Test HB3
\renewcommand*{\refname}{Literatura}
%\theoremstyle{remark} \newtheorem*{stre}{Streszczenie} \newtheorem*{wsk}{Wskazówka} \newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} \newtheorem*{textt}{} \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{stw}[thm]{Stwierdzenie} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{uwa}[thm]{Uwaga} \newtheorem{exa}[thm]{Example} \newtheorem{dfn}[thm]{Definicja} \newtheorem{wn}[thm]{Wniosek} \newtheorem{prz}[thm]{Przykład} \newtheorem{zadan}[thm]{Zadanie}
\def\labeleq#1{\label{#1}} \def\graph{}
\def\bte{} %\begin{textt}\rm } \def\ete{} %\end{textt}} %\def\broz{\noindent\textbf{Rozwiązanie}\ } %\def\eroz{\hspace*{\fill}$\Box$\\} %\def\bwsk{\noindent\textbf{Wskazówka}\ } %\def\ewsk{\hspace*{\fill}$\Box$\\} \def\bwsk{\begin{wsk}\rm } \def\ewsk{\end{wsk}} \def\broz{\begin{rozw}\rm } \def\eroz{\end{rozw}}
\def\JESLI{\underline{\textbf{Jeśli}}\ } \def\TO{${}$\\ \underline{\textbf{to}}\ }
\def\bstr{\begin{stre}\rm } \def\estr{\end{stre}} \def\bdo{\begin{proof}\rm } \def\edo{\end{proof}} \def\bthm{\begin{thm}\rm } \def\ethm{\end{thm}} \def\bstw{\begin{stw}\rm } \def\estw{\end{stw}} \def\ble{\begin{lem}\rm } \def\ele{\end{lem}} \def\bzad{\begin{zadan}\rm } \def\ezad{\end{zadan}} \def\buw{\begin{uwa}\rm } \def\euw{\end{uwa}} \def\bde{\begin{dfn}\rm} \def\ede{\end{dfn}} \def\bwn{\begin{wn}\rm } \def\ewn{\end{wn}} \def\bprz{\begin{prz}\rm } \def\eprz{\end{prz}} \def\bex{\begin{exa}\rm} \def\eex{\end{exa}}
\def\nn{\mathbb{N}} \def\nns{\mathbb{N}^*} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\qq{\mathbb{Q}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\rdn{\mathbb{R}^{2N}} \def\rdk{\mathbb{R}^{2k}} \def\orr{\overline{\mathbb{R}}} \def\rrs{\mathbb{R}^*} \def\rrp{\mathbb{R}_+} \def\rrsp{\mathbb{R}^*_+} \def\cc{\mathbb{C}}
%operacje matematyczne \def\arctg{\mathrm{arctg}\,} \def\tg{\mathrm{tg}\,} \def\ctg{\mathrm{ctg}\,} \def\arcctg{\mathrm{arc\,ctg}\,} \def\arctg{\mathrm{arctg}\,} \def\supp{\mathrm{supp}\,} \def\ker{\mathrm{ker}\,} \def\Dom{\mathrm{Dom}\,} \def\dom{\mathrm{dom}\,} \def\epi{\mathrm{epi}\,} \def\intt{\mathrm{int}\,} \def\Fr{\mathrm{Fr}\,} \def\rintt{\mathrm{rint}\,} \def\proj#1{\mathrm{proj}_{#1}\,} \def\diam{\mathrm{diam}\,} \def\dist{\mathrm{dist}\,} \def\divv{\mathrm{divv}\,} \def\spann{\mathrm{span}\,} \def\codim{\mathrm{codim}\,} \def\card{\mathrm{card}\,} \def\Fix{\mathrm{Fix}\,} \def\diag{\mathrm{diag}\,}
%przestrzenie \def\cfun#1{C\left(#1\right)} \def\ctx{C\left(T;X\right)} \def\cct{C\left(\overline{T}\right)} \def\cco{C\left(\overline{\Omega}\right)} \def\cio{C^{\infty}\left(\Omega\right)} \def\cizo{C^{\infty}_0\left(\Omega\right)} \def\cizoop{C^{\infty}_0\left(\ol{\Omega}\right)_+} \def\cizb{C^{\infty}\left(0,b\right)} \def\cmc{C\left(M;C\right)} \def\cmx{C\left(M;X\right)} \def\cmsx{C\left(M^*;X\right)} \def\cjx{C^1\left(X\right)} \def\cju{C^1\left(U\right)} \def\cjrn{C^1\left(\rr^N\right)} \def\cjrdnr{C^1\left(\rr^{2N};\rr\right)} \def\cjrnrn{C^1\left(\rr^N;\rr^N\right)} \def\cjo{C^1\left(\Omega\right)} \def\cjop{C^1\left(\Omega\right)_+} \def\cjoo{C^1\left(\ol{\Omega}\right)} \def\cjt{C^1\left(T\right)} \def\cjbvo{C^1\blrbo{\bvo(\Omega)}} \def\clocrrn{C_{\textrm{\rm loc}}\left(\rr;\rr^N\right)} \def\cark{C\left(A;\rr^k\right)} \def\cyrk{C\left(Y;\rr^k\right)} \def\cyy{C\left(Y;Y\right)} \def\cbx{C\left(B;X\right)} \def\crprp{C\left(\rr_+;\rr_+\right)} \def\crn{C\left(\rr^n\right)} \def\crrn{C\left(\rr;\rr^n\right)} \def\cjtrn{C^1\left(T;\rr^N\right)} \def\cjpert{C^1_{\mathrm{per}}\left(T\right)} \def\cpert{C_{\mathrm{per}}\left(T\right)} \def\cpertrn{C_{\mathrm{per}}\left(T;\rr^N\right)} \def\cjpertrn{C^1_{\mathrm{per}}\left(T;\rr^N\right)} \def\cjtrdn{C^1\left(T;\rr^{2N}\right)} \def\cjtnrn{C^1\left(T_n;\rr^N\right)} \def\cjtrnp{C^1\left(T;\rr^N_+\right)} \def\cjzzbrn{C^1_0\left((0,b);\rr^N\right)} \def\ciczbrn{C^{\infty}_0\left((0,b);\rr^N\right)} \def\cjy{C^1\left(Y\right)} \def\cjco{C^1\left(\overline{\Omega}\right)} \def\cjbco{C^{1,\beta}\left(\overline{\Omega}\right)} \def\cirnr{C^{\infty}\left(\rr^N;\rr\right)} \def\cirdnr{C^{\infty}\left(\rdn;\rr\right)} \def\cico{C^{\infty}\left(\overline{\Omega}\right)} \def\cicorn{C^{\infty}\left(\overline{\Omega};\mathbb{R}^N\right)} \def\czir{C_0^{\infty}\left(\rr\right)} \def\czirrn{C_0^{\infty}\left(\rr;\rr^N\right)} \def\czirn{C_0^{\infty}\left(\rr^N\right)} \def\czio{C_0^{\infty}\left(\Omega\right)} \def\czizb{C_0^{\infty}\left(0,b\right)} \def\czizbrn{C_0^{\infty}\left((0,b);\rr^N\right)} \def\cko{C^k\left(\Omega\right)} \def\ckco{C^k\left(\overline{\Omega}\right)} \def\czz{C\left(Z;Z\right)} \def\cty{C\left(Y\right)} \def\ct{C\left(T\right)} \def\cex{C\left(E;X\right)} \def\cqx{C\left(Q;X\right)} \def\ctrn{C\left(T;\rr^N\right)} \def\ctnrn{C\left(T_n;\rr^N\right)} \def\czj{C\left([0,1]\right)} \def\czjrn{C\blrbo{[0,1];\rr^N}} %zrobis \blrbo wszedzie \def\czju{C\blrbo{[0,1];U}} \def\czjxtx{C\blrbo{[0,1]\times X;X}} \def\czjx{C\blrbo{[0,1];X}} \def\czjtrn{C_0^1\left(T;\rr^N\right)} \def\czjtxx{C\left([0,1]\times X;X\right)} \def\czjwjptnrn{C\left([0,1];\wjptnrn\right)} \def\cj#1{C^1\left(#1\right)} %dla nietypowych przestrzeni \def\cjZr{C^1\left(Z;\rr\right)} \def\cjzjx{C^1\left([0,1];X\right)} \def\cewjpo{C\left(E;\wjpo\right)} \def\cewjppert{C\left(E;\wjppert\right)} \def\cjwjppert{C\left(\wjppert\right)} \def\cjsjrdn{C^1\left(S^1;\rdn\right)} \def\csjrdn{C\left(S^1;\rdn\right)} \def\cjldsjrdn{C\left(\ldsjrdn\right)} \def\ljzjrn{L^1\left((0,1);\rr^N\right)} \def\ljabrn{L^1\left((a,b);\rr^N\right)} \def\ljzjp{L^1\left((0,1)\right)_+} \def\ljr{L^1\left(\rr\right)} \def\ljo{L^1\left(\Omega\right)} \def\ljop{L^1\left(\Omega\right)_+} \def\lzox{L^0\left(\Omega;X\right)} \def\ljox{L^1\left(\Omega;X\right)} \def\ljt{L^1\left(T\right)} \def\ljynez{L^1\left(\{y\ne 0\}\right)} \def\ljtp{L^1\left(T\right)_+} \def\letatp{L^{\eta}\left(T\right)_+} \def\letao{L^{\eta}\left(\Omega\right)} \def\ljtrn{L^1\left(T;\rr^N\right)} \def\ljtx{L^1\left(T;X\right)} \def\ljwtx{L^1_{\wtop}\left(T;X\right)} \def\lpo{L^p\left(\Omega\right)} \def\lso{L^s\left(\Omega\right)} \def\lpos{\left(L^p\left(\Omega\right)\right)^*} \def\lpox{L^p\left(\Omega;X\right)} \def\lspro{L^{s'}\left(\Omega\right)} \def\lio{L^{\infty}\left(\Omega\right)} \def\liop{L^{\infty}\left(\Omega\right)_+} \def\lirrn{L^{\infty}\left(\rr;\rr^N\right)} \def\lit{L^{\infty}\left(T\right)} \def\litp{L^{\infty}\left(T\right)_+} \def\litnrn{L^{\infty}\left(T_n;\rr^n\right)} \def\lro{L^r\left(\Omega\right)} \def\lrt{L^r\left(T\right)} \def\ldt{L^2\left(T\right)} \def\ldtp{L^2\left(T\right)_+} \def\ldtrn{L^2\left(T;\rr^N\right)} \def\ldtrk{L^2\left(T;\rr^k\right)} \def\lqo{L^q\left(\Omega\right)} \def\lpo{L^p\left(\Omega\right)} \def\lvto{L^{\vt}\left(\Omega\right)} \def\lpt{L^p\left(T\right)} \def\lptp{L^p\left(T\right)_+} \def\lptrn{L^p\left(T;\rr^N\right)} \def\lptjrn{L^p\left(T_1;\rr^N\right)} \def\lptnrn{L^p\left(T_n;\rr^N\right)} \def\lpptmrn{L^{p'}\left(T_m;\rr^N\right)} \def\lppt{L^{p'}\left(T\right)} \def\lpptp{L^{p'}\left(T\right)_+} \def\lrpt{L^{r'}\left(T\right)} \def\lrptp{L^{r'}\left(T\right)_+} \def\lpptrn{L^{p'}\left(T;\rr^N\right)} \def\lpptrnip{L^{p'}\left(T;\rr^N_+\right)} \def\lpptw{L^{p'}\left(T\right)_w} \def\lpptnrn{L^{p'}\left(T_n;\rr^N\right)} \def\lpptrnw{L^{p'}\left(T;\rr^N\right)_w} \def\lpso{L^{p^*}\left(\Omega\right)} \def\lporn{L^p\left(\Omega;\rr^N\right)} \def\lqorn{L^p\left(\Omega;\rr^N\right)} \def\lppro{L^{p'}\left(\Omega\right)} \def\lpprow{L^{p'}\left(\Omega\right)_{\wtop}} \def\lvtpro{L^{p'}\left(\Omega\right)} \def\lpprrn{L^{p'}\left(\rr;\rr^N\right)} %\def\lpn{L^p_n} \def\lpno{L^{p_n}\left(\Omega\right)} \def\lpnpjo{L^{p_{n+1}}\left(\Omega\right)} \def\lsno{L^{s_n}\left(\Omega\right)} \def\lspro{L^{s'}\left(\Omega\right)} \def\lppro{L^{p'}\left(\Omega\right)} \def\lpprop{L^{p'}\left(\Omega\right)_+} \def\lrpro{L^{r'}\left(\Omega\right)} \def\lrprpo{L^{r'}\left(\po\right)} \def\lpprorn{L^{p'}\left(\Omega;\rr^N\right)} \def\lpoprrn{L^p\left(\Omega';\rr^N\right)} \def\ljpo{L^1\left(\partial\Omega\right)} \def\lppo{L^p\left(\partial\Omega\right)} \def\lppow{L^p\left(\partial\Omega\right)_{\wtop}} \def\lprrn{L^p\left(\rr;\rr^N\right)} \def\lprn{L^p\left(\rr^N\right)} \def\ljsjrdn{L^1\left(S^1;\rdn\right)} \def\ldsjrdn{L^2\left(S^1;\rdn\right)} \def\hjsjrdn{H^1\left(S^1;\rdn\right)} \def\hjsbrdn{H^1\left(S_b;\rdn\right)} \def\hjsbrk{H^1\left(S_b;\rr^k\right)} \def\hjpertrdn{H^1_{\mathrm{per}}\left(T;\rdn\right)} \def\ldsjrdnw{L^2\left(S^1;\rdn\right)_w} \def\ldo{L^2\left(\Omega\right)} \def\ldlo{L^2_{\mathrm{loc}}\left(\Omega\right)} \def\ljlo{L^1_{\mathrm{loc}}\left(\Omega\right)} \def\lpplocrrn{L^{p'}_{\mathrm{loc}}\left(\rr;\rr^N\right)} \def\cdo{{\cal D}\left(\Omega\right)} \def\cdpo{{\cal D}'\left(\Omega\right)} \def\borel{{\mathscr{B}}} \def\lh{{\mathcal{L}}\left(H\right)} \def\lz{{\mathcal{L}}\left(Z\right)} \def\lzzs{{\mathcal{L}}\left(Z;Z^*\right)} \def\lxy{{\mathcal{L}}\left(X;Y\right)} \def\lxxs{{\mathcal{L}}\left(X;X^*\right)} \def\lysxs{{\mathcal{L}}\left(Y^*;X^*\right)} \def\lcxy{{\mathcal{L}}_c\left(X;Y\right)} \def\morn{{\mathcal{M}}\left(\Omega;\rr^N\right)} \def\ac{\prec\prec} %absolutnie ciagla (miara wzgledem drugiej) \def\ms{m^s} \def\xs{x^s} \def\xa{x^a} \def\calA{{\mathcal{A}}} \def\gotB{{\mathcal{B}}} \def\calB{{\mathcal{B}}} \def\calF{{\mathcal{F}}} \def\calL{{\mathcal{L}}} \def\calM{{\mathcal{M}}} \def\calN{{\mathcal{N}}} \def\calR{{\mathcal{R}}} \def\calS{{\mathcal{S}}} \def\calT{{\mathcal{T}}} \def\calU{{\mathcal{U}}} \def\calV{{\mathcal{V}}} \def\calY{{\mathcal{Y}}} \def\frakA{{\mathfrak{A}}} \def\frakB{{\mathfrak{B}}} \def\frakC{{\mathfrak{C}}} \def\frakF{{\mathfrak{F}}} \def\frakM{{\mathfrak{M}}} \def\frakN{{\mathfrak{N}}} \def\frakS{{\mathfrak{S}}}
\def\xw{X_w} \def\xsw{X^*_w} \def\xsws{X^*_{w^*}} \def\wstop{w^*} \def\wtop{w} \def\wtopXXs{w(X,X^*)} \def\wtopXsX{w(X^*,X)}
\def\mvp{m^{\vp}} \def\mf{m^{F}} \def\mvpc{m^{\vp}_C} \def\minf{m_{\inf}}
\def\Llra{\Longleftrightarrow} \def\lraw{\stackrel{\wtop}{\longrightarrow}} \def\lraws{\stackrel{\wstop}{\longrightarrow}} \def\lraK{\stackrel{K}{\longrightarrow}} \def\lramu{\stackrel{\mu}{\longrightarrow}} \def\mnar{M_N\left(A;\rr\right)}
\def\cer{\textrm{C}} \def\ccc{\textrm{C}_c} \def\ps{\textrm{PS}} \def\psc{\textrm{PS}_c} \def\pscz{\textrm{PS}_{c_0}} \def\psmz{\textrm{PS}_{m_0}} \def\pscs{\textrm{PS}_c^*} \def\pscps{\textrm{PS}_{c,+}^*} \def\pscms{\textrm{PS}_{c,-}^*} \def\gps{G-\textrm{PS}} \def\gpsc{G-\textrm{PS}_c}
%cali \def\calka{\displaystyle\int\limits} \def\io{\int\limits_{\Omega}} \def\ioz{\int\limits_{\Omega_0}} \def\iomale{\int_{\Omega}} \def\iz{\int\limits_Z} \def\izj{\int\limits_0^1} \def\iza{\int\limits_0^a} \def\izd{\int\limits_0^2} \def\izb{\int\limits_0^b} \def\izz{\int\limits_0^{\zeta}} \def\izr{\int\limits_0^r} \def\izbmale{\int_0^b} \def\iab{\int\limits_a^b} \def\izt{\int\limits_0^t} \def\ist{\int\limits_s^t} \def\izdp{\int\limits_0^{2\pi}} \def\itzt{\int\limits_{t_0}^t} \def\itztj{\int\limits_{t_0}^{t_1}} \def\itjtd{\int\limits_{t_1}^{t_2}} \def\izi{\int\limits_0^{+\infty}} \def\ipo{\int\limits_{\partial\Omega}} \def\ipomale{\int_{\partial\Omega}} \def\imbb{\int\limits_{-b}^b} \def\imnbnb{\int\limits_{-nb}^{nb}}
%sztort \def\uif{\noindent\underline{If}\ \ } \def\uthen{\\ \noindent\underline{then}\ } \def\uthene{\noindent\underline{then}\ } \def\qfa{\qquad\forall\ } \def\qfamale{\quad\forall\ } \def\qfaa{\quad\textrm{for a.a.}\ } \def\qlq{\quad\Longleftrightarrow\quad} \def\qoq{\quad\textrm{oraz}\quad} \def\qiq{\quad\textrm{i}\quad} \def\qwq{\quad\textrm{with}\quad} \def\qas{\quad\textrm{as}\ } \def\qasq{\quad\textrm{as}\quad} \def\qqaqq{\qquad\textrm{and}\qquad} \def\qw{\quad\textrm{with}\ } \def\qwq{\quad\textrm{with}\quad} \def\qqas{\quad\textrm{as}\ } \def\lms{\longmapsto} \def\ra{\rightarrow} \def\xra{\xrightarrow{}} \def\lra{\longrightarrow} \def\Lra{\Longrightarrow} \def\Lla{\Longleftarrow} \def\lms{\longmapsto} \def\vtn{\vartheta_n} \def\vt{\vartheta} \def\sr{\ \stackrel{df}{=}\ } \def\sri{\stackrel{df}{=}} \def\sreq{\stackrel{df}{\equiv}} \def\ol#1{\overline{#1}} \def\ul#1{\underline{#1}} \def\wh#1{\widehat{#1}} \def\wt#1{\widetilde{#1}} \def\po{\partial\Omega} \def\pu{\partial U} \def\co{\overline{\Omega}} \def\oirn{\Omega\subseteq\mathbb{R}^N} \def\tir{T\subseteq\mathbb{R}} \def\embed{\subseteq} \def\embedc{\subseteq} \def\divv{\mathrm{div}\,} \def\conv{\mathrm{conv}\,} \def\oconv{\overline{\mathrm{conv}}\,} \def\Gr{\mathrm{Gr}\,} \def\ext{\mathrm{ext}\,} %\def\u#1{\underline{\rule[-0.75mm]{0mm}{0mm}#1}} \def\supi{\mathop{\rule[-0.75mm]{0mm}{0mm}\sup}\limits} \def\infi{\mathop{\rule[-0.75mm]{0mm}{0mm}\inf}\limits} \def\ov#1{\overline{#1}} \def\limN{\lim\limits_{N\ra +\infty}} \def\limn{\lim\limits_{n\ra +\infty}} \def\limm{\lim\limits_{m\ra +\infty}} \def\ulimn{\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\ra+\infty}} \def\olimn{\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\ra+\infty}} \def\limk{\lim\limits_{k\ra +\infty}} \def\liml{\lim\limits_{l\ra +\infty}} \def\liminfn{\liminf\limits_{n\ra+\infty}} \def\supn{\sup\limits_{n\in\nn}} \def\infn{\inf\limits_{n\in\nn}} \def\limsupn{\limsup\limits_{n\ra+\infty}} \def\tlim{\mathop{\tau\!\textrm{--}\!\lim}\limits} \def\tlimn{\tlim_{n\rightarrow+\infty}} \def\tlimsup{\mathop{\tau\!\textrm{--}\!\limsup}\limits} \def\tlimsupn{\tlimsup_{n\ra+\infty}} \def\tliminf{\mathop{\tau\!\textrm{--}\!\liminf}\limits} \def\tliminfn{\tliminf_{n\ra+\infty}} \def\lliminf{\liminf\limits} \def\lliminfn{\lliminf_{n\ra+\infty}} \def\lliminfk{\lliminf_{k\ra+\infty}} \def\llimsup{\limsup\limits} \def\llimsupn{\llimsup_{n\ra+\infty}} \def\wliminf{\mathop{w\!\textrm{--}\!\liminf}\limits} \def\wliminfn{\wliminf_{n\rightarrow+\infty}} \def\wlimsupn{w\!\textrm{--}\!\limsup_{n\rightarrow+\infty}} \def\esssup{\mathop{\mathrm{esssup}}\limits} \def\nees{\ne\emptyset} \def\smz{\setminus\{0\}} \def\smes{\setminus\{\emptyset\}} \def\ddd#1{\textbf{\textit{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\vr{\varrho} \def\vp{\varphi} \def\vps{\varphi^*} \def\vpss{\varphi^{**}} \def\ovp{\overline{\varphi}} \def\ovpz{\overline{\varphi}_0} \def\ovpj{\overline{\varphi}_1} \def\opsi{\overline{\psi}} \def\upsi{\underline{\psi}} \def\oxi{\overline{\xi}} \def\ozeta{\overline{\zeta}} \def\hzeta{\widehat{\zeta}} \def\pF{\partial F} \def\pG{\partial G} \def\pf{\partial f} \def\pj{\partial j} \def\pH{\partial H} \def\pwhH{\partial\wh{H}} \def\NpwhH{N_{\partial\wh{H}}} \def\NpwhHn{N_{\partial\wh{H}_n}} \def\NpwhHnk{N_{\partial\wh{H}_{n_k}}} \def\pV{\partial V} \def\pP{\partial\Phi} \def\pvp{\partial\varphi} \def\pvt{\partial\vartheta} \def\pcvp{\partial_c\varphi} \def\pvps{\partial\varphi^*} \def\obrx{\overline{B}_r(x)} \def\obrxz{\overline{B}_r(x_0)} \def\obrz{\overline{B}_r} \def\obrk{\overline{B}_r^k} \def\gzx{\Gamma_0(X)} \def\gzh{\Gamma_0(H)} \def\gzrr{\Gamma_0(\rr)} \def\tcx{T_C(x)} \def\ncx{N_C(x)} \def\ncxz{N_C(x_0)} \def\ncgxz{N_{C_g}(x_0)} \def\wsvp{|d\vp|(x)} \def\wsgvp{|d_G\vp|(x)} \def\wsevp{|dE_{\vp}|(x,\vp(x))} \def\wsgevp{|d_G E_{\vp}|(x,\vp(x))} \def\odpyh{\overline{D}_+\vp(y)(h)} \def\odpuh{\overline{D}_+\vp(u)(h)} \def\dm{\mathscr{F}} \def\opa{A\colon X\lra 2^{X^*}} \def\opah{A\colon H\lra 2^H} \def\jlh{J_{\lambda}\colon H\lra H} \def\alh{A_{\lambda}\colon H\lra H} \def\grad{\nabla} \def\Niem{Niemytski\ } \def\gip{g^{\infty}_+} \def\gim{g^{\infty}_-} \def\nin{\not\in}
\def\kcd{(K^{\vp}_c)_{\delta}} \def\kcdd{(K^{\vp}_c)_{2\delta}} \def\kcddc{(K^{\vp}_c)_{2\delta}^c} \def\kctd{(K^{\vp}_c)_{3\delta}} \def\kcdc{(K^{\vp}_c)_{\delta}^c} \def\kcf{K^F_c} \def\kcevp{K^{E_{\vp}}_c} \def\ecde{E^{\vp}_{c,\delta,\eps}} \def\ecdoe{E^{\vp}_{c,\delta,\ol{\eps}}} \def\ecddoep{E^{\vp}_{c,2\delta,\frac{\ol{\eps}}{2}}} \def\evp{E_{\vp}tymcz} \def\evpcpe{K^{c+\eps}_{\vp}tymcz} \def\evpocpe{K^{\ol{c}+\eps}_{\vp}tymcz} \def\evpcme{K^{c-\eps}_{\vp}tymcz} \def\evpocme{K^{\ol{c}-\eps}_{\vp}tymcz} \def\etajk{\eta_{{}_{1,k}}} \def\etadk{\eta_{{}_{2,k}}} \def\qin{\quad\textrm{in}\ } \def\qon{\quad\textrm{on}\ } \def\bin{\textrm{in}\ } \def\bon{\textrm{on}\ } \def\bfor{\textrm{for}\ } \def\borel{{\mathscr{B}}}
\def\ppp{\vp=\Phi+\psi} \def\cp{C(p)} \def\ep{E(p)} \def\fp{E(p)}
\def\sumkzn{\displaystyle \sum_{k=0}^n}
\def\sumkzi{\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}}
\def\sumnzi{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}}
\def\sumnjk{\displaystyle \sum_{n=1}^k}
\def\sumnzk{\displaystyle \sum_{n=0}^k}
\def\sumnji{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}}
\def\sumndi{\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}}
\def\sumjzn{\displaystyle \sum_{j=0}^n}
\def\sumizn{\displaystyle \sum_{i=0}^n}
\def\sumijn{\displaystyle \sum_{i=1}^n}
\def\sumijN{\displaystyle \sum_{i=1}^N}
%pochodne \def\da{D^{\alpha}}
\def\dd{\,d} %do innych calek niz ponizsze \def\dl{\,dl} \def\dr{\,dr} \def\dt{\,dt} \def\ds{\,ds} \def\du{\,du} \def\dv{\,dv} \def\dx{\,dx} \def\dy{\,dy} \def\dz{\,dz} \def\dalpha{\,d\alpha} \def\dbeta{\,d\beta} \def\dsigma{\,d\sigma} \def\dtheta{\,d\vartheta} \def\dzeta{\,d\zeta} \def\dmu{\,d\mu} \def\dvt{\,d\vt} \def\dtau{\,d\tau}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\rys#1{\begin{figure}[h]\begin{center}\scalebox{1}{\includegraphics{rysunki/#1}}\end{center}\end{figure}} \def\amjeden{Analiza Matematyczna I} \def\amdwa{Analiza Matematyczna II} \def\amjedendwa{Analiza Matematyczna} \def\infowww{Informacje dotyczące strony internetowej wykładu} \def\semlet{Semestr letni\ } \def\semzim{Semestr zimowy\ } \def\egzaminam{Egzamin z Analizy Matematycznej} \def\termin{I termin} \def\zestawprobny{Przykładowy zestaw egzaminacyjny} \def\sprawdzian{Sprawdzian wiadomości} \def\uzupeldowyk{Uzupełnienie do wykladu} \def\zestawczego{Zestaw zadań} \def\zestawdoczego{do wykladu} \def\nazwajednostkowa{Zadanie} \def\zrozw{z rozwiązaniami} \def\termin{Termin} \renewcommand\le{\leqslant} \renewcommand\ge{\geqslant}
% Jurek Szczepanski \newcommand{\arsinh}Szablon:\rm arsinh\, \newcommand{\arcosh}Szablon:\rm arcosh\, \newcommand{\artgh}Szablon:\rm artgh\, \newcommand{\arctgh}Szablon:\rm arctgh\, \def\sgn{\mathrm{sgn}\,} \def\abs{\mathrm{\,abs}\,} \def\id{\mathrm{id}\,} \def\gradd{\mathrm{grad}\,} \def\rot{\mathrm{rot}\,} \def\div{\mathrm{div}\,}
\section{Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.}
\bstr Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.
\estr
\subsection{Punkty regularne poziomicy}
Niech $X,Y, Z$ będą przestrzeniami Banacha i niech $U\subset X\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję $$F: X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z$$ oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór $$\{F=0\}=\{(x,y)\in U: F(x,y)=0\}.$$
Ustalmy pewien punkt $P=(a,b)\in \{F=0\}$, $a\in X$, $b\in Y$, na tej poziomicy.
\bde \label{d.am2.09.0010} Mówimy, że punkt $P\in \{F=0\}$ jest \ddd{punktem regularnym} zbioru $\{F=0\}$, jeśli różniczka $d_P F$ jest suriekcją przestrzeni $X\times Y$ na przestrzeń $Z$. Punkt poziomicy $\{F=0\}$, który nie jest regularny, będziemy nazywać \ddd{punktem nieregularnym} tej poziomicy. \ede
Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:
\buw \label{u.am2.09.0020} W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze $X=\rr^n$, $Y=\rr^m$ odwzorowanie liniowe $L:X\times Y \mapsto Y$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania $L$ jest maksymalny, tj. równy $m$.
\euw
\bprz \label{p.am2.09.0030} Niech $X=Y=\rr$. Rozważmy $F(x,y)=x^2+y^2-1$ i poziomicę zerową tej funkcji $$\{F=0\}=\{x^2+y^2=1\},$$ czyli okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu jednostkowym. Różniczka $$\aligned d_{(x_0, y_0)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0 dx+2y_0 dy\endaligned $$ w dowolnym punkcie $(x_0, y_0)\in \{F=0\}$ ma rząd maksymalny. Rząd różniczki $d_{(x_0, y_0)}F$ nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe $\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ zerują się, czyli gdy $$\left\{\aligned 2x_0=0\\2y_0=0,\endaligned\right.$$ ale punkt $(0,0)$ nie leży na okręgu $\{F=0\}$. \eprz
\bprz \label{p.am2.09.0040} Niech $X=Y=\rr$ i niech
$F(x,y)=x^3+y^3-3xy$. Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji
$$\{F=0\}=\{x^3+y^3=3xy\}$$ jest krzywa, którą
nazywamy \ddd{liściem Kartezjusza}. Zauważmy, że różniczka
$$d_{(x_0, y_0)}F=3(x_0^2-y_0)dx+3(y_0^2-x_0)dy$$ nie ma
maksymalnego rzędu, gdy
$$\left\{\aligned
x_0^2-y_0=0\\ y_0^2-x_0=0,\endaligned\right.$$ czyli w punktach
$(0,0)$ i $(1, 1)$. Stąd punkt $(0,0)$ jest punktem nieregularnym
liścia Kartezjusza. Drugi punkt $(1,1)$ nie leży na poziomicy
$\{F=0\}$. \eprz
\bprz \label{p.am2.09.0050} Niech $X=Y=\rr$ i niech $F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$. Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą $$\{F=0\}=\left\{(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\right\}$$ nazywamy \ddd{lemniskatą Bernoullego}. Różniczka $$\aligned d_{(x_0, y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy \\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\endaligned $$
nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy
$$\left\{\aligned x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\endaligned\right.$$ czyli w trzech punktach $(0,0)$, $(-1, 0)$ i $(1,0)$, spośród których tylko pierwszy $(0,0)$ leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.
\eprz
\bprz \label{p.am2.09.0060} Poziomicą zerową funkcji $$F:\rr^3\ni
(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\in\rr$$ jest sfera o środku
w początku układu współrzędnych $(0,0,0)$ i promieniu
jednostkowym:
$$\{F=0\}=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}.$$ Różniczka odwzorowania $F$
dana wzorem $$\aligned d_{(x,y,z)}F&=\frac{\partial F}{\partial
x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial
F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\endaligned $$ jest
odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\rr^3$ do $\rr$ i ma rząd
maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach $\rr^3$ poza
początkiem układu współrzędnych $(0,0,0)$, w którym rząd ten
wynosi zero. Punkt $(0,0,0)$ nie należy jednak do sfery $\{F=0\}$,
stąd każdy jej punkt jest regularny.
\eprz
\centerline{\color{red}[Rysunek am2w09.0040 a, b, c - przecięcie dwóch walców]}
\bprz \label{p.am2.09.0070} Niech $F:\rr^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)\in \rr^2$. Wówczas poziomicą zerową funkcji $F$ jest zbiór $$\{F=0\}=\{(x,y,z)\in \rr^3, x^2+z^2=1, y^2+z^2=1\},$$ który powstaje z przecięcia walca $x^2+z^2=1$ o osi obrotu $OY$ z walcem $y^2+z^2=1$ o osi obrotu $OX$. Zauważmy, że różniczka $$d_{(x,y,z)} F=(2x dx+0dy+2z dz, 0dx+2ydy+2zdz)$$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\rr^3$ do $\rr^2$. Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników $$A=\left[\begin{matrix}&2x &0 &2z\\ &0 &2y &2z \end{matrix}\right]$$ wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy $A$ wynosi zero, gdy $x=y=z=0$ (punkt $(0,0,0)$ nie należy do poziomicy zerowej $\{F=0\}$). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy $$\aligned &&x=y=0, z\neq0,\\ &\text{lub}&\\ &&x=z=0, y\neq0, \\ &\text{lub}& \\ &&y=z=0, x\neq0,\endaligned$$ co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy $\{F=0\}$, a mianowicie w punktach $(0,0, 1)$ oraz $(0,0, -1)$. Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki $d_{(x, y, z)} F$ w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi $2$).\eprz
\centerline{\color{red}[Rysunek am2w09.0010 ]}
\bprz \label{p.am2.09.0080} Niech $F: \rr^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz\in \rr.$ Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu $$\{(x,y,z)=\{(x, y,z)\in \rr^3: (x^2+y^2+z^2)^2=3xyz\}.$$ Różniczka $d_{(x, y, z)} F=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\rr^3$ do $\rr$, nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach $(x, y, z)$, w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe $\frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0, \frac{\partial F}{\partial z}=0$, tzn. gdy $$\left\{\aligned 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz\\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz\\ 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy\endaligned \right.$$ Układ ten spełnia punkt o współrzędnych $(0,0,0)$ a także punkty o współrzędnych $(x,y,z)$, które spełniają układ $$\left\{\aligned x^2&=y^2\\y^2&=z^2\\z^2&=x^2,\endaligned\right.$$ czyli $|x|=|y|=|z|$. Spośród punktów poziomicy $\{F=0\}$ warunek ten spełniają poza punktem $(0,0,0)$ także punkty $(a,a,a)$, $(-a,-a,a)$, $(-a,a,-a)$, $(a,-a,-a)$, gdzie $a=\frac{1}{3}$. Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy $\{F=0\}$ pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania $F$ ma w nich rząd maksymalny (równy $1$). \eprz
\subsection{Twierdzenie o funkcji uwikłanej} Niech $X$, $Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $F: U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in\{F=0\}$ będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$, gdzie $a\in X, b\in Y$. Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę $\{F=0\}$ w otoczeniu punktu $(a,b)$ można przedstawić jako wykres pewnej funkcji $f: X\mapsto Y$ takiej, że $F(x, f(x))=0$ w pewnym otoczeniu otwartym punktu $a\in X$.
Rozważmy dwa proste przykłady.
\bprz \label{p.am2.09.0090} Niech $(a,b)$ będzie punktem okręgu $x^2+y^2=1$, który stanowi poziomicę zerową funkcji $$\rr\times\rr \ni (x,y)\mapsto F(x,y)=x^2+y^2-1\in\rr.$$ Jeśli $b>0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1) $ można określić funkcję $$f_1: x\mapsto f_1(x)=\sqrt{1-x^2}$$ taką, że $$F(x, f_1(x))=x^2+(\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b.$$ Z kolei, jeśli $b<0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1) $ znajdziemy funkcję $$f_2: x\mapsto f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}$$ taką, że $$F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_2(a)=b.$$ Jedynymi punktami $(a,b)$ okręgu $x^2+y^2=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f: x\mapsto f(x)$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x, f(x))=0$, są punkty $(-1,0)$ oraz $(1,0)$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa $\frac{\partial F}{\partial y}$. \eprz
\bprz \label{p.am2.09.0100} Niech $a=(a_1,a_2)\in \rr^2$, $b\in
\rr$. Niech $(a,b)\in \rr^3$ będzie punktem sfery
$x_1^2+x_2^2+z^2=1$, która stanowi poziomicę zerową funkcji
$F(x_1, x_2 , z)=x_1^2+x_2^2+z^2-1$. Jeśli $b>0$, to w otoczeniu
punktu $a=(a_1, a_2) $ wewnątrz okręgu $x_1^2+x_2^2 <1$ można
określić funkcję $$f_1: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1,
x_2)=\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$$ taką, że $$F(x_1, x_2, f_1(x_1,
x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{
oraz } \ f_1(a)=b.$$ Z kolei, jeśli $b<0$ znajdziemy funkcję
$$f_2: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1, x_2)=-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$$
taką, że $$F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2
+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } \
f_2(a)=b.$$
Jedynymi punktami $(a,b)$ sfery $x_1^2+x_2^2+z^2=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f: (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x_1, x_2, f(x_1,x_2))=0$, są punkty okręgu $x_1^2+x_2^2=1$ zawartego w płaszczyźnie $z=0$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa $\frac{\partial F}{\partial z}=2z$. \eprz
Uogólnijmy to spostrzeżenie formułując
\bthm \label{t.am2.09.0110} (twierdzenie o funkcji uwikłanej) Niech $F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in \{F=0\}$ (gdzie $a\in X, b\in Y$) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$ takim, że zacieśnienie różniczki $d_{(a,b)}F_{|Y}$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ jest izomorfizmem. Wówczas
1) istnieje pewne otoczenie otwarte $V\subset X$ punktu $a$ oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu $f:V\mapsto Y$ taka, że $f(a)=b$ oraz $F(x, f(x))=0$ dla dowolnego $x\in V$. Ponadto
2) funkcja $f$ jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze $V$ daną wzorem $$d_x f=-\big(d_{(x,y)}F_{|Y} \big)^{-1}\circ \big(d_{(x,y)}F_{|X}\big),$$ gdzie $y=f(x)$, natomiast $d_{(x,y)}F_{|X}$ oznacza zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$ a $(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}$ jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$.
\ethm
\bdo (szkic) Pominiemy dowód istnienia funkcji $f$. Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy wpierw jednak, że
\buw \label{u.am2.09.0120} Jeśli $Y=\rr^n$, to odwzorowanie liniowe $ L:Y\mapsto Y$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. $\det L\neq 0$.
\euw
\bf Przypadek I. \rm Niech $X=Y=\rr$ i niech $F: \rr^2\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \rr.$ Jeśli funkcja $f:\rr\mapsto \rr $ spełnia równanie $F(x, f(x))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość $$0=\frac{d}{dx}F(x, f(x))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x), \text{ gdzie } y=f(x). $$ Stąd $$-\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x).$$ Z założenia zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$ jest izomorfizmem przestrzeni $\rr$ do $\rr$, co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa $\dfrac{\partial F}{\partial y}\neq 0$. Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem $$\frac{df}{dx}(x)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}(x,y), \text{ gdzie } y=f(x).$$
\bf Przypadek II. \rm Niech $F: \rr^3\ni
(x_1, x_2, y)\mapsto F(x_1, x_2, y)\in \rr.$ Jeśli funkcja $f:\rr^2 \mapsto \rr $ spełnia równanie $F(x_1, x_2, f(x_1, x_2))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą
w punktach $(x_1, x_2, y)$ poziomicy $\{F=0\}$
$$0=\frac{\partial }{\partial x_1}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) =\frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial F}{\partial x_1}+0+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1}$$ oraz
$$0=\frac{\partial }{\partial x_2}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) =\frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2}=0+\frac{\partial F}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2} $$ Izomorficzność zawężenia różniczki $d_{(x_1, x_2, y)}F_{|Y}$ również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa $\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\neq 0$. Wówczas z powyższych równości dostajemy $$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}(x_1, x_2, y)$$ oraz $$\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}(x_1, x_2, y),$$ gdzie $y=f(x_1, x_2)$. Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania): $$\frac{\partial f}{\partial x_1}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}$$ oraz $$\frac{\partial f}{\partial x_2}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}.$$
\bf Przypadek III. \rm Niech $X=\rr$, $Y=\rr^2$ i niech $$F: \rr\times \rr^2 \ni (x, y_1, y_2)\mapsto F(x, y_1, y_2)=\left(F_1(x, y_1, y_2), F_2(x, y_1, y_2)\right)\in \rr^2.$$ Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna $$f: \rr\ni x\mapsto (f_1(x), f_2(x))\in\rr^2$$ taka, że $$0=F(x, f(x))=\bigg(F_1\big(x, f_1(x), f_2(x)\big), \ F_2\big(x, f_1(x), f_2(x)\big)\bigg),$$ to znaczy $$\left\{\aligned 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x))\\ 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\endaligned \right.$$ Stąd -- korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji -- dostajemy $$\aligned 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_1}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\endaligned$$ oraz $$\aligned 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_2}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2'.\endaligned$$ Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi $f_1'$, $f_2'$, które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej $f=(f_1, f_2)$: $$\left\{\aligned -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' . \endaligned\right.$$ Zapiszmy ten układ w formie macierzowej $$\displaystyle -\left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_1}{\partial
y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_2}{\partial
y_2}\end{matrix}\right] \, \left[\begin{matrix}f_1' \\ \\f_2 '\end{matrix}\right].$$ W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje $d_{(x,y)F_{|Y}}$: $$\left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_1}{\partial
y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_2}{\partial
y_2}\end{matrix}\right]$$ jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa $$ \left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{matrix}\right]$$ reprezentuje zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$. Macierz niewiadomych $f_1'$, $f_2'$: $$\left[\begin{matrix}f_1' \\ \\f_2 '\end{matrix}\right]$$ reprezentuje różniczkę $d_x f$ funkcji uwikłanej $f=(f_1, f_2)$. Stąd układ równań z niewiadomymi $f_1'$, $f_2'$ przedstawia równanie $$-d_{(x,y)}F_{|X}=d_{(x,y)}F_{|Y}\circ d_x f, \ \ \ \ \ \text{ gdzie } y=f(x),$$ w którym niewiadomą jest różniczka $d_x f$. Izomorficzność zacieśnienia $d_{(x,y)}F_{|Y}$ gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego $\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}$, dzięki czemu otrzymujemy $$d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$$ W języku algebry nieosobliwość macierzy $$\left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_1}{\partial
y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_2}{\partial
y_2}\end{matrix}\right]$$ gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania $$\displaystyle -\left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_1}{\partial
y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_2}{\partial
y_2}\end{matrix}\right] \, \left[\begin{matrix}&f_1' \\ &\\&f_2 '\end{matrix}\right]$$ jest $$\displaystyle \left[\begin{matrix}f_1' \\ \\f_2 '\end{matrix}\right] =-\left(\left[ \begin{matrix}&\frac{\partial F_1}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_1}{\partial
y_2}\\&&\\ &\frac{\partial F_2}{\partial y_1}
&\frac{\partial F_2}{\partial
y_2}\end{matrix}\right]\right)^{-1} \left[\begin{matrix}\frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{matrix}\right] $$ lub równoważnie: $$d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$$
\edo
\subsection{Ekstrema funkcji uwikłanej}
Niech $X=\rr^n, Y=\rr$ i niech $$F: X\times \rr\ni (x_1, x_2, \dots, x_n, y)\mapsto F(x_1, x_2, \dots, x_n, y)\in \rr$$ będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym $U\subset X\times \rr$.
Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji $f$ uwikłanej równaniem $F(x, f(x))=0$ nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji $f$. Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja $f$ może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.
\bthm \label{t.am2.09.0130} (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej) Jeśli funkcja $f$ uwikłana równaniem $F(x, f(x))=0$ osiąga ekstremum w pewnym punkcie $a\in X$ takim, że pochodna cząstkowa $\frac{\partial F}{\partial y}(a, f(a))\neq 0$, to w punkcie $(a, f(a))$ zerują się pochodne cząstkowe funkcji $F$ po zmiennych $x_1, x_2, \dots, x_n$, tzn. $$\forall i\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a, f(a))=0.$$ \ethm
\bdo Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji $f$, który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość $$d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X},$$ to wobec izomorficzności $d_{(x,y)}F_{|Y}$ (która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że $\frac{\partial F}{\partial y}(x, y)\neq 0$) różniczka $d_a f$ zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy $d_{(a,f(a))}F_{|X}=0$. Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie $(a, f(a))$ pochodnych cząstkowych funkcji $F$ po zmiennych $x_1, x_2, \dots, x_n$, czyli $$\left\{\aligned &\frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0\\ &\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0. \endaligned \right.$$ \edo
Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej $f$, aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja $f$ osiąga maksimum, minimum, czy też w ogólne nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.
Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:
\bf Przypadek I. \rm Niech $F:\rr^2\mapsto \rr$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję $f$ uwikłaną równaniem $F(x, f(x))=0$. Różniczkując tę równość po zmiennej $x$ otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość $$0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f'$$ Różniczkując względem zmiennej $x$ powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy $$\aligned 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg)\\&= \frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f\\&=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f.\endaligned $$ Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie $x_0$, w którym $f'(x_0)=0$. Otrzymamy wówczas równość $$0=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)f(x_0),$$ z której -- wobec założenia, że $\dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\neq 0$ -- otrzymamy $$f(x_0)=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\bigg)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0), $$ gdzie $y_0=f(x_0)$.
\bf Przypadek II. \rm Niech $f:\rr^2\mapsto \rr$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x,y, f(x,y))=0$, gdzie $F:\rr^3\mapsto \rr$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy $\{F=0\}$ otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ oraz $\dfrac{\partial f}{\partial y}$: $$0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} $$ $$0=\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y}. $$ Policzymy pochodną cząstkową $\frac{\partial }{\partial x}$ po zmiennej $x$ obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw: $$\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f }{\partial x}$$ oraz $$\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x}.$$ Wobec tego $$\aligned 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\\&=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\endaligned $$ W punkcie $(x_0, y_0)$, w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)=0$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)=0$, a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać: $$0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0),$$ gdzie $z_0=f(x_0, y_0)$. W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej $f$, które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie $(x_0, y_0)$ przyjmują postać: $$0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0),$$ $$0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0),$$ $$0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0).$$ Stąd -- wobec założenia, że $\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\neq 0$ -- otrzymujemy: $$\left[\aligned &\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)\endaligned\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\aligned &\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)\endaligned\right] $$
W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać
ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.
\bwn \label{w.am2.09.0140} Niech $f: x\mapsto f(x)$, $x=(x_1, x_2, \dots,x_n)$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x, f(x))=0$, gdzie $F: \rr^n\times \rr\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \rr$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu $(a,b)$, gdzie $b=f(a)$. Niech $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\neq 0$ i niech różniczka $d_a f=0$. Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej $f$ w punkcie $a$ wynosi $$d_a^2 f=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}d_{(a, b)}F_{|X},$$ czyli $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(a,b),$$ dla dowolnych $i, j\in\{1,2,\dots, n\}$. \ewn
\bprz \label{p.am2.09.0150} Wyznaczmy ekstrema funkcji $f$ danej w
postaci uwikłanej $F(x,y, f(x,y))=0$, gdzie
$$F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz.$$ Obserwacja
poziomicy zerowej $\{F=0\}$ każe przypuszczać, że w otoczeniu
czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów
na płaszczyznę zmiennych $(x,y)$ oraz jednoznacznie określone
funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać
maksima a pozostałe dwie -- minima.
Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej $f$ szukamy punktów $(x,y)$, których współrzędne spełniają układ równań: $$\left\{\aligned \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=0\\(x,y,z)\in\{F=0\} \endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned 4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\ 4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ (x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0. \endaligned \right.$$
Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej $f$) wymaga sprawdzenia założenia: $$\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=4z(x^2+y^2+z^2)-3xy\neq 0.$$
Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych $(0,0,0)$ spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż $\frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)=0$. Obserwacja poziomicy $\{F=0\}$ wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji $(x,y)\mapsto f(x,y)$ z równania $F(x,y, f(x,y))=0$ w żadnym otoczeniu punktu $(0,0,0)$. Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych $$\aligned &x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ &x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ &x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\ &x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\endaligned $$ w których spełniony jest warunek $\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\neq 0$. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach $U_1, U_2, U_3, U_4\subset\rr^2$ odpowiednio punktów $$\aligned &A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \endaligned $$ istnieją jedyne funkcje $f_1: U_1\mapsto\rr$, $f_2: U_2\mapsto\rr$, $f_3: U_3\mapsto\rr$, $f_4: U_4\mapsto\rr$, które spełniają warunek $$F\big(x, y, f_i(x,y)\big)=0, \text{ gdy } (x,y)\in U_i, \ i\in\{1,2,3,4\}$$ oraz odpowiednio $f_1(A_1)=f_2(A_2)=\frac{3}{8}$, $f_3(A_3)=f_4(A_4)=-\frac{3}{8}$. Analiza poziomicy $\{F=0\}$ (lub określoności drugiej różniczki $d_{A_i}^2 f, \ i\in\{1,2,3,4\}$) pozwala stwierdzić, że funkcje $f_1$ i $f_2$ osiągają w punktach $A_1$, $A_2$ maksimum, zaś $f_3$ i $f_4$ osiągają w punktach $A_3$, $A_4$ minimum.
\eprz
Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.
\subsection{Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a}
Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze $U$ przestrzeni unormowanej $X$ (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy $X=\rr^n$, $n=1,2,3,\dots$). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji $F:X\mapsto\rr$ zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w $X$.
\bprz \label{p.am2.09.0160} Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji $$F(x,y,z)=x -2y +2z $$ na sferze $$x^2+y^2+z^2=1.$$ Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na
na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję
ciągłą wnioskujemy, że wielomian $F(x,y,z)=x -2y +2z $ osiąga na
tej sferze zarówno wartość najmniejszą jak i największą. Nasze
dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by
sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez
odwikłanie zmiennej
$$z(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}
\text{ lub } z(x,y)=-\sqrt{1-x^2-y^2}$$
z równania sfery i zbadania funkcji
dwóch zmiennych $(x,y)$ danych w kole $x^2+y^2<1$ wzorami:
$$f_1: (x,y)\mapsto F\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y+2\sqrt{1-x^2-y^2},$$
$$f_2: (x,y)\mapsto F\big(x,y,-\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y-2\sqrt{1-x^2-y^2}.$$
Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do
wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości
ekstremalnych funkcji $F$ na danej sferze.
\eprz
Podamy jednak pewną metodę, która pozwala
wyznaczać ekstremum funkcji $F: X\mapsto \rr$ zacieśnionej do poziomicy zerowej $\{G=0\}$
pewnej funkcji $G: X\mapsto Y$ również w przypadku, gdy
odwikłanie zmiennej z równania $G=0$ nie jest tak proste jak w
podanym przykładzie.
Sprecyzujmy jednak wpierw problem.
Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $G: X\mapsto Y$, $F:X\mapsto \rr$ będą funkcjami.
\bde \label{d.am2.09.0170}
Mówimy, że funkcja $F$ osiąga \ddd{ekstremum warunkowe} w punkcie
$a$ przy warunku $a\in \{G=0\}$, jeśli zacieśnienie funkcji $F$ do
poziomicy $\{G=0\}$ osiąga ekstremum w tym punkcie.
\ede
Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę \ddd{metody mnożników Lagrange'a}.
Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha.
\bthm \label{t.am2.09.0180} Niech $F: X\mapsto \rr$, $G: X\mapsto Y $ będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $a$ poziomicy $\{G=0\}$ (co -- przypomnijmy -- oznacza, że różniczka $d_a G $ jest suriekcją przestrzeni $X$ na $Y$). Jeśli funkcja $F$ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym $a$ poziomicy zerowej funkcji $G$, to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\Lambda: Y\mapsto\rr$ taki, że zachodzi równość $d_a F=\Lambda \circ d_a G$.
\ethm
Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić czy funkcja $F$ osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie $a\in\{G=0\}$.
\bthm \label{t.am2.09.0190} Niech $F: X\mapsto \rr$, $G: X\mapsto Y$ będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $a$ poziomicy $\{G=0\}$. Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\Lambda: Y\mapsto\rr$ taki, że zachodzi równość $d_a F=\Lambda \circ d_a G$ oraz forma kwadratowa $$X\ni h\mapsto \big(d^2_a F-\Lambda \circ d_a^2 G \big)(h,h)\in\rr$$ jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni $X_1:=\{h\in X, d_aG(h)=0\}$ przestrzeni $X$, to funkcja $F$ osiąga w punkcie $a$ minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe. \ethm
\bde \label{d.am2.09.0200} Funkcjonał $\Lambda$, który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy \ddd{funkcjonałem Lagrange'a}. \ede
Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, \it Analiza. Część I. Elementy, \rm Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.
\buw \label{u.am2.09.0210} Jeśli $f, g : \rr^2\mapsto \rr$ są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $f$ przy warunku $\{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktu $a$ na poziomicy $\{g=0\}$ oraz stałej $\lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to -- zgodnie z podanym twierdzeniem -- istnieje funkcjonał liniowy $\Lambda : \rr\mapsto \rr$ dany wzorem $\Lambda (x)=\lambda x$
taki, że różniczka
$d_a f=\lambda d_a g$, o ile punkt $a$ jest punktem regularnym poziomicy $\{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $g: \rr^2\mapsto \rr$, punkt $a$ jest regularny, jeśli rząd różniczki $$d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy$$ wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $a$ różniczka $d_a g\neq 0$, czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa $\frac{\partial g(a)}{\partial x}$ lub $\frac{\partial g(a)}{\partial y}$ jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej $$\Phi(x,y): =f(x,y)-\lambda g(x,y), $$ gdzie stałą $\lambda$ (nazywaną tradycyjnie \ddd{mnożnikiem Lagrange'a}) wyznaczamy z układu równań $$\left\{\aligned d_{(x,y)}\Phi=0\\g(x,y)=0\endaligned \right.
\text{ czyli }
\left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}
\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}
\\g(x,y)=0.\endaligned \right.$$
\euw
\buw \label{u.am2.09.0220} Jeśli $f, g : \rr^3\mapsto \rr$ są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $f$ przy warunku $\{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia -- podobnie jak w poprzednim przypadku -- punktu $a$ na poziomicy $\{g=0\}$ oraz stałej $\lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to -- zgodnie z podanym twierdzeniem -- istnieje funkcjonał liniowy $\Lambda : \rr\mapsto \rr$ dany wzorem $\Lambda (x)=\lambda x$,
taki, że różniczka
$d_a f=\lambda d_a g$, o ile punkt $a$ jest punktem regularnym poziomicy $\{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $g: \rr^3\mapsto \rr$ punkt $a$ jest regularny, jeśli rząd $d_a g$ (odwzorowania liniowego z $\rr^3$ do $\rr$) jest maksymalny, czyli wynosi $1$. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $a$ różniczka $$d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy+\frac{\partial g(a)}{\partial z}dz$$ nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych $\frac{\partial g(a)}{\partial x}$, $\frac{\partial g(a)}{\partial y}$, $\frac{\partial g(a)}{\partial z}$ jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej $$\Phi(x,y,z): =f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z), $$ gdzie stałą $\lambda$ wyznaczamy z układu równań $$\left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\g(x,y,z)=0\endaligned \right.
\text{ czyli }
\left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}
\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}
\\ \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z}
\\g(x,y,z)=0.\endaligned \right.$$
\euw
\bprz \label{p.am2.09.0230} Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji $f(x,y,z)=x -2y +2z $ na sferze $x^2+y^2+z^2=1$. Rozwiążemy je \ddd{metodą mnożników Lagrange'a} opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$. Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech $\Phi(x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$. Rozwiązujemy układ równań $$\left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\g(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned 1=2\lambda x \\-2=2\lambda y\\2=2\lambda z\\x^2+y^2+z^2=1. \endaligned \right.$$ Układ ten spełniają liczby $$x=-\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}, z=-\frac{2}{3}, \lambda=-\frac{3}{2}$$ oraz $$x=\frac{1}{3}, y=-\frac{2}{3}, z=\frac{2}{3}, \lambda=\frac{3}{2}.$$ Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja $f$ musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze $\{g=0\}$. Mamy $$f\big(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \big)=-3, \ \ f\big(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \big)=3,$$ czyli $f$ osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą $-3$, a w drugim punkcie -- wartość największą na sferze równą $3$.
\eprz
\buw \label{u.am2.09.0240} Jeśli funkcja $F: \rr^3\mapsto \rr$, zaś $G:\rr^3\mapsto \rr^2$, zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji $F$ przy warunku $\{G=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktów zbioru $\{G=0\}$, w których zeruje się różniczka funkcji $\Phi(x,y,z):=F(x,y,z)-\Lambda \circ G(x,y,z)$. Funkcjonał Lagrange'a $\Lambda $ w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z $\rr^2\mapsto \rr$, jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: $\lambda_1$, $\lambda_2$. Funkcja $G=(g_1, g_2)$ jest zestawieniem dwóch funkcji $g_1, g_2$ o wartościach rzeczywistych, stąd $$\Phi(x,y,z)=F(x,y,z)-\Lambda G(x,y,z)=F(x,y,z)-\lambda_1 g_1 (x,y,z)-\lambda_2 g_2 (x,y,z).$$ Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań
$$\left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\G(x,y,z)=0\endaligned \right.
\text{ czyli }
\left\{\aligned \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
\\ \frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y}
\\ \frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
\\ g_1(x,y,z)=0
\\ g_2(x,y,z)=0\endaligned \right.$$
w punktach regularnych poziomicy $\{G=0\}$, czyli tych, w których
rząd różniczki $d_{(x,y,z)}G$ jest maksymalny (tj. równy $2$, gdyż
różniczka $d_{(x,y,z)}G$ jest odwzorowaniem liniowym z $\rr^3$ do
$\rr^2$).
Zwróćmy uwagę, że funkcja $F$ może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy $\{G=0\}$ a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum. \euw
\bprz \label{p.am2.09.0250} Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji $$F(x,y,z)=x-y-2z$$ na przecięciu się dwóch walców $$x^2+z^2=1, \ \ y^2+z^2=1.$$ Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji $G(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)$. Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy $\{G=0\}$ tylko dwa nie są regularne: $(0,0, 1)$ oraz $(0,0,-1)$. Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań: $$\left\{\aligned \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
\\ \frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y}
\\ \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
\\ g_1(x,y,z)=0
\\ g_2(x,y,z)=0\endaligned \right.
\text{ czyli }
\left\{\aligned 1=2\lambda_1 x\\-1=2\lambda_2 y\\ -2 =2(\lambda_1+\lambda_2)z\\ x^2+z^2-1=0\\y^2+z^2-1=0. \endaligned\right.$$ Układ ten ma dwa rozwiązania $$-x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ oraz $$x=-y=-z=\frac{\sqrt{2}}{2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Wartość funkcji $F$ w tych punktach wynosi $$F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}.$$ W obu punktach nieregularnych poziomicy $\{G=0\}$ mamy $$F(0,0,-1)=2 \text{ oraz } F(0,0,1)=-2.$$ Po porównaniu tych wartości: $-2\sqrt{2}<-2<2<2\sqrt{2}$ stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy $\{G=0\}$ równą $2\sqrt{2}$ funkcja $F$ osiąga w punkcie $ (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, a najmniejszą, równą $-2\sqrt{2}$, w punkcie $ (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}).$
\eprz
