Tescik

Definicja przestrzeni wektorowej

Na początku tego wykładu wprowadzimy pojęcie przestrzeni wektorowej - najważniejszej struktury, którą zajmuje się algebra liniowa.

Definicja 1.1 [Przestrzeń wektorowa]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} będzie zbiorem niepustym wyposażonym w działanie wewnętrzne - dodawanie. Dane jest także ciało $\mathbb{𝕂}$ oraz działanie zewnętrzne, tak zwane mnożenie zewnętrzne z lewej strony, będące odwzorowaniem zbioru $\mathbb{𝕂}\times V$ w zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} . Wartość tego odwzorowania na parze $(\lambda ,v)\in \mathbb{𝕂}\times V$ oznaczamy przez $\lambda \cdot v$. Występującą tu kropkę najczęściej pomijamy.

Mówimy, że struktura składająca się ze zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} , ciała $\mathbb{𝕂}$ oraz dwóch powyższych działań jest przestrzenią wektorową, jeśli spełnionych jest pięć poniższych warunków, zwanych aksjomatami przestrzeni wektorowej:

V1) Zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} z dodawaniem jest grupą przemienną,

V2) Dla każdych $\lambda \mu \in \mathbb{𝕂}$ i dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev\in V} zachodzi równość $\lambda (\mu v)=(\lambda \mu )v$.

V3) Dla każdych $\lambda \mu \in \mathbb{𝕂}$ i dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev\in V} zachodzi równość $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$.

V4) Dla każdego $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ i każdych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev,w\in V} zachodzi równość $\lambda (v+w)=\alpha v+\alpha w$.

V5) Dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev\in V} zachodzi równość $1\cdot v=v$.

W pierwszym aksjomacie najczęściej żąda się, tak jak to zrobiliśmy, aby grupa była przemienna, choć przemienność tej grupy jest konsekwencją pozostałych warunków. Proponujemy, aby czytelnik sam sprawdził ten fakt. Aksjomaty V2)- V5) są w definicji niezbędne. Proponujemy, aby czytelnik sprawdził to, znajdując przykład struktury, dla której spełnione są wszystkie warunki oprócz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV2)} , następnie przykład struktury, dla której spełnione są wszystkie warunki oprócz warunku V3), etc. Własność V3) nazywa się łącznością mieszaną, własność V4) - rozdzielnością mnożenia zewnętrznego względem dodawania w ciele i wreszczcie własność V4) - rozdzielnością mnożenia zewnętrznego względem dodawania wewnętrznego.

Jeśli spełnione są wszystkie powyższe aksjomaty, to mówimy także, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{𝕂}$. Elementy przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} nazywamy wektorami, zaś elementy ciała $\mathbb{𝕂}$ nazywamy skalarami.

Zauważmy najpierw pewne elementarne własności przestrzeni wektorowych.

Twierdzenie 1.2

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{𝕂}$. Wtedy dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev\in V} i każdego $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ zachodzą równości:

$0\cdot v=0,$

$\lambda \cdot 0=0,$

$(-1)v=-v,$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\lambda \cdot v= 0 \Longrightarrow \lambda =0 \{\rm lub}\ v=0.}

Uwaga 1.3

W pierwszej z powyższych równości $0$ z lewej strony jest zerem w ciele, zaś $0$ z prawej strony jest zerem w przestrzeni wektorowej. W drugiej równości oba $0$ są zerami w przestrzeni wektorowej.

Dowód

Dowód trzech pierwszych z powyższych własności jest analogiczny do odpowiednich części dowodu Twierdzenia 2.2. z Wykładu 1. Dla dowodu czwartej własności załóżmy, że $\lambda \ne 0$ i $\lambda v=0$. Pomnóżmy obie strony przez ${\lambda }^{-1}$. Otrzymujemy stąd równość Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev=0} .

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni wektorowych.

Przykład 1.4

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią wektorową nad dowolnym ciałem. Jedyny element takiego zbioru jest zerem w tej przestrzeni. Taką przestrzeń nazywamy przestrzenią zerową.

Przykład 1.5

Każde ciało jest przestrzenią wektorową nad samym sobą.

Ogólniej, jeśli $\mathbb{𝕂}$ jest ciałem, to iloczyn kartezjański ${\mathbb{𝕂}}^n$, Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylen”): {\displaystyle \displaystylen\in \mathbb N} , ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb{𝕂}$. Dodawanie w ${\mathbb{𝕂}}^n$ definiujemy następująco

$(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n),$

zaś mnożenie zewnętrzne dane jest formułą

$\lambda (a_1,...,a_n)=(\lambda a_1,...,\lambda a_n).$

Bezpośrednim i łatwym rachunkiem można sprawdzić, że tak zdefiniowana struktura na ${\mathbb{𝕂}}^n$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{𝕂}$.

W kolejnym przykładzie zdefiniujemy strukturę przestrzeni wektorowej na iloczynie kartezjańskim dowolnych przestrzeni wektorowych.

Przykład 1.6

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleW”): {\displaystyle \displaystyleW} będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$. Wtedy iloczyn kartezjański Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV\times W} ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb{𝕂}$. Istotnie, jeśli zdefiniujemy dodawanie formułą

$(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2),$

dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev_1, v_2\in V} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylew”): {\displaystyle \displaystylew_1, w_2\in W} , a mnożenie zewnętrzne formułą

$\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$

dla $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylev”): {\displaystyle \displaystylev\in V} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylew”): {\displaystyle \displaystylew\in W} , to otrzymujemy strukturę przestrzeni wektorowej (nad ciałem $\mathbb{𝕂}$) na Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV\times W} .

Przykład 1.7

Załóżmy, że dana jest przestrzeń wektorowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleX”): {\displaystyle \displaystyleX} jest dowolnym zbiorem niepustym. Weźmy zbiór wszystkich odwzorowań Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef:X\longrightarrow V} . Oznaczmy ten zbiór przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV^X} . W zbiorze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV ^X} wprowadzamy dodawanie

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

dla każdych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef,g\in V^X} i dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex\in X} . Mnożenie zewnętrzne definiujemy formułą

$(\lambda f)(x)=\lambda (f(x))$

dla $\lambda \in \mathbb{𝕂}$, Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef\in V} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex\in X} .

Tak określone działania definiują , co łatwo sprawdzić, strukturę przestrzeni wektorowej na Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV^X} nad $\mathbb{𝕂}$.

Jako szczególny przypadek możemy wziąć zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wartościach w dowolnej przestrzeni wektorowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} . Zbiorem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleX”): {\displaystyle \displaystyleX} jest tutaj zbiór liczb naturalnych $\mathbb{\mathbb{N}}$.

Jeśli za Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleX”): {\displaystyle \displaystyleX} weźmiemy zbiór $\{1,...,n\}$, a Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} jest dowolną przestrzenią wektorową, to otrzymamy przestrzeń ciągów o długości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylen”): {\displaystyle \displaystylen} i wyrazach w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} .

Jeśli za Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleX”): {\displaystyle \displaystyleX} przyjmiemy pewien przedział w zbiorze liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich funkcji określonych na tym przedziale i o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych jest przestrzenią wektorową.

Przykład 1.8

W szkole wprowadza się pojęcie wektora swobodnego na płaszczyźnie. Zbiór wszystkich takich wektorów ze znanymi ze szkoły dodawaniem (przez zastosowanie reguły równoległoboku) i mnożeniem wektorów przez liczby rzeczywiste stanowi przykład przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb{ℝ}$. Podobnie ma się rzecz ze zbiorem wektorów swobodnych w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej.

Można też rozumować tak (pomijając pojęcie wektora swobodnego). Rozważmy płaszczyznę (lub trójwymiarową przestrzeń) z ustalonym punktem (np. początkiem pewnego układu współrzędnych). Bierzemy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w tym punkcie. Wprowadzamy dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę rzeczywistą tak, jak się to robi w szkole. Tak otrzymana struktura jest przestrzenią wektorową nad $\mathbb{ℝ}$.

Jeśli płaszczyzna (lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna) jest wyposażona w układ współrzędnych, to tak otrzymaną przestrzeń wektorów można utożsamiać z ${\mathbb{ℝ}}^2$ (w przypadku płaszczyzny) lub z ${\mathbb{ℝ}}^3$ (w przypadku trójwymiarowej przestrzeni fizycznej).

Przestrzeń wektorową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV} nad ciałem liczb zespolonych nazywamy przestrzenią wektorową zespoloną. Przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych nazywamy przestrzenią wektorową rzeczywistą. Każda przestrzeń wektorowa zespolona jest automatycznie przestrzenią wektorową rzeczywistą (z mnożeniem zewnętrznym będącym zawężeniem do $\mathbb{ℝ}\times V$ mnożenia zewnętrznego przez liczby zespolone).