Analiza matematyczna 2

Forma zajęć

Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)

---

Opis

Kurs jest kontynuacją „Analizy matematycznej 1”. Jego celem jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych.

---

Sylabus

Autorzy

• Rafał Czyż
• Halszka Tutaj-Gasińska
• Marta Kosek
• Jerzy Szczepański

Wymagania wstępne

• Wymagana jest znajomość analizy matematycznej (I) oraz algebry liniowej z geometrią analityczną

Zawartość

• szeregi liczbowe i szeregi funkcyjne
  • warunek konieczny
  • szereg geometryczny; szereg harmoniczny
  • kryteria zbieżności
  • szeregi potęgowe, szeregi Taylora
  • trygonometryczne szeregi Fouriera
• rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha i w $R^N$
  • ciągłość funkcji wielu zmiennych
  • pochodne cząstkowe i różniczka; interpretacja geometryczna; gradient
  • różniczka złożenia
  • twierdzenie o funkcjach uwikłanych
  • różniczki wyższych rzędów
  • wzór Taylora
  • ekstrema funkcji wielu zmiennych
  • ekstrema warunkowe (metoda mnożników Lagrange'a).
• całka Riemanna funkcji jednej zmiennej
  • interpretacja geometryczna; funkcje całkowalne w sensie Riemanna
  • podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego (Newtona-Leibniza)
  • twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Riemanna
  • całka niewłaściwa
  • krzywa prostowalna
  • zastosowania całki Riemanna
• wielokrotna całka Riemanna
  • twierdzenie Fubiniego
  • całka krzywoliniowa
  • wzór Greena
• równania różniczkowe zwyczajne
  • twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy’ego
  • przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
  • podstawy rachunku wariacyjnego

Literatura

1. W. Rudin, „Podstawy analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982
2. W. Rudnicki, „Wykłady z analizy matematycznej”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001
3. J. Ombach, „Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo – Maple”, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, wyd. II, Kraków 1999
4. G.M. Fichtenholz, „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom I, II i III. PWN, Warszawa 1978.
5. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
6. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
7. A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, PWN, Warszawa 2002.
8. W. Krysicki, L. Włodarski, „Analiza matematyczna w zadaniach”, część I i II, PWN, Warszawa 1986.
9. J. Banaś, S. Wędrychowicz, „Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.