AM1 Test 3

Odległość i ciągi w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Test

1. Odległość punktów $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ i $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$

(a) jest większa w metryce $d_1$ niż w metryce $d_2$
(b) jest większa w metryce $d_2$ niż w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$
(c) jest większa w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$ niż w metryce $d_1$

2. Ciąg $\{a_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ dany wzorem $a_n=((-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^n)$
(a) jest ciągiem Cauchy'ego
(b) jest zbieżny w ${\mathbb{ℝ}}^2$
(c) ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego

3. Niech $A$ będzie kulą o środku w punkcie $(1,1)$ i promieniu $1$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką taksówkową $d_1.$ kula ta zawiera się w kuli
(a) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce taksówkowej $d_1$
(b) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce euklidesowej $d_2$
(c) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}$

4. Ciąg $\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\frac{1}{36},\dots$ jest podciągiem ciągu

(a) $\{\frac{1}{n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
(b) $\{\frac{1}{n^2}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
(c) $\{\frac{1}{2n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$

5. Zbiór $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ jest równy

(a) $\{0\}$
(b) $\mathrm{\varnothing }$
(c) $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$

6. Niech $\{a_n\}$ będzie ciągiem w ${\mathbb{ℝ}}^4$, takim, że $a_n=((-1{)}^n,\frac{1}{n},(-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^{n+1}).$ Wtedy
(a) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(1,0,0,1)$
(b) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(-1,0,0,1)$
(c) $a_n$ jest rozbieżny

Odpowiedzi
1. a,b; 2. c; 3. c; 4. a, b; 5. a,c; 6. b,c