Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 2

Zawartość

Ćwiczymy dalej semantykę małych kroków. Uzupełnimy semantykę języka Tiny o semantykę operacyjną wyrażeń boolowskich i arytmetycznych. Następnie rozszerzymy nasz język o róznorodne konstrukcje iteracji. Na koniec zdefiniujemy operacje arytmetyczne liczb binarnych.

Rozszerzenia semantyki języka Tiny

Ćwiczenie 1

Semantyka języka Tiny z wykładu używała funkcji semantycznych $B, E : S t a t e \to S t a t e$ dla określenia znaczenia wyrażeń boolowskich i arytmetycznych. Zdefiniuj znaczenie wyrażeń za pomocą semantyki operacyjnej, w stylu małych kroków.

Rozwiązanie

Przypomnijmy składnię wyrażeń boolowskich i arytmetycznych:

$b : : = l | e_{1} \leq e_{2} | \neg b | b_{1} \land b_{2} | \dots$

$l : : = 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 | 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞$

$e : : = n | x | e_{1} + e_{2} | \dots$

$n : : = 0 | 1 | \dots$

$x : : = \dots (i d e n t y f i k a t o r y) \dots$

Niech $𝐁 𝐄 𝐱 𝐩$ oznacza zbiór wyrażeń boolowskich, $b \in 𝐁 𝐄 𝐱 𝐩$ . Chcemy, aby tranzycje dla wyrażeń były postaci:

$e, s ⟹ e^{'}, s$

i podobnie dla wyrażeń boolowskich:

$b, s ⟹ b^{'}, s$

gdzie $s \in 𝐒 𝐭 𝐚 𝐭 𝐞$ . Dodatkowo będziemy potrzebować również tranzycji postaci:

$e, s ⟹ n oraz b, s ⟹ l$ gdzie $n \in$ jest liczbą całkowitą, $n \in 𝐍 𝐮 𝐦$ , a $l \in 𝐁 𝐨 𝐨 𝐥 = {𝐭 𝐫 𝐮 𝐞, 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞}$ . Formalnie, zbiór konfiguracji dla semantyki całego języka Tiny to

$((𝐄 𝐱 𝐩 \cup 𝐁 𝐄 𝐱 𝐩 \cup 𝐒 𝐭 𝐦 𝐭) \times 𝐒 𝐭 𝐚 𝐭 𝐞) ⋃ 𝐍 𝐮 𝐦 \cup 𝐁 𝐨 𝐨 𝐥 \cup 𝐒 𝐭 𝐚 𝐭 𝐞$

a konfiguracje końcowe to $𝐒 𝐭 𝐚 𝐭 𝐞$ , aczkolwiek konfiguracje ze zbioru $𝐍 𝐮 𝐦 \cup 𝐁 𝐨 𝐨 𝐥$ pełnią podobną rolę dla wyrażeń arytmetycznych i boolowskich jako konfiguracje końcowe dla instrukcji. Przypomnijmy, że $𝐒 𝐭 𝐦 𝐭$ oznacza zbiór instrukcji, $I \in 𝐒 𝐭 𝐦 𝐭$ .

Zacznijmy od (chyba najprostszych) tranzycji dla stałych boolowskich i liczbowych:

$l, s ⟹ l n, s ⟹ n .$

Podobnie jak poprzednio, zakładamy tutaj dla wygody, że $𝐍 𝐮 𝐦 \subseteq 𝐄 𝐱 𝐩$ oraz $𝐁 𝐨 𝐨 𝐥 \subseteq 𝐁 𝐄 𝐱 𝐩$ . Pozwala nam to nie odróżniać stałych występujących w wyrażeniach, a zatem pojawiających się po lewej stonie tranzycji od wartości im odpowiadających, pojawiających się po prawej stronie.

Przejdźmy do spójników logicznych, powiedzmy $b_{1} \land b_{2}$ . Ponieważ opisujemy teraz pojedyncze (małe) kroki składające się na wykonanie programu, musimy podać w jakiej kolejności będą się obliczać $b_{1}$ i $b_{2}$ . Zacznijmy od strategii lewostronnej:

$\frac{b_{1}, s ⟹ b'_{1}, s}{b_{1} \land b_{2}, s ⟹ b'_{1} \land b_{2}, s} \frac{b_{2}, s ⟹ b'_{2}, s}{l_{1} \land b_{2}, s ⟹ l_{1} \land b_{2}, s} l_{1} \land l_{2}, s ⟹ l, s o ile l = l_{1} \land l_{2}$

Możemy zaniechać obliczania $b_{2}$ jeśli $b_{1}$ oblicza się do false. Oto odpowiednio zmodyfikowane reguły:

$\frac{b_{1}, s ⟹ b'_{1}, s}{b_{1} \land b_{2}, s ⟹ b'_{1} \land b_{2}, s} 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞 \land b_{2}, s ⟹ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 \land b_{2}, s ⟹ b_{2}, s .$

Analogicznie reguły prawostronne to:

$\frac{b_{2}, s ⟹ b'_{2}, s}{b_{1} \land b_{2}, s ⟹ b_{1} \land b'_{2}, s} b_{1} \land 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s ⟹ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s b_{1} \land 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞, s ⟹ b_{1}, s .$

Reguły równoległe otrzymujemy jako sumę reguł lewo- i prawostronnych (w sumie 6 reguł). Zauważmy, że obliczanie wyrażeń $b_{1}$ i $b_{2}$ odbywa się teraz w tzw. "przeplocie": Pojedynczy krok polega na wykonaniu jednego kroku obliczenia $b_{1}$ albo jednego kroku obliczenia $b_{2}$ . Zwróćmy też uwagę, że nasze tranzycje nie posiadają teraz własności determinizmu: wyrażenie $b_{1} \land b_{2}$ może wyewoluować w pojedyńczym kroku albo do $b'_{1} \land b_{2}$ albo do $b_{1} \land b'_{2}$ . Na szczęście końcowy wynik, do jakiego oblicza się wyrażenie, jest zawsze taki sam, niezależnie od przeplotu.

Oto reguły dla negacji:

$\neg 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞, s ⟹ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s \neg 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s ⟹ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞, s \frac{b, s ⟹ b^{'}, s}{\neg b, s ⟹ \neg b^{'}, s}$

Reguły dla $e_{1} \leq e_{2}$ są następujące:

$\frac{e_{1}, s ⟹ e'_{1}, s}{e_{1} \leq e_{2}, s ⟹ e'_{1} \leq e_{2}, s} \frac{e_{2}, s ⟹ e'_{2}, s}{e_{1} \leq e_{2}, s ⟹ e_{1} \leq e'_{2}, s}$

$n_{1} \leq n_{2}, s ⟹ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞, s o ile n_{1} \leq n_{2} n_{1} \leq n_{2}, s ⟹ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞, s o ile n_{1} > n_{2} .$

Reguły powyższe zależą od semantyki wyrażen arytmetycznych. Zauważmy, że ponownie pozostawiliśmy dowolność, jeśli chodzi o kolejność obliczania wyrażeń arytmetycznych $e_{1}$ i $e_{2}$ .

Jako pierwszą z instrukcji rozważmy przypisanie. Najpierw obliczamy wyrażenie po prawej stronie przypisania, a gdy wyrażenie to wyewoluuje do stałej (obliczy się), modyfikujemy stan:

$\frac{e, s ⟹ e^{'}, s}{x : = e, s ⟹ x : = e^{'}, s} x : = n, s ⟹ s [x \mapsto n]$

Rozważmy teraz instrukcję warunkową i instrukcję pętli. Najpierw obliczamy wartość dozoru:

$\frac{b, s ⟹ b^{'}, s}{𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟹ 𝐢 𝐟 b^{'} 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s} \frac{b, s ⟹ b^{'}, s}{𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟹ 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b^{'} 𝐝 𝐨 I, s}$

a gdy dozór jest już obliczony, podejmujemy decyzję. W przypadku instrukcji warunkowej reguły są oczywiste:

$𝐢 𝐟 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟹ I_{1}, s 𝐢 𝐟 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟹ I_{2}, s$

Gorzej jest w przypadku instrukcji pętli. Reguła mogłaby wyglądać tak:

$𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 𝐝 𝐨 I, s ⟹ I; 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 ? 𝐝 𝐨 I, s$

ale nie wiemy już, jaki był dozór pętli (widzimy tylko wynik obliczenia tego dozoru w stanie s, czyli $𝐭 𝐫 𝐮 𝐞$ ). Możemy odwołać się do tranzytywnego domknięcia relacji $⟹$ (czyli w zasadzie do semantyki dużych kroków):

$\frac{b, s ⟹^{*} 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞}{𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟹ I; 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s} \frac{b, s ⟹^{*} 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞}{𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟹ s}$

Istnieją inne możliwe rozwiązania w stylu małych kroków. Jedno z nich oparte jest na pomyśle, aby "rozwinąć" pętlę $𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞$ zanim obliczymy wartość dozoru $b$ . Jedyną reguła dla pętli $𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞$ byłaby wtedy reguła:

$𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟹ 𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 (I; 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I) 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 𝐬 𝐤 𝐢 𝐩, s .$

Dzięki temu obliczany warunek logiczny $b$ jest zawsze jednorazowy. Znalezienie innych rozwiązań, np. opartych na rozszerzeniu składni, pozostawiamy dociekliwemu Czytelnikowi.

Reguły dla operacji arytmetycznych również pozostawiamy do napisania Czytelnikowi.

Ćwiczenie 2

Rozszerzmy język Tiny o następujące dobrze znane konstrukcje iteracji:

$I : : = 𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b | 𝐟 𝐨 𝐫 x : = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐝 𝐨 I | 𝐝 𝐨 e 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I | 𝐝 𝐨 I 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b$

Napisz semantykę małych kroków dla powyższych konstrukcji.

Rozwiązanie

Instrukcja $𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭$

Zacznijmy od pętli $𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b$ . Przyjrzyjmy się dwóm podejściom, które zastosowaliśmy dla pętli $𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞$ w poprzednim zadaniu. Po pierwsze, rozwinięcie:

$𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s ⟹ I; 𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 (𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b) 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 𝐬 𝐤 𝐢 𝐩, s .$

Po drugie, spróbujmy odwołać się do $⟹^{*}$ dla dozoru pętli $b$ :

$\frac{I, s ⟹ I^{'}, s^{'}}{𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s ⟹ 𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I^{'} 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s^{'}}$

$\frac{I, s ⟹ s^{'} b, s ⟹^{*} 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞}{𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s ⟹ s^{'}} \frac{I, s ⟹ s^{'} b, s ⟹^{*} 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞}{𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s ⟹ 𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 ? 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 b, s^{'}}$

Okazuje się, że jest jeszcze gorzej niż w przypadku pętli $𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞$ : nie pamiętamy już, jaka była instrukcja wewnętrzna naszej pętli! Czyli takie podejście jest teraz nieskuteczne.

Instrukcja $𝐝 𝐨 e 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I$

Pętla $𝐝 𝐨 e 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I$ , w stanie $s$ , oznacza wykonanie instrukcji $I$ $n$ razy, gdzie $n$ to wartość, do której oblicza się $e$ w stanie $s$ . Czyli najpierw obliczmy $e$ przy pomocy reguły:

$\frac{e, s ⟹ e^{'}, s}{𝐝 𝐨 e 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s ⟹ D e^{'} 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s}$

która doprowadza nas do konfiguracji:

$𝐝 𝐨 n 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s .$

Teraz jest już łatwo:

$𝐝 𝐨 n 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s ⟹ I; 𝐝 𝐨 n - 1 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s o ile n > 0$

$𝐝 𝐨 n 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I, s ⟹ s o ile n = 0 .$

Instrukcja $𝐟 𝐨 𝐫$

W przypadku pętli $𝐟 𝐨 𝐫$ przyjmijmy, że wartości wyrażeń $e_{1}$ i $e_{2}$ obliczane są przed pierwszą iteracją pętli. Dodatkowo ustalmy, że np. $e_{1}$ będzie obliczone jako pierwsze. Następnie podstawiamy wartość $e_{1}$ na zmienną $x$ . Czyli:

$\frac{e_{1}, s ⟹ e'_{1}, s}{𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐝 𝐨 I, s ⟹ 𝐟 𝐨 𝐫 x = e'_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐝 𝐨 I, s}$

$\frac{e_{2}, s ⟹ e'_{2}, s}{𝐟 𝐨 𝐫 x = n 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐝 𝐨 I, s ⟹ 𝐟 𝐨 𝐫 x = n 𝐭 𝐨 e'_{2} 𝐝 𝐨 I, s}$

Zatem zakres zmiennej $x$ mamy już obliczony, tzn. jesteśmy w konfiguracji

$𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s .$

Dalsze reguły mogą być podobne do reguł dla pętli $𝐝 𝐨 n 𝐭 𝐢 𝐦 𝐞 𝐬 I$ :

$𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s ⟹ I; 𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} + 1 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s [x \mapsto n_{1}] o ile n_{1} \leq n_{2}$

$𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s ⟹ s o ile n_{1} > n_{2}$

Zauważmy, wartość zmiennej $x$ po zakończeniu pętli wynosi albo $n_{2}$ , albo pozostaje niezmieniona, o ile nie była ona zmieniana wewnątrz instrukcji $I$ . Ponieważ nie zostało wyspecyfikowane, jaka powinna być wartość tej zmiennej, możemy taką semantykę uznać za poprawną.

Pytanie: oto inna wersja jednej z powyższych reguł: $𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s ⟹ I; 𝐟 𝐨 𝐫 x = n_{1} + 1 𝐭 𝐨 n_{2} 𝐝 𝐨 I, s [x \mapsto s (x) + 1] o ile s (x) \leq n_{2} .$ Czy semantyka jest taka sama? (Rozważ sytuację, gdy zmienna $x$ jest zmieniana przez instrukcję $I$ .)

Pytanie: a gdybyśmy jednak zażądali przywrócenia na koniec wartości zmiennej $x$ sprzed pętli? Jak należałoby zmienić nasze reguły?

Semantykę dla $𝐝 𝐨 I 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b$ pozostawiamy Czytelnikowi jako proste ćwiczenie. Oczywiście minimalistyczne rozwiązanie to

$𝐝 𝐨 I 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b, s ⟹ 𝐫 𝐞 𝐩 𝐞 𝐚 𝐭 I 𝐮 𝐧 𝐭 𝐢 𝐥 \neg b, s .$

Kalkulator binarny

Ćwiczenie 3

Rozważmy następujący język wyrażeń (liczby binarne z dodawaniem):

$e : : = ϵ | e 0 | e 1 | e_{1} + e_{2}$

$ϵ$ oznacza słowo puste, czyli np. $ϵ 1011$ oznacza binarną liczbę 1011. Napisz semantykę operacyjną obliczającą wartość wyrażeń.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Ćwiczenie 4

Rozszerzmy składnię o jeden symbol $p$ oznaczający "przepełnienie":

$e : : = ϵ | p | e 0 | e 1 | e_{1} + e_{2} .$

Na przykład $p 101$ oznacza tę samą liczbę, co $ϵ 101$ , ale z dodatkową informacją, że podczas jej obliczania nastąpiło "przepełnienie". Rozumiemy przez to sytuację, gdy wynik ma więcej cyfr niż każdy z argumentów. Cyfry zero z lewej strony (najbardziej znaczące) również uważamy za pełnoprawne cyfry, nie należy ich usuwać ani dodawać nowych.

Napisz semantykę operacyjną obliczającą wartość wyrażenia wraz z informacja o ewentualnym przepełnieniu. Wynik powinien byc poprawny przynajmniej dla wyrażeń $e$ w składni ograniczonej:

$e : : = b | e_{1} + e_{2}$

$b : : = ϵ | b 0 | b 1 .$

reprezentujących sumę liczb binarnych.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Zadania domowe

Ćwiczenie 1

Podaj przykład wyrażenia boolowskiego, które nie policzy się ani przy użyciu strategii lewo-, ani prawostronnej, a policzy się przy strategii równoległej.

Ćwiczenie 2

Zmodyfikuj semantykę wyrażeń następująco: dla każdego podwyrażenia niedeterministycznie wybierana jest strategia lewo- albo prawostronna, ale niedozwolony jest "przeplot".

Ćwiczenie 3

Rozważ inną semantykę pętli $𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐝 𝐨 I$ , w której wyrażenie $e_{2}$ jest obliczane na nowo przed każdą iteracją pętli.

Ćwiczenie 4

Dodaj do wyrażeń binarnych operację odejmowania.

Ćwiczenie 5

Zaproponuj semantykę przypisania równoległego w języku TINY:

$x_{1} : = e_{1} | | \dots | | x_{n} : = e_{n}$

polegającego na obliczeniu najpierw wartości wyrażeń $e_{1}, \dots, e_{n}$ , a następnie na podstawieniu tych wartości na zmienne $x_{1}, \dots, x_{n}$ .

Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 2

Spis treści

Zawartość

Rozszerzenia semantyki języka Tiny

Kalkulator binarny

Zadania domowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia