Sztuczna inteligencja/SI Moduł 2/Składnia języka logiki

Składnia języka logiki

Obecnie przystąpimy do zdefiniowania składni języka logiki predykatów, w którym będą zapisywane formuły przetwarzane w procesie wnioskowania, Składnia określa reguły budowania poprawnych formuł, czyli takich, które mogą być przetwarzane przez system wnioskujący. Definiując składnię nie będziemy się zajmować znaczeniem poszczególnych symboli i konstrukcji języka, choć oczywiście znaczenie części z nich będzie dla nas oczywiste ze względu na powszechne doświadczenie z używaniem notacji logicznej np. do zapisu twierdzeń matematycznych.

Alfabet

Alfabet, czyli zbiór symboli języka logiki predykatów, obejmuje poniższe kategorie symboli. Dla każdej z nich podano oznaczenia, jakie będą dalej stosowane.

• Symbole stałych: oznaczane za pomocą liter $a,b,c\dots$.
• Symbole zmiennych: oznaczane za pomocą liter $x,y,z\dots$.
• Symbole funkcyjne: oznaczane za pomocą liter $f,g,h\dots$.każdy symbol funkcyjny ma ustaloną liczbę argumentów.
• Symbole predykatowe: oznaczane za pomocą liter $P,Q,R,\dots$; każdysymbol predykatowy ma ustaloną liczbę argumentów.
• Operatory logiczne: $\mathrm{\neg }$ (negacja), $\wedge$ (koniunkcja),$\vee$ (alternatywa), $\to$ (implikacja), $\leftrightarrow$(równoważność).
• Kwantyfikatory: kwantyfikator ogólny $\mathrm{\forall }$, kwantyfikatorszczegółowy $\mathrm{\exists }$.
• Nawiasy: $($, $)$, w razie potrzeby także inne.

Będziemy czasem skrótowo mówić o symbolach stałych jako o stałych, o symbolach zmiennych jako o zmiennych, o symbolach funkcyjnych jako o funkcjach, o symbolach predykatowych jako o predykatach, trzeba jednak pamiętać, że - jak długo nie określimy ich znaczenia - są to wyłącznie symbole, czyli pewne napisy, z których konstruowane są bardziej złożone napisy (formuły) według opisanych dalej reguł.

Termy

Jak zobaczymy, formuły konstruowane są z symboli predykatowych stosowanych do argumentów. Poprawnej postaci argumenty dla symboli predykatowych nazywane są termami. Każda stała i zmienna jest termem. Ponadto, jeśli $f$ jest dowolnym $m$-argumentowym symbolem funkcyjnym, a $t_1,t_2,\dots ,t_m$ są dowolnymi termami, to także $f(t_1,t_2,\dots ,t_m)$ jest termem. Jak widać, stosując dowolny symbol funkcyjny do argumentów będących termami uzyskujemy term.

Formuły atomowe

Jeśli $P$ oznacza dowolny $m$-argumentowy symbol predykatowy, a $t_1,t_2,\dots ,t_m$ są dowolnymi termami, to $P(t_1,t_2,\dots ,t_m)$ jest formułą atomową. Formułą atomową jest więc dowolne zastosowanie symbolu predykatowego do argumentów będących termami.

Formuły złożone

Formuły złożone są konstruowane z formuł atomowych przez zastosowanie operatorów logicznych, kwantyfikatorów i nawiasów, zgodnie z określonymi poniżej zasadami.

• Jeśli $\alpha$ jest formułą, to $(\alpha )$ jest formułą.
• Jeśli $\alpha$ jest formułą, to $\mathrm{\neg }\alpha$ jest formułą.
• Jeśli $\alpha$ i $\beta$ są formułami, to:
  • $\alpha \wedge \beta$ jest formułą,
  • $\alpha \vee \beta$ jest formułą,
  • $\alpha \to \beta$ jest formułą,
  • $\alpha \leftrightarrow \beta$ jest formułą.

• Jeśli $\alpha$ jest formułą i $x$ jest symbolem zmiennej, to
  • $(\mathrm{\forall }x)\alpha$ jest formułą,
  • $(\mathrm{\exists }x)\alpha$ jest formułą.