ASD Ćwiczenia 14

Zadanie 1

Dane sa teksty x, y, oblicz najdłuższy tekst z (który oznaczamy LCS(x,y) od ang. Longest Common Subword)

który jest jednocześnie podsłowem x, y.

Rozwiązanie

Konstruujemy drzewo sufiksowe dla tekstu x#y$. nwpodsłowo(x,y) odpowiada węzłowi w drzewie, który reprezentuje najdłuższe podsłowo, oraz z którego prowadzą ścieżki do liści reprezentujących numer sufiksu zaczynającego się w x, i numer sufiksu zaczynającego się w y. Drzewo trzeba odpowiednio przeprocessować bottom-up, żeby można było potem łatwo wyliczyć odpowiedni węzeł. Podobnie rozwiazujemy dla wiely słów x,y ,.. .

Zadanie 2

Niech $lcp$ będzie tablicą najdłuższych wspólnych prefiksów dla słowa x oraz niech $SUMA(lcp)$ będzie sumą elementów tablicy $lcp$. Uzasadnij dlaczego liczba wszystkich niepustych podsłów x wynosi

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})-SUMA(lcp)$

Rozwiązanie

Liczba ta jest równa sumie wag krawędzi drzewa sufiksowego. Wzór z zadania wynika to z konstrukcji drzewa sufiksowego opiuerającej się na tablicy sufiksowej i tablicy $lcp$.

Zadanie 3

Policz wzór na $|Subwords(F_n)|$

Rozwiązanie

Oznaczmy $Sub(n)=|Subwords(F_n)|$, niech ${\mathrm{\Phi }}_n$ będzie n-tą liczba Fibonacciego. Wtedy

$Sub(n+1)=Sub(n)+{\mathrm{\Phi }}_{n-3}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{n-1}+{\mathrm{\Phi }}_{n-2}\cdot ({\mathrm{\Phi }}_{n-1}+2)$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {Sub(n)\ =\ \Phi_{n-1}\Phi_{n-2}+2\cdot \Phi_{n-1}-1}

Zadanie 4

Niech $lc{p}^{\prime }[k]=lcp[rank[k]-1]$. Udowodnij, że $lc{p}^{\prime }[k]\ge lc{p}^{\prime }[k-1]-1$

Rozwiązanie

Wynika ze struktury tablicy lcp, oraz stąd że kolejno rozważane słow powstają z poprzednich przez obcięcie pierwszej litery.

Zadanie 5

Opisz liniowy  algorytm liczący tablicę ROT, zakładając, że mamy liniowy algorytm liczenia tablicy sufiksowej.

Rozwiązanie

Zastosuj algorytm na liczenie tablicy sufiksowej do słowa xx

Zadanie 6

Pokaż, że jeśli mamy tablicę sufiksową dla słowa compress(x) to można łatwo policzyć SUF[M] w czasie liniowym

Rozwiązanie

Tablica sufiksowa dla słowa compress(x) składa się z dwóch połówek, kodują one ślowa zaczynające się na pozycjach odpowiedni i mod 3 =1, oraz i mod 3 =2.

Rozwiązanie

Konstruujemy drzewo sufiksowe dla tekstu x#y$. nwpodsłowo(x,y) odpowiada węzłowi w drzewie, który reprezentuje najdłuższe podsłowo, oraz z którego prowadzą ścieżki do liści reprezentujących numer sufiksu zaczynającego się w x, i numer sufiksu zaczynającego się w y. Drzewo trzeba odpowiednio przeprocessować bottom-up, żeby można było potem łatwo wyliczyć odpowiedni węzeł. Podobnie rozwiazujemy dla wiely słów x,y ,.. .