Test GR4

111111111111111111111111111111111111111111111111

Test sprawdzający

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie

dwupunktowym

$(0,1,p)$

:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{n+1}{n}\overline{X}$ oraz $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.$

Wówczas:

    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- asymptotycznie nieobciążonym. {T}
    $S$ nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. {N}
    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- obciążonym. {N}
    $T$ jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. {N}

Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru $\alpha$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $(0,\alpha )$:

$T(X_1,\dots ,X_n)=(n+1)\min \{X_1,\dots ,X_n\}.$

    $T$ jest obciążony. {N}
    $T$ jest asymptotycznie nieobciążony. {T}
    $T$ jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. {N}
    $T$ jest nieobciążony. {T}

Przeprowadzono $n$ prób Bernoulliego $X_1,\dots ,X_n$ , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru $p$?

    Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". {N}
    $\frac{k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {T}
    $\frac{n-k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {N}
    $\sum \frac{X_i}{n}$. {N}

Jeżeli estymator $S(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem zgodnym parametru $\theta$, to:

    $S(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{s}{⟶}\theta$ (symbol
       $\stackrel{s}{⟶}$ został wprowadzony w uwadze Uzupelnic usz|). {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S(X_1,\dots ,X_n)}{n}=\theta \}\right)=1$. {N}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=\theta \}\right)=1$. {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=0\}\right)=1$. {N}

Próbka prosta:

$0,2,1,2,5,0,3,4,4,2$

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda >0$. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru $\lambda$?

    $3.0$. {N}
    $2.3$. {T}
    $3.1$. {N}
    $2.4$. {N}

Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

$2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. {N}
    Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". {T}
    Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
   wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. {N}
    Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to  prawdopodobieństwo
   otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1\%. {T}

121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Test sprawdzający

Rozważmy funkcję $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$, określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

    nie istnieje wartość największa funkcji $f$. {N}
    funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.  {T}
    wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. {N}
    wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. {T}

Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x),$

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

    $S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
   wartości oczekiwanej. {T}
    $\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. {T}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n+1}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

Wiek || $10$ || $30$ || $80$

Liczba chorych || $1$ || $5$ || $9$

.

\endcenter Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

    $\theta >\frac{1}{80}$. {N}
    $\theta =0.01$. {N}
    $\theta \in (0.01,0.0125)$. {N}
    żadne z powyższych. {T}

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

    $\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $\frac{n+1}{n}\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $2\overline{X}$. {N}
    $\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {T}

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    $\hat{p}<0.5$. {T}
    $\hat{p}<0.4$. {N}
    $\hat{p}=0.4$. {T}
    $\hat{p}>\frac{2}{5}$. {N}

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

    $\hat{m}=2.9$. {N}
    $\hat{\lambda }=\frac{10}{29}$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. {N}
    $\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {N}
    $\hat{\lambda }\approx 0.35$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {T}

131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

Test sprawdzający

Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $(a,b)$ będzie $95\mathrm{\%}$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

    $b-a\in (0.1,0.11)$. {T}
    $a\approx -0.1$. {N}
    $a\approx -0.0143$, $b=0.1$. {N}
    $|a-b|\le 0.1$.  {N}

Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $0.01^{\circ }$C?

    2 670. {T}
    3 000. {T}
    2 000. {N}
    2 652. {N}

Do weryfikacji pewnej hipotezy ${\mathrm{H}}_0$ użyto statystyki testowej $U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości ${\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}$, jest rozkładem Studenta o $10$ stopniach swobody, otrzymując $U\approx 1.812$ oraz wartość-$p$ w przybliżeniu równą $0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $K$, którego użyto w tym teście?

    $K=[-a,a]$. {N}
    $K=(-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })$. {N}
    $K=[a,\mathrm{\infty })$. {T}
    $K=(-\mathrm{\infty },a]$. {N}

Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $H_0:\mu =124$, przy alternatywie $H_1:\mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Wynik testu sugerował odrzucenie $H_0$ na korzyść $H_1$. {T}
    Nie byłoby podstaw do odrzucenia $H_0$, gdyby $\alpha$ było równe $\frac{1}{10000000}$. {T}
    Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy $H_0$. {N}
    Wartość-$p$ wyniosła w tym teście około $0,00000029$. {N}

Testujemy pewną hipotezę $H_0$, wykorzystując statystykę $T$ oraz zbiór krytyczny $K$. Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

    $P(T\notin K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $P(T\notin K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}
    $P(T\in K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $1-P(T\in K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}

Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

A	B	C	D	E
35 || 45 || 40 || 50 || 30

\endcenter Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą $6.5$. {N}
    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $K=(a,\mathrm{\infty })$, gdzie $a\approx 0.297$. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. {T}

14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Test sprawdzający

Na bazie próbki prostej:

$-0.75,-0.03,-0.72,-0.6,$

pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module metod wyznaczono $4$-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:

$f(x)=0,25{\mathrm{I}}_{[0,1]}+0,75{\mathrm{I}}_{(1,2]}.$

Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.

    $1.96,1,-0.29,-0.13$. {T}
    $1.67,0.12,-0.29,-0.13$. {N}
    $1,0.12,1.63,1.47$. {N}
    $1.47,1.63,0.12,1.67$.  {T}

W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:

$X_{n+1}=a{X}_n+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),$

z pewnością nie da zadowalających rezultatów?

    $a=b=p$. {T}
    $b=0$, $a\ne p$. {N}
    $b=0$, $X_0=p^2$ . {T}
    $a\ne b$, $X_0>0$. {N}

Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu $N(m,\sigma )$ ($m$ i $\sigma$ -- znane), można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(a,b)$ ($a$ i $b$ -- dowolne)?

    Tak. {T}
    Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $a=0$ i $b=1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =b=1$ i $a=0$. {N}

Które z poniższych funkcji są jądrami?

    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x|,& |x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x-1|,& 0<x<2\\ 0,& x\le 0\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">lub</mrow>}x\ge 2\end{array}$. {N}
    $K(x)=\frac{1}{2}\cos x\cdot I_{[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}(x)$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2},& |x|<2\\ 0,& |x|\ge 2\end{array}$. {N}

Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie 10 replikacji próbki:

$4,1,1,$

może być:

    $0.535$. {N}
    $2.275$. {T}
    $4.12$. {N}
    $2.271$. {N}

Dla próbki prostej:

$1,3,2,3,4,2,5,$

otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości $\hat{f}$ taki, że $\hat{f}(2)=\frac{1}{4}$. Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?

    $\frac{6}{7}$. {N}
    $\frac{8}{7}$. {N}
    $2$. {T}
    $0.1$. {N}