CWGI Moduł 4

Wykład 4. Przekroje i przenikanie wielościanów

---

Celem naszym będzie poszukiwanie rzutów punków przebicia prostej z wielościanem. Niech będą dane rzuty ostrosłupa prostego stojącego na rzutni poziomej $ABCW$ oraz rzuty prostej $n$. Należy wyznaczyć punkty przebicia prostej ze ścianami ostrosłupa oraz ustalić widoczność prostej przy założeniu, że ściany ostrosłupa są niewidoczne (patrz rys.4.1_1a). Ustalmy tok postępowania przy rozwiązaniu tego zadania: przez dowolny punkt $P$ leżący na prostej $n$ oraz wierzchołek $W$ ostrosłupa poprowadźmy prostą $a$, dwie proste $a$ i $n$ wyznaczą płaszczyznę $\alpha$. Wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną $\alpha$, w której leży dana prosta $n$ w punktach przecięcia się boków wielokąta przekroju z prostą $n$ wyznaczymy poszukiwane punkty przebicia ścian ostrosłupa z prostą $n$. Obierając punkt $P$ na prostej $n$ oraz prowadząc prostą a przez punkt $P$ i wierzchołek $W$ ostrosłupa wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną określoną przez te proste. Wierzchołek $W$ będzie stanowił jeden z wierzchołków figury płaskiej, będącej poszukiwanym przekrojem. Mając dane rzuty prostych $n$ i $a$ możemy wyznaczyć ich ślady poziome $H_a$ i $H_n$. Łącząc ze sobą te ślady wyznaczymy ślad poziomy $h_{\alpha }$ płaszczyzny $\alpha$. Jak widać na rzucie poziomym ślad $h_{\alpha }$ (prosta leżąca na rzutni poziomej) przecina nam podstawę ostrosłupa w punktach $1^{\prime }$ i $2^{\prime }$ (podstawa ostrosłupa z założenia leży na rzutni poziomej). Łącząc rzuty poziome punktów $1^{\prime }$ i $2^{\prime }$ z rzutem poziomym $W^{\prime }$ wierzchołka, wyznaczymy rzut poziomy ($W^{\prime }{1}^{\prime }{2}^{\prime }$) trójkąta, który jest rzutem poszukiwanego przekroju. Prosta $n$ przecina boki przekroju w punktach $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$, które są punktami przebicia prostej $n$ ze ścianami $\alpha$ ostrosłupa. Rzuty pionowe punktów przebicia znajdziemy na rzucie pionowym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n"} prostej oraz odnoszących punktów $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$. Ustalamy widoczność prostej $n$, przyjmując, że ściany ostrosłupa są nieprzezroczyste. Widoczność prostej $n$ w rzucie pionowym określamy analizując widoczność ścian ostrosłupa (ocenę przeprowadzamy w rzucie poziomym). Widać wyraźnie, że ściana $ACW$ jest widoczna w rzucie pionowym, natomiast ściana $ABW$ jest niewidoczna w rzucie pionowym. Zaznaczamy to odpowiednio linią kreskową. Widoczność prostej $n$ w rzucie poziomym jest oczywista. Wszystkie ściany są widoczne z wyjątkiem podstawy. Prosta $n$, zatem jest niewidoczna wyłącznie między ścianami ostrosłupa, co odpowiednio zaznaczamy na rzucie poziomym przekroju.

---

Kolejnym zadaniem będzie poszukiwanie punktów przebicia prostej $n$ ze ścianami graniastosłupa pochyłego $ABC$ stojącego na rzutni poziomej. Pierwszym etapem rozwiązania zadania jest wyznaczenie rzutów przekroju graniastosłupa płaszczyzn, w której znajduje się dana prosta $n$. W tym celu przez prostą $n$ prowadzimy dowolna płaszczyznę. Dla ułatwienia będzie to płaszczyzna pionowo – rzutująca $\alpha$, prostopadła do rzutni pionowej. Ślad pionowy płaszczyzny $v_{\alpha }$ będzie pokrywał się z rzutem pionowym prostej $n$, ponieważ wszystkie elementy płaskie znajdujące się w takiej płaszczyźnie w rzucie pionowym rzutują się na ślad pionowy płaszczyzny, będący jednocześnie rzutem pionowym płaszczyzny. Kolejnym etapem rozwiązania jest wyznaczenie przekroju graniastosłupa płaszczyzną $\alpha$. Przekrój w rzucie pionowym wyznaczymy natychmiast. Zgodnie z cytowaną wyżej zasadą punkty przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1", 2", 3"} w rzucie pionowym będą leżały na przecięciu się krawędzi graniastosłupa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A",B", C"} ze śladem pionowym płaszczyzny $\alpha$. Rzuty poziome punktów przekroju $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime }$ będą leżały na przecięciu się odnoszących z rzutami poziomymi krawędzi graniastosłupa $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. W miejscach gdzie prosta n przecina się z bokami przekroju otrzymamy poszukiwane punkty przebicia graniastosłupa prostą $n$. Dla pełnego rozwiązania zadania należy ustalić widoczność prostej, która wbija się w ściany graniastosłupa. W rzucie pionowym punkty przebicia znajdują się na ścianach widocznych, zatem prosta $n$ będzie niewidoczna jedynie na odcinku między punktami przebicia. W rzycie poziomym jeden z punktów przebicia (punkt $Q^{\prime }$) leży na ścianie niewidocznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B’ C’} , więc prosta $n$ będzie niewidoczna nie tylko między punktami przebicia ale również do miejsca wyjścia prostej z raniastosłupa. Niewidoczne krawędzie zaznaczono odpowiednio linią kreskową.

---

Kolejno naszym celem będzie wyznaczenie linii przenikania ostrosłupa $ABCW$ z płaszczyzną trójkąta $MNP$. Należy również ustalić widoczność poszczególnych krawędzi ostrosłupa oraz boków trójkąta (rys. 4.2_1a) Na poprzednim wykładzie zapoznaliśmy się z wyznaczaniem przekroju wielościanu płaszczyznami w położeniu rzutującym. W takim przypadku rozwiązanie zadania jest stosunkowo proste i nie wymaga żmudnych konstrukcji pomocniczych. W przypadku tego zadania mamy do czynienia z wyznaczaniem przekroju ostrosłupa (linia przenikania trójkąta z ostrosłupem jest częścią przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez płaszczyznę trójkąta) z płaszczyzną bezśladową, w położeniu ogólnym. Rozwiązanie zadania uprościmy sprowadzając zaprezentowany w założeniach układ do układu, w którym płaszczyzna trójkąta jest w położeniu rzutującym. Zmianę układu odniesienia przeprowadzimy za pomocą omówionej na wcześniej transformacji. W tym celu obieramy w płaszczyźnie trójkąta $NMP$ prostą poziomą $a$. Oś $x_{1/3}$ nowego układu rzutni, która zmieni układ w taki sposób, aby płaszczyzna trójkąta była w położeniu rzutującym względem nowej rzutni, będzie prostopadła do rzutu poziomego prostej poziomej $a^{\prime }$. Kolejny etap - to dokonanie transformacji płaszczyzny trójkąta oraz ostrosłupa. Otrzymamy trzecie rzuty tych elementów przestrzennych, przy czym płaszczyzna $\alpha (MNP)$ znajduje się w położeniu rzutującym względem rzutni. Wyznaczenie przekroju ostrosłupa w trzecim rzucie jest zagadnieniem prostym. Wierzchołki przekroju będą leżały na przecięciu się trzeciego rzutu płaszczyzny trójkąta $MNP-{\alpha }^{‴}$ z krawędziami ostrosłupa. Za pomocą odnoszących prostopadłych do osi $x_{1/3}$ wyznaczymy rzuty poziome wierzchołków $I^{\prime }$, $I{I}^{\prime }$, $II{I}^{\prime }$, przekroju na rzutach poziomych boków trójkąta, a następnie za pomocą odnoszących prostopadłych do osi x wyznaczymy rzuty pionowe wierzchołków przekroju $I^{″}$, $I{I}^{″}$, $II{I}^{″}$, na rzutach pionowych boków ostrosłupa. Linia przenikania trójkąta z ostrosłupem będzie stanowiła tą część przekroju, która jest wspólna dla trójkąta i ścian ostrosłupa. Zakładając, że ściany ostrosłupa oraz płaszczyzna trójkąta są nieprzezroczyste ustalamy widoczność poszczególnych linii przenikania. Podobnie jak w poprzednich zadaniach widoczność w rzucie pionowym oceniamy analizując poszczególne linie przenikania na ścianach ostrosłupa w rzucie poziomym.

---

Zadanie o podobnej treści można rozwiązać przyjmując dowolną płaszczyznę przekroju w postaci płaszczyzny zadanej śladami (rys.4.2_1b). W tym przypadku należy zmienić układ odniesienia za pomocą transformacji, sprowadzając płaszczyznę $\alpha$ do położenia rzutującego. Przenosząc również ostrosłup do nowego układu za pomocą transformacji o takiej samej osi transformacji można wyznaczyć przekrój w trzecim rzucie podobnie jak w poprzednich zadaniach. Oś transformacji obieramy prostopadle do śladu poziomego płaszczyzny $\alpha$. Otrzymamy trzeci rzut węzła płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_\alpha"’} , który będzie jednym z punktów należących do trzeciego rzutu płaszczyzny $\alpha$. Należy, zatem wyznaczyć jeszcze trzeci rzut dowolnego punktu należącego do płaszczyzny $\alpha$, aby wyznaczyć trzeci rzut płaszczyzny. W tym celu obieramy dowolnie położony punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1"} , należący do śladu pionowego płaszczyzny $\alpha$. Drugi rzut poziomy $1^{\prime }$ będzie leżał na osi $x$. Dokonując transformacji punktu $1$ (odmierzamy od osi transformacji wielkość równą wysokości punktu $1$) wyznaczymy rzut Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1"'} . Punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1"'} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_\alpha"'} wyznaczą nam Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha"'} . Przenosimy następnie ostrosłup do nowego układu, dokonując transformacji poszczególnych wierzchołków ostrosłupa $ABCDW$. Po dokonaniu transformacji płaszczyzny $\alpha$ i ostrosłupa można wyznaczyć trzecie rzuty wierzchołków przekroju ostrosłupa w miejscu przecięcia się Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha"'} z krawędziami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A"'W"'} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B"'W"'} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle C"'W"'} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle D"'W"'} oraz z bokami podstawy (jak widać w trzecim rzucie płaszczyzna przecina również podstawę). Otrzymamy w trzecim rzuci pięć wierzchołków figury będącej przekrojem ostrosłupa (Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2"'} ,Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3"'} ,Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 4"'} ,Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 5"'} ,Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 6"'} ). Powracając do układu dwu rzutni, poziomej i pionowej otrzymamy rzuty przekroju. Zamiast ustalenia widoczności poszczególnych krawędzi, można wyznaczyć rzuty bryły powstałej po „wygaszając” odciętą płaszczyzna przekroju część ostrosłupa.

---

W technice często mamy do czynienia z zagadnieniem przenikania się powierzchni regularnych wielościanów. Ustalenie linii przenikania - konstrukcyjnie pozwala konstruktorowi przewidzieć szereg kwestii technicznych wynikających z tego tytułu. Wykorzystując metody przedstawione w dotychczasowych rozdziałach omówimy przykładowe przenikanie się dwóch wielościanów. Należy wyznaczyć linię przenikania ostrosłupa $KLNW$ z graniastosłupem prostym stojącym na rzutni poziomej oraz podstawie $ABCD$. Na rysunku 4.3_1a przedstawione zostały założenia do niniejszego zadania. Graniastosłup prosty, którego podstawa $ABCD$ leży na rzutni poziomej ma ściany w położeniu rzutującym względem tej rzutni. Wszystkie elementy płaskie leżące na ścianach graniastosłupa, w rzucie poziomym, będą znajdowały się na rzucie poziomym boków podstawy $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$. Dla ułatwienia i czytelności rysunku nie oznaczymy górnej podstawy graniastosłupa, która jak widać z rzutu pionowego nie bierze udziału w tworzeniu linii przenikania. Położenie ostrosłupa wymaga ustalenia widoczności jego krawędzi. Widoczność tą powinniśmy ustalić w rzucie pionowym, ponieważ w rzucie poziomym odpowiednie krawędzie podstaw pokrywają się i rzuty górnych SA widoczne. W tym celu wykorzystamy punkty $EF$ leżące odpowiednio: $E$ na boku podstawy $LN$ oraz $F$ na krawędzi $KW$ ostrosłupa. Rzuty pionowe tych punktów pokrywają się. Zważywszy, że punkt $F$ należący do krawędzi $KW$ ma większą głębokość (większą odległość od rzutni pionowej) można stwierdzić, iż w rzucie pionowym bok podstawy ostrosłupa $L^{″}{N}^{″}$ będzie niewidoczny, co zaznaczamy linią kreskową.

---

Linia przenikania wielościanów związana jest z wyznaczaniem punktów przebicia ścian jednego z wielościanów krawędziami drugiego wielościanu. Dokonajmy, zatem analizy podanych wielościanów w aspekcie ich położenia względem siebie. Na rys. 4.3_1b, w rzucie poziomym możemy zaobserwować, które krawędzie jednego z wielościanów przebijają ściany drugiego wielościanu. Krawędź $A$ graniastosłupa leży poza ostrosłupem i nie bierze udziału w tworzeniu poszukiwanej linii przenikania. Pozostałe krawędzie graniastosłupa przebijają ściany ostrosłupa. Krawędź $B$ przecina krawędź $LW$ oraz ścianę $KNW$ ostrosłupa, krawędź $C$ graniastosłupa przebija ściany $KNW$ i $KLW$ ostrosłupa. Krawędź $D$ graniastosłupa przebija ściany $LNW$ oraz $KNW$. Podobnie można ocenić, które krawędzie ostrosłupa przebijają ściany graniastosłupa. Krawędź $NW$ ostrosłupa przebija ściany $DA$ i $AB$ graniastosłupa, natomiast krawędź $LW$ przebija ścianę $CD$ oraz przecina (opisaną wcześniej) krawędź $B$ graniastosłupa. Krawędź $KW$ nie bierze udziału w tworzeniu linii przenikania. Po takiej analizie możemy przystąpić do wyznaczania poszczególnych punktów linii przenikania. Oznaczmy poszczególne punkty przebicia i przecięcia krawędzi ostrosłupa ze ścianami i krawędzią graniastosłupa, opisane powyżej, w rzucie poziomym kolejno punktami $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },4^{\prime },5^{\prime }$. Rzuty pionowe punktów $1^{″},2^{″},3^{″},5^{″}$ znajdziemy bezpośrednio na rzucie pionowym krawędzi ostrosłupa. Jedyny problem rozwiązania stanowi rzut pionowy punktu $4^{″}$, który znajduje się na ścianie $KNW$ ostrosłupa. W celu wyznaczenia jego położenia poprowadźmy przez rzut poziomy wierzchołka $W^{\prime }$ ostrosłupa i rzut poziomy punktu $4^{\prime }$ tworzącą $e^{\prime }$, leżącą na ścianie $K^{\prime }{N}^{\prime }{W}^{\prime }$. Następnie wyznaczymy rzut pionowy tworzącej $e^{″}$, korzystając pośrednio z rzutów punktów $I^{\prime }$ i $I{I}^{″}$ przecięcia tworzącej z bokiem $KN$ podstawy ostrosłupa, na rzucie pionowym $e^{″}$ wyznaczymy poszukiwany rzut pionowy punktu $4^{″}$. W etapie $I$ ustalone zostały punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. W celu określenia kolejności połączenia punktów tworzących linie przenikania zbudujemy tzw. siatkę znaków. Rozetnijmy poszczególne wielościany wzdłuż jednej z krawędzi (najlepiej według krawędzi niebiorącej udziału w tworzeniu linii przenikania) i oznaczmy te krawędzie symbolicznie na przedstawionej siatce, powtarzając pierwszą krawędź tak, aby zamknąć powierzchnię boczną danego wielościanu. Na tak stworzonej siatce nanosimy symbolicznie poszczególne punkty linii przenikania. Np. punkt $1$ znajduje się na krawędzi $N$ ostrosłupa oraz ścianie $AB$ graniastosłupa. Podobnie postępujemy z następnymi punktami.

---

W etapie II zajmiemy się punktami przecięcia krawędzi graniastosłupa ze ścianami ostrosłupa (patrz rys. 4.3_1c). Kolejne punkty przecięcia krawędzi graniastosłupa ze ścianami ostrosłupa to: punkty $6$ i $7$ przebicia krawędzi $D$ ze ścianami odpowiednio $NLW$ i $NKW$ oraz punkty $8$ i $9$ przebicia krawędzi $C$ ze ścianami $KLW$ i $KNW$. Rzuty pionowe tych punktów wyznaczymy po ustaleniu rzutów pionowych poszczególnych tworzących przechodzących przez te punkty. Końcowym akcentem tego etapu jest wyznaczanie linii przenikania, a więc ustalenie, które punkty należy połączyć ze sobą tak, aby utworzyły zamkniętą linię przenikania. Powracamy zatem do siatki znaków Zasada łączenia ze sobą poszczególnych punktów polega na łączeniu ze sobą jedynie w obrębie jednego kwadratu. Powstała, zatem zamknięta linia przenikania. Może się zdarzyć, że otrzymamy dwie, pozornie otwarte linie przenikania, wtedy, gdy przecięcie wielościanu nastąpi wzdłuż krawędzi zaangażowanej w procesie konstrukcji linii przenikania. Pamiętając jednak, że powierzchnie boczne wielościanów są zamknięte oraz, że na końcu siatki powtarzamy pierwsza krawędź, zawsze otrzymamy linie zamkniętą. Tak otrzymane połączenia punktów linii przenikania nanosimy następnie, cienką linią, na rysunek konstrukcyjny.

---

Ostatni III etap związany jest z wyznaczaniem widoczności linii przenikania w rzucie pionowym(rys. 4.3_1d). Analizując rzut poziomy wielościanów ustalimy, które ze ścian są widoczne, a które są niewidoczne w rzucie pionowym. Analizę taką przeprowadzamy odrębnie dla każdego z wielościanów. W przypadku graniastosłupa niewidocznymi są ściany $AB$ i $DA$, co zaznaczamy znakiem (-), a następnie całą ścianę na siatce znaków kreskujemy. Dla ostrosłupa niewidoczna jest ściana $LN$, którą również oznaczamy znakiem (-) i całą ścianę kreskujemy. Otrzymaliśmy, zatem pola kwadratów, w których znajdująca się linia przenikania jest niewidoczna oraz pola, w których jest ona widoczna. Tak otrzymaną, na siatce znaków, sytuację nanosimy na układ rzutów prostokątnych wielościanów. Ostatecznie przyjmując, że ściany wielościanów są nieprzezroczyste możemy uwypuklić wzajemne przenikanie się brył za pomocą cieniowania każdej z nich osobno. Uwzględniając widoczność poszczególnych odcinków linii przenikania możemy zacieniować ściany wielościanów w odrębny sposób dla każdego z nich. Zadanie powyższe zostało rozwiązane.

---

Występujące w praktyce konstrukcyjnej częste przypadki „wycięcia” z brył przestrzennych określone otwory, przy pomocy specjalnych wykrojników. Wyznaczymy, zatem rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy wykrojnika w postaci prostego graniastosłupa trójkątnego. Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami $ABCW$. Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa trójkątnego EFG . Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem. Założenia do zadania przedstawiono na rys. 4.3_2a.

---

---