Wykład

W poprzednim module zajmowaliśmy się falą płaską rozchodzącą się w nieograniczonej przestrzeni, która jest ważnym rodzajem fali elektromagnetycznej w zastosowaniach telekomunikacyjnych bo występuje pomiędzy antenami nadawczą i odbiorczą.

Niemniej istotne jest rozchodzenie się fal elektromagnetycznych we wszelkiego rodzaju liniach transmisyjnych, w których fale prowadzone są w określonym kierunku. Linie te nazywamy prowadnicami falowymi.

W module 3 poznamy fale elektromagnetyczne w podstawowych prowadnicach falowych stosowanych w technice pasm radiowych i mikrofalowych. Przedstawimy własności i parametry tych fal podkreślając różnice z falą płaską. Wprowadzimy podstawowe parametry obwodowe prowadnicy falowej (napięcie, prąd, impedancję charakterystyczną), które będą przydatne w szeregu zagadnieniach omawianych w kolejnych wykładach.

Rozpoczniemy od klasyfikacji fal elektromagnetycznych ze wskazaniem prowadnic falowych, w których się rozchodzą.

Ponieważ w strukturze prowadnicy występują dielektryki i przewodniki, należy omówić warunki brzegowe pól na granicy tych ośrodków. Znajomość tych warunków jest niezwykle istotna przy wyznaczaniu pól elektromagnetycznych w prowadnicach falowych.

W dalszej części przedstawione zostaną podstawowe prowadnice falowe stosowane do transmisji sygnałów na odległości od ułamka metra do setek metrów w zakresie fal radiowych i mikrofalowych, czyli linia współosiowa oraz falowody prostokątny i kołowy. Poznamy struktury tych linii, własności fal w nich propagowanych, rozkłady pól elektromagnetycznych podstawowych rodzajów i parametry obwodowe linii.

Podzespoły pracujące w pasmach mikrofalowych i stosowane w systemach radiokomunikacji realizowane są powszechnie jako mikrofalowe układy scalone (w skrócie: MUS). Charakterystyczną cechą tych układów jest występowanie prowadnicy falowej pomiędzy elementami o stałych skupionych (diody, tranzystory, rezystory, kondensatory). Poznamy dwie podstawowe prowadnice MUS: linię mikropaskową i falowód koplanarny.

Dla celów analizy prowadnic falowych przyjmuje się, że występujące w nich przewodniki są idealne. To założenie znakomicie upraszcza proces wyznaczania pola elektromagnetycznego w linii, ale nie pozwala na obliczenie tłumienia fali. Rzeczywiste przewodniki są istotnym źródłem strat mocy fali. Z punktu widzenia transmisji sygnałów tłumienie fali w prowadnicy jest ważnym zjawiskiem i zajmiemy się nim na zakończenie tego modułu.

Prowadzenie fal uzyskuje się wzdłuż określonego układu przewodników lub dielektryków (tzn. w obszarach cylindrycznych, których granicę są przewodzące lub są to granice dwóch dielektryków, ewentualnie odpowiednia kombinacja wymienionych materiałów). W przypadku prowadzenia fal wzdłuż przewodników, możliwe jest rozchodzenie się energii elektromagnetycznej w liniach składających się z dwóch lub więcej przewodów, a także w rurach (najczęściej o przekroju prostokątnym albo kołowym), które nie zawierają wewnątrz dodatkowych przewodników, tzw. falowodach. Natomiast przykładem prowadnicy falowej będącej układem warstw dielektrycznych jest światłowód, bez którego trudno wyobrazić sobie dzisiejszą telekomunikację.

Fale w prowadnicach falowych nie muszą być falami typu TEM, tzn. mogą one mieć składowe pól elektrycznego i magnetycznego wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali. Wprowadzić należy klasyfikację możliwych rodzajów fal nazywanych również modami.

Przyjmijmy, że fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem osi z i wtedy wyróżnia się następujące typy fal:

fala typu TEM (poprzeczna elektryczna-magnetyczna, z ang. Transverse Electric-Magnetic):

E_{z} = 0

– pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali (wektor natężenia pola elektrycznego ma co najwyżej dwie składowe),

H_{z} = 0

– pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali(wektor natężenia pola magnetycznego ma co najwyżej dwie składowe);

fala typu E (określana też TM – poprzeczna magnetyczna, z ang. Transverse Magnetic):

E_{z} \neq 0

– niezerowa składowa pola elektrycznego w kierunku rozchodzenia się fali (może mieć trzy składowe),

H_{z} = 0

– pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali;

fala typu H (określana też TE – poprzeczna elektryczna, z ang. Transverse Electric):

H_{z} \neq 0

– niezerowa składowa pola magnetycznego w kierunku rozchodzenia się fali (może mieć trzy składowe),

E_{z} = 0

– pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali;

fala typu EH: $E_{z} \neq 0$ , $H_{z} \neq 0$ .

Z powyższego wykazu wynika, że tylko pierwszy z wymienionych typów fal jest falą poprzeczną. Prowadnice falowe, w których mogą rozchodzić się rodzaje TEM nazywamy liniami TEM lub prowadnicami TEM. Struktura prowadnicy TEM musi zawierać co najmniej dwa przewody. Przykładem linii TEM jest linia współosiowa, tzw. kabel koncentryczny.

Fale E i H rozchodzą się w falowodach. Falowody stosuje się do prowadzenia fali elektro-magnetycznej z mniejszymi stratami niż w linii TEM (np. w transponderach satelitów telekomunikacyjnych) lub do przesyłania dużych mocy, których przesłanie nie jest możliwe linią współosiową (np. w radarach).

Fale typu EH występują między innymi w falowodach dielektrycznych i światłowodach.

Określenie postaci fali elektromagnetycznej w prowadnicy falowej wiąże się z poszukiwaniem rozwiązań równań Maxwella, które jest zagadnieniem matematycznym innego typu niż w przypadku fali w nieograniczonej przestrzeni. Ze względu na to, że mamy tu do czynienia z obszarem cylindrycznym o granicy przewodzącej lub w formie granicy dwóch dielektryków, musimy teraz uwzględnić warunki brzegowe. W konsekwencji pewne własności fal elektromagnetycznych w prowadnicach są inne niż fali płaskiej.

Pola elektryczne i magnetyczne w otoczeniu obustronnym granicy ośrodków muszą spełniać równania Maxwella, muszą więc być spełnione pewne wzajemne relacje między polami po obu stronach granicy ośrodków oraz występującymi na granicy prądami i ładunkami elektrycznymi. Relacje te nazywamy warunkami brzegowymi i można wyprowadzić je z równań Maxwella.

Na rysunku przedstawiono pola, prąd i ładunek, które rozpatruje się w warunkach brzegowych. Wszystkie te wielkości mogą, w ogólnym przypadku, występować w jednym punkcie granicznym. Pokazana na rysunku granica jest takim „rozciągniętym punktem”. Parametry obu ośrodków są liczbami, czyli są one liniowe, jednorodne i izotropowe.

W ośrodku 1, w pewnym punkcie na granicy z ośrodkiem 2, występuje pole elektryczne i związene z nim wektory ${\vec{D}}_{1} = ε_{1} {\vec{E}}_{1}$ oraz pole magnetyczne i wektory ${\vec{B}}_{1} = μ_{1} {\vec{H}}_{1}$ . W tym samym punkcie granicznym w ośrodku 2 mamy pola ${\vec{D}}_{2} = ε_{2} {\vec{E}}_{2}$ i ${\vec{B}}_{2} = μ_{2} {\vec{H}}_{2}$ . Przyjmijmy również, że w omawianym punkcie płaszczyzny rozgraniczającej ośrodki może występować wektor gęstości prądu powierzchniowego ${\vec{J}}_{s}$ , którego miarą jest Amper na metr [A/m], oraz istnieje ładunek o gęstości powierzchniowej $ρ_{s} [C / m^{2}]$ .

Należy zauważyć, że dowolny wektor pola elektrycznego w ośrodku 1 można przedstawić w dowolnym punkcie na granicy jako sumę wektorową składowej stycznej $E_{t 1}$ oraz składowej normalnej $E_{n 1}$ do granicy rozdziału ośrodków. Analogicznie wyraża się pozostałe wektory w ośrodku 1, czyli ${\vec{D}}_{1}$ , ${\vec{H}}_{1}$ , ${\vec{B}}_{1}$ oraz pola w ośrodku 2, co schematycznie ilustruje rysunek (na tym rysunku zaznaczono tylko składowe istotne dla warunków brzegowych oraz wersor $\vec{n}$ normalny do granicy ośrodków).

Sformułujmy warunki, które spełniają pola elektryczne i magnetyczne na granicy dwóch ośrodków.

Warunki brzegowe dla pola elektrycznego:

$E_{t 2} = E_{t 1}$ – składowa styczna wektora natężenia pola elektrycznego jest ciągła na granicy dwóch ośrodków;
$D_{n 2} - D_{n 1} = ρ_{s}$ – składowa normalna wektora indukcji elektrycznej jest ciągła na granicy dwóch ośrodków z wyjątkiem przypadku, gdy na granicy istnieje ładunek powierzchniowy i wtedy doznaje ona skokowej zmiany o wartość gęstości powierzchniowej ładunku.

Warunki brzegowe dla pola magnetycznego:

$| H_{t 2} - H_{t 1} | = | J_{s} |$ – składowa styczna wektora natężenia pola magnetycznego jest ciągła z wyjątkiem przypadku, gdy na powierzchni granicznej występuje prąd. W tym ostatnim przypadku składowa styczna natężenia pola magnetycznego zmienia skokowo wartość na granicy ośrodków o wartość gęstości prądu powierzchniowego;
$B_{n 2} = B_{n 1}$ – składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest na granicy dwóch ośrodków ciągła, bo nie występują odosobnione ładunki magnetyczne.

Warto zaznaczyć, że przedstawione warunki brzegowe obowiązują tak dla pól statycznych jak i dla pól zmiennych w czasie.

W wielu zagadnieniach występujących w technice mikrofalowej mamy do czynienia z układem dwóch dielektryków bądź ze strukturą dielektryk – przewodnik. Rozważmy zachowanie pola elektromagnetycznego w tych szczególnych przypadkach.

Na granicy miedzy dwoma bezstratnymi dielektrykami nie występuje ładunek powierzchniowy oraz nie płynie prąd przewodzenia.

Warunki brzegowe podaje się z reguły w formie iloczynów wektorowych i skalarnych, tak jak pokazano na slajdzie. W każdym iloczynie występuje wersor normalny do granicy rozdziału ośrodków. Z własności iloczynu wektorowego wynika, że zawiera on informacje tylko o składowych wektorów pól stycznych do granicy ośrodków, ponieważ iloczyn wektorowy wersora $\vec{n}$ i wektora do niego równoległego (składowa normalna pola) jest tożsamościowo równy zeru. Analogicznie, iloczyn skalarny pozwala tylko na wnioski dotyczące składowych wektorów pól normalnych do powierzchni rozdzielającej ośrodki.

Podane równania wektorowe i wynikające z nich równania skalarne stwierdzają, że składowe styczne wektorów $\vec{E}$ i $\vec{H}$ oraz składowe normalne wektorów $\vec{D}$ i $\vec{B}$ są ciągłe na granicy dielektryków. Można wykazać, że spełnienie warunków brzegowych dla składowych stycznych na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych pociąga za sobą automatycznie spełnienie warunków ciągłości dla składowych normalnych.

Podany na slajdzie przykład ilustruje zachowanie się pól na granicy dwóch dielektryków. Wektor natężenia pola magnetycznego nie ulega zmianie przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego. Natomiast wektory natężenia pola elektrycznego w obu ośrodkach różnią się, tak co do wartości jak i kierunku.

W liniach transmisyjnych powszechnie występuje granica między dielektrykiem i dobrym przewodnikiem, który często można uznać za idealny. Rozważmy warunki brzegowe dla pól zmiennych w czasie panujące na granicy dielektryka (ośrodek 2) i idealnego przewodnika (ośrodek 1).

W idealnym przewodniku $(σ = \infty)$ pole elektryczne musi być równe zeru, gdyż w przeciwnym przypadku wywoływałoby prąd przewodzenia o nieskończonym natężeniu $\vec{J} = σ \vec{E}$ . Istnienie w tym ośrodku zmiennego pola magnetycznego jest również niemożliwe, ponieważ zgodnie z pierwszym prawem Maxwella musiałoby wywołać pole elektryczne, co byłoby sprzeczne z poprzednim stwierdzeniem.

Z podanych na slajdzie równań dotyczących pola elektrycznego wynika, że:

składowa styczna wektora natężenia pola elektrycznego na granicy idealnego przewodnika jest równa zeru, a więc pole elektryczne musi być prostopadłe do powierzchni przewodnika;
pole elektryczne indukuje na powierzchni przewodnika powierzchniowy ładunek elektryczny o gęstości równej wartości indukcji elektrycznej.

Z kolei własności pola magnetycznego na granicy dielektryka z idealnym przewodnikiem są następujące:

składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest zerowa na brzegu idealnego przewodnika, czyli pole magnetyczne musi być styczne do granicy przewodnika;
pole magnetyczne wywołuje na jego powierzchni prąd przewodzenia o gęstości równej wartości natężenia pola magnetycznego. Kierunek wektora gęstości prądu jest prostopadły do wektora natężenia pola magnetycznego, a jego zwrot jest taki, że wektory $\vec{n}$ , ${\vec{H}}_{2}$ , ${\vec{J}}_{s}$ tworzą prawoskrętną trójkę wektorów.

Rysunek na slajdzie pokazuje istotne wielkości występujące na granicy dielektryk – idealny przewodnik. Trzeba podkreślić, że pola są zmienne w czasie i w każdej chwili spełnione są warunki brzegowe. Oznacza to, że w takt zmian pól zmieniają się gęstość powierzchniowa ładunku i gęstość prądu powierzchniowego.

Przypomnijmy, że prowadnica TEM musi zawierać co najmniej dwa przewody. Rysunek przedstawia przekrój poprzeczny przykładowej prowadnicy TEM mającej trzy idealne przewodniki i wypełnionej dielektrykiem stratnym.

Wektory pól elektrycznego i magnetycznego fali typu TEM mają tylko składowe poprzeczne do osi propagacji fali. Można wykazać, że zależności tych pól w prowadnicy TEM wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, czyli od zmiennej z, są identyczne jak dla fali płaskiej w przestrzeni nieograniczonej i dla fali rozchodzącej się w kierunku +0z opisuje je czynnik Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle exp(–\gamma z)} , przy czym $γ$ to współczynnik propagacji.

Zasadnicza różnica między cechami pół fali płaskiej i pól w linii TEM jest związana z tym, że pola w ośrodku nieograniczonym nie zależą od zmiennych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w prowadnicy TEM, w której muszą być spełnione określone warunki brzegowe na powierzchni przewodników linii, pola na ogół zależą od tych zmiennych. Wektory pól elektrycznego i magnetycznego zależne od zmiennych x, y i występujące w płaszczyźnie z = 0 oznaczono indeksem T. Pokazane na slajdzie ogólne zależności dla pól w linii TEM są matematycznym zapisem zgodnym z powyższymi stwierdzeniami.

Współczynnik propagacji fali w linii TEM jest taki sam jak dla fali płaskiej w nieograniczonym ośrodku i o jego wartości decydują pulsacja oraz parametry materiału wypełniającego prowadnicę falową. W konsekwencji własności propagacyjne fali typu TEM są takie jak fali płaskiej.

W prowadnicach falowych stosuje się małostratne dielektryki gdyż tylko takie wypełnienie linii pozwala na przesyłanie fali z akceptowanymi stratami. Do obliczenia wspólczynników tłumienia i fazy fali stosujemy przybliżone wyrażenia pokazane na slajdzie. Pamiętać należy, że stosując te przybliżenia zaniedbujemy dyspersję prowadnicy TEM wynikającą ze strat, gdyż według przybliżenia współczynnik fazy liniowo zależy od częstotliwości. Uwzględnione zostaje tłumienie fali w trakcie propagacji i warto zapamiętać, że wzrasta ono liniowo z pulsacją.

Znając wyrażenie określające współczynnik fazy możemy wyznaczyć prędkości fazową i grupową fali TEM. Prędkość fazowa jest równa ilorazowi pulsacji przez współczynnik fazy, z kolei wartość prędkości grupowej określa pochodna pulsacji względem współczynnika fazy. Dla fali typu TEM w prowadnicy, dla której przyjmujemy liniowy wzrost współczynnika fazy z częstotliwością, prędkości fazowa i grupowa nie zależą od częstotliwości i mają tę samą wartość równą prędkości światła w dielektryku wypełniającym linię.

Własnością fali typu TEM jest prostopadłość wektorów natężeń pól elektrycznego i magnetycznego. Iloczyny wektorowe pokazane na slajdzie ujmują wzajemne powiązanie pól ze sobą i wersorem wskazującym kierunek rozchodzenia się fali. Równania te pozwalają wyznaczyć jedno z pól gdy znamy drugie. Zapisano w równaniach pola zależne tylko od współrzędnych x i y bo czynnik Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle exp(–\gamma z)} występował po obu stronach równości i uległ redukcji. Współczynnikiem proporcjonalności między natężeniem pola elektrycznego i natężeniem pola magnetycznego fali typu TEM jest impedancja właściwa dielektryka – tak również jest dla fali płaskiej.

Impedancja właściwa stratnego dielektryka jest wielkością zespoloną, której moduł i argument zależą, poza parametrami ośrodka, od częstotliwości. Dla impedancji właściwej dielektryka małostratnego stosuje się przybliżone zależności określające jej moduł i argument. Widzimy, że moduł impedancji wyraża się w przybliżeniu taką samą zależnością jak dla dielektryka bezstratnego i nie zależy od konduktywności ośrodka oraz częstotliwości fali. Argument impedancji, który jest równocześnie przesunięciem fazy między natężeniami pól elektrycznego i magnetycznego, jest równy połowie kąta stratności.

Przypomnijmy, że jednym z parametrów charakteryzujących falę elektromagnetyczną jest impedancja falowa, którą definiujemy jako stosunek wartości wzajemnie prostopadłych składowych wektorów natężeń pól elektrycznego i magnetycznego. Dodatkowo składowe te muszą być prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Ten ostatni warunek jest a priori spełniony dla fali typu TEM.

Zauważmy, że we wzorze wyrażającym impedancję falową znak minus występuje tylko przed ilorazem składowych $E_{y}$ i $H_{y}$ . Zasadność istnienia przeciwnych znaków przed ilorazami odpowiednich składowych pól można wyjaśnić korzystając z podanych związków między polami. Przyjmując, że fala TEM rozchodzi się w kierunku +0z i zapisując wektor natężenia pola elektrycznego fali TEM jako ${\vec{E}}_{T} = {\vec{i}}_{x} E_{x} + {\vec{i}}_{y} E_{y}$ otrzymamy to wektor natężenia pola magnetycznego w formie ${\vec{H}}_{T} = {\vec{i}}_{y} H_{y} + {\vec{i}}_{y} H_{y} = - {\vec{i}}_{x} \frac{E_{y}}{Z} + {\vec{i}}_{y} \frac{E_{x}}{Z}$ .

Z powyższych postaci pól widać, że należy umieścić znak minus w definicji impedancji falowej.

Dla fali typu TEM, tak jak dla fali płaskiej, impedancja falowa równa jest impedancji właściwej ośrodka.

Pytania sprawdzające

(jeśli potrafisz na nie odpowiedzieć, to znaczy, że opanowałeś/aś materiał wykładu)

Wymień i scharakteryzuj najważniejsze parametry prowadnicy falowej.
Przypomnij sobie jakie mody mogą rozchodzić się w falowodach i scharakteryzuj je.
Co to jest dyspersja, w jakich warunkach i dlaczego dyspersja utrudnia transmisję sygnału.
Przeanalizuj przyczyny powstawania strat przy transmisji mocy prowadnicami falowymi.
Na czym polega efekt naskórkowości?
Opisz kolejno prowadnice typu TEM.
Narysuj konfigurację pól E i H dla modu podstawowego i naszkicuj kierunki przepływu prądów w ściankach falowodu prostokątnego.
Dlaczego nie stosujemy falowodów prostokątnych, dla których stosunek a/b=1?
W jakim pasmie częstotliwości może pracować falowód prostokątny?
W jakim pasmie może pracować falowód cylindryczny?
Jak uzasadnisz fakt, że obwodem zastępczym odcinka falowodu prostokątnego jest odcinek linii dwuprzewodowej?
Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości prowadnica mikropaskowa?
Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości linia koplanarna?
Jakie są obszary zastosowań linii współosiowej, linii mikropaskowej i falowodu prostokątnego? Aby to uzasadnić porównaj parametry wymienionych typów prowadnic.
Wymień argumenty przemawiające za rozwojem technologii i konstrukcji Mikrofalowych Monolitycznych Układów Scalonych na krzemie i arsenku galu.

Słownik

Częstotliwość graniczna - częstotliwość powyżej której może się propagować fala w falowodzie. Poniżej tej częstotliwości fala jest silnie tłumiona.

Zestawienie typów fal:

Fala typu TEM - wektory pola E i H leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji.
Fala typu TE (zwana też H) - pole E posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole H posiada składowe w kierunku propagacji fali.
Fala typu TM (zwana też E) - pole H posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole E posiada składowe w kierunku propagacji fali.
Fala typu EH - zarówno pole E jak i pole H tej fali posiadają składowe w kierunku propagacji.

Linie TEM:

Linia współosiowa.
Linia dwuprzewodowa.
Symetryczna linia paskowa.

Linie Quasi-TEM:

Niesymetryczna linia paskowa:
Linia koplanarna (falowód koplanarny).
Linia koplanarna paskowa.

Linie falowodowe:

Falowód prostokątny. Mod podstawowy typu TE10 (H10).
Falowód kołowy (cylindryczny). Mod podstawowy typu TE11 (H11).

Mod (rodzaj) podstawowy dla danego falowodu - to mod fali o najmniejszej

Bibliografia

Bogdan Galwas. Miernictwo mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1985, Rozdział 1, 2 i 3.
Tadeusz Morawski, Wojciech Gwarek. Pola i fale elektromagnetyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1998, Rozdział 1 do 8.
Janusz Dobrowolski. Technika wielkich częstotliwości, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998 Rozdział 1 i 3.
Stanisław Rosłoniec. Liniowe obwody mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1999, Rozdział 2.

TTS Moduł 3

Spis treści

Wykład

Pytania sprawdzające

Słownik

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia