PEE Moduł 6

Wykład 6. Układy trójfazowe

Pojęcia wstępne

Definicja układu trójfazowego

Układem trójfazowym nazywamy układ trzech obwodów elektrycznych, w których istnieją trzy źródła napięć sinusoidalnych o jednakowej częstotliwości, przesunięte względem siebie o określony kąt fazowy i wytworzone w jednym generatorze zwanym generatorem trójfazowym. Poszczególne obwody generatora trójfazowego nazywać będziemy fazami i oznaczać literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3.

Przykład połączenia 3 faz generatora w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 3).

Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Poszczególnym napięciom fazowym przypisuje się wskaźniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia liczbowego cyfry 1, 2, 3. Układ napięć źródłowych generatora trójfazowego nazywać będziemy symetrycznym, jeśli napięcia kolejnych faz są przesunięte względem siebie o kąt $12 0^{\circ} (\frac{2}{3} π)$ a amplitudy ich są sobie równe. Wartości chwilowe poszczególnych napięć fazowych układu symetrycznego można zapisać w postaci

e_{A} (t) = | E_{m} | s i n (ω t + Ψ)

e_{B} (t) = | E_{m} | s i n (ω t + Ψ - 12 0^{\circ})

e_{C} (t) = | E_{m} | s i n (ω t + Ψ + 12 0^{\circ})

w której $E_{m}$ oznacza amplitudę, $ω$ pulsację wspólną dla wszystkich faz (przy generacji napięć trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kąt $Ψ$ jest początkowym kątem fazowym napięcia w fazie A.

W normalnym systemie trójfazowym przyjmuje się tzw. kolejność wirowania zgodną, w której faza B opóźnia się względem fazy A o kąt

12 0^{\circ}

a faza C (opóźniona względem fazy B o kolejny kąt

12 0^{\circ}

) wyprzedza fazę A o kąt równy

12 0^{\circ}

.

Na rysunku obok (slajd 4) i poniżej przedstawiono przebiegi czasowe napięć trójfazowych przy kącie początkowym $Ψ$ równym zeru. Napięcia są zmienne sinusoidalnie przy czym występują regularne przesunięcia o kąt $12 0^{\circ}$ między poszczególnymi sinusoidami.

Układ napięć fazowych

Wobec sinusoidalnej postaci wymuszeń w analizie układów trójfazowych zastosujemy metodę symboliczną. Zgodnie z tą metodą napięcia sinusoidalne zastępuje się ich postacią zespoloną, która dla przyjętych funkcji sinusoidalnych może być zapisana następująco

E_{A} = \frac{| E_{m} |}{\sqrt{2}} e^{j Ψ}

E_{B} = \frac{| E_{m} |}{\sqrt{2}} e^{j Ψ - 12 0^{\circ}} = E_{A} e^{- j 12 0^{\circ}}

E_{A} = \frac{| E_{m} |}{\sqrt{2}} e^{j Ψ + 12 0^{\circ}} = E_{A} e^{j 12 0^{\circ}}

W praktyce wobec nieustannej zmiany wartości napięć w czasie faza początkowa $Ψ$ może być przyjęta dowolnie. Najczęściej dla wygody zakładać będziemy, że jest równa zeru. Wykres wektorowy napięć trójfazowych opisanych powyższymi zależnościami dla kąta fazowego $Ψ \neq 0$ przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 5).

Punkt wspólny napięć, odpowiadający wspólnemu punktowi połączenia faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Na końcach napięć fazowych zaznaczone są oznaczenia faz (A, B, C). Napięcie fazowe generatora to napięcie między punktem końcowym wektora a punktem zerowym.

Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym odbywa się w przyjętym układzie współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rysunek powyżej pokazuje wektory napięć generatora trójfazowego wirujące w czasie. Wektory fazy B i C nadążają za wektorem A, przy czym przesunięcia fazowe między nimi są stałe i równe dokładnie $12 0^{\circ}$ . Ważną cechą trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie się sumy napięć fazowych

E_{A} + E_{B} + E_{C} = 0

Wartość zerowa sumy wynika bezpośrednio z symetrii poszczególnych napięć. Mianowicie

E_{A} + E_{B} + E_{C} = E_{A} + E_{A} e^{- j 12 0^{\circ}} + E_{A} e^{j 12 0^{\circ}} =

= E_{A} (1 - 0, 5 - j \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 5 + j \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0

Układ napięć międzyfazowych

Oprócz napięć fazowych wyróżnia się układ napięć międzyfazowych, zwanych również liniowymi, czyli napięć panujących między punktami zewnętrznymi poszczególnych faz. Przy trzech napięciach fazowych można wyróżnić trzy napięcia międzyfazowe: $E_{A B}$ , $E_{B C}$ oraz $E_{C A}$ , przy czym

E_{A B} = E_{A} - E_{B}

E_{B C} = E_{B} - E_{C}

E_{C A} = E_{C} - E_{A}

Z definicji napięć międzyfazowych wynika, że niezależnie od symetrii ich suma jest zawsze równa zeru gdyż wszystkie napięcia tworzą trójkąt zamknięty. Rysunek na sladzie nr 7 pokazuje układ napięć międzyfazowych generatora trójfazowego z przyjętymi oznaczeniami. Symbol $E_{A B}$ oznacza, że strzałka wektora napięcia na wykresie jest skierowana w stronę pierwszego wskaźnika w oznaczeniu (u nas litera A).

Z symetrii napięć fazowych wynika bezpośrednio symetria napięć międzyfazowych. Napięcia te są równe i przesunięte względem siebie o kąt $12 0^{\circ}$ , czyli

E_{A B} = E_{A} - E_{B}

E_{B C} = E_{A B} e^{- j 12 0^{\circ}}

E_{C A} = E_{A B} e^{j 12 0^{\circ}}

Układ napięć międzyfazowych symetrycznych tworzy więc trójkąt równoboczny. Wykorzystując relacje obowiązujące dla tego trójkąta łatwo jest udowodnić, że napięcie międzyfazowe jest $\sqrt{3}$ razy większe niż napięcie fazowe, co zapiszemy w ogólności jako

| E_{m f} | = \sqrt{3} | E_{f} |

gdzie $| E_{f} |$ oznacza moduł napięcia fazowego a $| E_{m f} |$ moduł napięcia międzyfazowego.

Analiza układów trójfazowych

Połączenia trójfazowe generatora i odbiornika

Układ napięć fazowych generatora może być połączony bądź w gwiazdę bądź w trójkąt. Schemat obu połączeń przedstawiony jest na rysunku obok (slajd nr 8).

Przy połączeniu trójkątnym generatora odbiornik jest zasilany napięciem międzyfazowym trójprzewodowym. Przy połączeniu generatora w gwiazdę napięcie zasilające jest napięciem fazowym a liczba przewodów może być równa trzy bądź cztery (przy czterech przewodach zasilających jednym z nich jest przewód zerowy, zwany również przewodem neutralnym).

W układzie trójfazowym odbiornik zawiera również trzy fazy, przy czym może być on połączony w gwiazdę lub w trójkąt. Oba sposoby połączenia odbiornika przedstawione są na rysunku na slajdzie nr 8.

W zależności od sposobu połączenia generatora i odbiornika można w układach trójfazowych wyróżnić cztery rodzaje połączeń. Są to:

generator i odbiornik połączone w gwiazdę (układ gwiazdowy)
generator i odbiornik połączone w trójkąt (układ trójkątny)
generator połączony w gwiazdę a odbiornik w trójkąt
generator połączony w trójkąt a odbiornik w gwiazdę.

Z punktu widzenia metodyki analizy obwodów istotne są tylko dwa pierwsze rodzaje połączeń. Dwa pozostałe są wtórne względem pierwszych i nie wnoszą nowych elementów do metody analizy.

Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika

Rozpatrzmy układ połączeń gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z oznaczeniami prądów i napięć przedstawionymi na rysunku obok (slajd nr 10).

Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt $N$ jest punktem wspólnym impedancji fazowych odbiornika. Zakładamy symetrię napięć fazowych generatora i dowolne wartości impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancją przewodu zerowego równa $Z_{N}$ . Wartość impedancji $Z_{N}$ może być dowolna, w szczególności zerowa (bezpośrednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskończona (układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napięcie między punktem zerowym odbiornika i generatora oznaczymy przez $U_{N}$ i nazywać będziemy napięciem niezrównoważenia.

Układ napięć trójfazowych odbiornika tworzą napięcia na poszczególnych jego fazach, czyli

U_{A}

,

U_{B}

,

U_{C}

. W efekcie w obwodzie trójfazowym o połączeniu gwiazda-gwiazda wyróżnia się dwa układy napięć trójfazowych gwiazdowych: generatora

E_{A}

,

E_{B}

,

E_{C}

i odbiornika

U_{A}

,

U_{B}

,

U_{C}

.

Dla obliczenia prądów w obwodzie należy wyznaczyć układ napięć odbiornikowych. Najlepiej dokonać tego wyznaczając napięcie $U_{N}$ . Zastosujemy metodę potencjałów węzłowych przy założeniu, że punkt 0 jest węzłem odniesienia a poszukiwany potencjał węzłowy jest równy $U_{N}$ . Zgodnie z metodą potencjałów węzłowych otrzymuje się

E_{A} Y_{A} + E_{B} Y_{B} + E_{C} Y_{C} = U_{N} (Y_{A} + Y_{B} + Y_{C} + Y_{N})

Stąd

U_{N} = \frac{E_{A} Y_{A} + E_{B} Y_{B} + E_{C} Y_{C}}{(Y_{A} + Y_{B} + Y_{C} + Y_{N})}

gdzie wielkości oznaczone symbolem $Y$ są admitancjami: $Y_{A} = \frac{1}{Z_{A}}$ , $Y_{B} = \frac{1}{Z_{B}}$ , $Y_{C} = \frac{1}{Z_{C}}$ oraz $Y_{N} = \frac{1}{Z_{N}}$ . Wyznaczenie wartości napięcia $U_{N}$ pozwala obliczyć wartości napięć odbiornikowych. Z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie wynika

U_{A} = E_{A} - U_{N}

U_{B} = E_{B} - U_{N}

U_{C} = E_{C} - U_{N}

Przy znanych wartościach admitancji odbiornika obliczenie prądu polega na zastosowaniu prawa Ohma. Mianowicie

I_{A} = Y_{A} U_{A}

I_{B} = Y_{B} U_{B}

I_{C} = Y_{C} U_{C}

I_{N} = Y_{N} U_{N}

Suma prądów w węźle $N$ jest równa zeru, zatem $I_{A} + I_{B} + I_{C} = I_{N}$ . Moce wydzielone w odbiorniku trójfazowym oblicza się jako sumę mocy wydzielonych w poszczególnych fazach odbiornika, czyli

S_{A} = P_{A} + j Q_{A} = U_{A} I_{A}^{*}

S_{B} = P_{B} + j Q_{B} = U_{B} I_{B}^{*}

S_{C} = P_{C} + j Q_{C} = U_{C} I_{C}^{*}

Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa

S_{N} = P_{N} + j Q_{N} = U_{N} I_{N}^{*}

Otrzymane wyniki można zinterpretować na wykresie wektorowym prądów i napięć w obwodzie. Rysunek poniżej (oraz na slajdzie nr 12) przedstawia przypadek obciążenia niesymetrycznego.

Widoczne są dwie gwiazdy napięć fazowych: generatora o środku w punkcie $0$ i odbiornika o środku w punkcie $N$ . Dla obu gwiazd obowiązuje jeden trójkąt napięć międzyfazowych. Przesunięcie potencjału punktu $N$ względem $0$ (napięcie $U_{N}$ różne od zera) jest spowodowane niesymetrią odbiornika.

W pracy układu trójfazowego gwiazdowego można wyróżnić kilka szczególnych przypadków.

Odbiornik symetryczny ( $Z_{A} = Z_{B} = Z_{C} = Z$ ) z dowolną wartością impedancji przewodu zerowego

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia

U_{N} = 0

, a prąd przewodu zerowego

I_{N} = 0

. Wszystkie prądy fazowe są równe co do amplitydy i przesunięte w fazie o

12 0^{\circ}

. Rysunek poniżej (oraz na slajdzie nr 14) przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć dla tego przypadku.

Odbiornik symetryczny jest jednym z częściej występujących przypadków w praktyce. Przykładami takich odbiorników są: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne trójfazowe (zwykle o dużej mocy).

* Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia $U_{N} = 0$ , a prąd przewodu zerowego $I_{N} \neq 0$ . Prądy fazowe są wówczas określane bezpośrednio na podstawie układu napięć generatorowych. Suma tych prądów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest różna od zera

PEE Moduł 6

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia