16$ }
{co najwyżej  $8$ }
{co najmniej  $4$ }
{co najmniej  $5$ }

{Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej $a$ , implikacji $\Rightarrow$ oraz poprawnego nawiasowania jest:}

{równoważne zdaniu  $a$ }
{równoważne zdaniu  $a$  lub jest tautologią}
{tautologią}
{równoważne zdaniu  $\mathrm{\neg }a$  lub zdaniu  $a$ }

---

\newtheorem{thm}{Twierdzenie} \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja} \newtheorem{con}[thm]{Wniosek} \newtheorem{exrr}{Zadanie}

{

\parindent 0mm

#1 \parindent 10mm }{\hfill{ $◻$ }

}

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul

Indukcja

\endLarge 

\parindent 10mm

Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu

$n\ge 2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }$ ,

$n\le 2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }$ ,

$\lceil {\log }_2\lceil n/2\rceil \rceil =\lceil {\log }_2(n/2)\rceil$ ,

$\lfloor {\log }_2\lceil n/2\rceil \rfloor =\lfloor {\log }_2(n/2)\rfloor$ .

Dowolny niepusty podzbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ zbioru liczb naturalnych

ma w sobie liczbę największą

ma w sobie liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej

Zbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest taki, że jeśli $s\in S$ to $s+1\in S$ .

Jeśli $9\in S$ , to:

$S=\mathbb{\mathbb{N}}$

$S=\mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

$S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

$S\supseteq \mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Zbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest taki, że jeśli $a,b\in S$ ,

to $a+b\in S$ oraz $a+b+1\in ̸S$ . Jeśli $0,2\in S$ , to:

$S=\mathbb{\mathbb{N}}$

zbiór $S$ zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste

zbiór $S$ jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste

zbiór $S$ jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste

Ostatnią cyfrą liczby $3^{3^n}$ jest

zawsze $3$

zawsze $3$ lub $7$

zawsze $7$

jakakolwiek z cyfr $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Jeśli $Z\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru $\mathbb{\mathbb{N}}$ postaci $\{0,\dots ,k-1\}$ zawiera również kolejną liczbę $k$ , to wtedy

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne

zbiór $Z$ zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych

zbiór $Z$ jest pusty

Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia,

że nikt z nikim się nie lubił. Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił, że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni, to nie powinno być problemu, aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi, będącymi w klasie. Drugi z nich zauważył jednak, że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma. Czy klasa jest w stanie się pogodzić?

klasa na pewno się nie pogodzi

klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia

jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby,

przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

Jeśli $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ , to

zbiór $S$ ma element największy

zbiór $S$ ma element najmniejszy

zbiór $S$ ma element największy, o ile $S$ jest niepusty

zbiór $S$ ma element najmniejszy, o ile $S$ jest niepusty