Jk

Reprezentacja

Przykład 2 [Maszyna dodająca dwie liczby w systemie unarnym]

{{{3}}}

Ciała

Rozważymy teraz zbiory wyposażone w dwa działania - dodawanie i mnożenie. Przyjmiemy następującą definicję.

Definicja 2.1 [Ciało]

Ciałem (dokładniej mówiąc - ciałem przemiennym) nazywamy zbiór $\mathbb{𝕂}$ wyposażony w dwa działania wewnętrzne - dodawanie i mnożenie, które spełniają następujące warunki:

C1) $\mathbb{𝕂}$ z dodawaniem jest grupą przemienną,

C2) mnożenie w $\mathbb{𝕂}$ jest przemienne i zbiór $\mathbb{𝕂}\setminus \{0\}$ z mnożeniem jest grupą,

C3) $a(b+c)=ab+ac$ dla każdych elementów $a,b,c\in \mathbb{𝕂}$ (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania).

Udowodnimy najbardziej podstawowe własności ciał.

Twierdzenie 2.2 [Własności Ciała]

W ciele zachodzą następujące warunki:

1. $1\ne 0$,
2. $0\cdot a=a\cdot 0=0,$
3. $(-1)\cdot a=-a,$
4. jeżeli $ab=0$, to $a=0$ lub $b=0$,
5. jeżeli $a\ne 0$ i $b\ne 0$, to $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$

dla każdych $a,b\in \mathbb{𝕂}$.

Dowód

Wiemy, że zbiór $\mathbb{𝕂}\setminus \{0\}$ jest grupą ze względu na mnożenie, a więc $1\in \mathbb{𝕂}\setminus \{0\}$. Stąd mamy pierwszą własność.

Dla udowodnienia drugiej własności zauważmy, że

$0\cdot a+0\cdot a=(0+0)a=0\cdot a.$

Dodając do obydwu stron $-(0\cdot a)$ dostajemy żądaną równość. Korzystając z przemienności mnożenia w całym $\mathbb{𝕂}$ dostajemy równość $a\cdot 0=0$ dla każdego $a\in \mathbb{𝕂}$. Stąd i założonej łączności mnożenia w $\mathbb{𝕂}\setminus \{0\}$ wynika już łączność mnożenia w całym zbiorze $\mathbb{𝕂}$.

Korzystając z drugiej własności dostajemy teraz

$0=0\cdot a=(1+(-1))a=a+(-1)a.$

Ponieważ dodawanie w $\mathbb{𝕂}$ jest przemienne, dostajemy równość $(-1)a+a=0$. Oznacza to, że $(-1)a$ jest elementem przeciwnym do $a$, co dowodzi trzeciej własności.

Dla dowodu czwartej własności przypuśćmy, że $a\ne 0$. Wtedy, wykorzystując już udowodnioną własność (2) dostajemy

$b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0.$

Własność ta wynika też z aksjomatu C2), bo w aksjomacie tym implicite założono, że $\mathbb{𝕂}\setminus \{0\}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie.

Własność ostatnia wynika z następujących równości

$(b^{-1}{a}^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=1.$

Konsekwencją trzeciej własności i wcześniejszej umowy (1.1) jest równość następująca:

$a(b-c)=ab-ac$

dla każdych $a,b,c\in \mathbb{𝕂}$.

Wprowadzimy teraz pojęcie charakterystyki ciała.

Definicja 2.3 [Charakterystyka ciała]

Niech $\mathbb{𝕂}$ będzie ciałem. Jeżeli istnieje liczba naturalna $n$ taka, że

$1+...+1=0,$

gdzie jedynka w powyższej sumie występuje $n$ razy, to najmniejszą taką liczbę $n$ nazywamy charakterystyką ciała. Jeśli taka liczba naturalna nie istnieje, mówimy, że charakterystyka ciała równa jest $0$.

Ponieważ $1\ne 0$, więc charakterystyka ciała, jeśli nie jest równa $0$, musi być większa lub równa $2$. Ciałem o charakterystyce 2 jest tzw. ciało zero-jedynkowe, które można wprowadzić tak. W zbiorze $\{0,1\}$ wprowadzamy działania

$0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0,$ $0\cdot 0=0,0\cdot 1=1\cdot 0=0,1\cdot 1=1.$

Łatwo widać, że spełnione są wszystkie warunki definiujące ciało i ciało to ma charakterystykę równą 2.

Ciałami są zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami. Są to oczywiście ciała o charakterystyce $0$. Ciała te oznaczamy symbolami $\mathbb{\mathbb{Q}}$ i $\mathbb{ℝ}$ odpowiednio.