Test GR4

131313131313131313131313131313131313131313131313

Równania różniczkowe zwyczajne. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Jeśli funkcja $h$ jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

 

 (1)

ciągłą

   

 (2)

różniczkowalną

   

 (3)

klasy $C^{\mathrm{\infty }}$.

tak, tak, nie

Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

 (1) Na początku było 73,6 g substancji.
   

 (2) Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od
 początku procesu.
   

 (3) Jeśli w chwili $t_0$ mamy $4$ g tej substancji, to po 4
 godzinach zostanie $1$ g.

tak, nie, tak

Funkcja $g(t)=-\ln (1-e^t)$ jest rozwiązaniem

 

 (1) równania różniczkowego $x^{\prime }=e^{t+x}$
   

 (2)

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases }

   

 (3) problemu początkowego Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases } .

tak, tak, nie

Problem początkowy Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases }

ma

dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

 

 (1)

$t_0=3,x_0=2$

   

 (2)

$t_0=2,x_0=3$

   

 (3)

$t_0=3,x_0=3$.

tak, nie, nie

Jednym z rozwiązań równania $t^2{x}^{\prime }=-x$ jest funkcja

 

 (1)

$f(t)=-\exp \left(\frac{1}{t}\right)+2$

   

 (2)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\ 3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases }

   

 (3)

$h(t)=\exp \left(\frac{1}{t}\right)$.

nie, nie, nie

Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases }

otrzymujemy
 

 (1)

$x_2(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3$

   

 (2)

$x_4(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{24}{t}^4-\frac{1}{120}{t}^5$

   

 (3)

$x(t)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-t{)}^n}{n!}$.

tak, tak, tak

Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases }

w przedziale

$[0;2]$ i biorąc $h=0,5$ otrzymujemy

 

 (1)

łamaną o węzłach $(0,0),(\frac{1}{2},0),(1,\frac{1}{8}),(\frac{3}{2},\frac{11}{16}),(2,\frac{69}{32})$

   

 (2)

wartość łamanej Eulera w punkcie $\frac{3}{2}$ równą $\tilde{x}\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{16}$

   

 (3)

wartość łamanej Eulera w punkcie $2$ równą

$\tilde{x}\left(2\right)=\frac{47}{32}$.
   

tak, tak, nie

Jeśli funkcja $x$ jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases } , to

 

 (1)

$x^{\prime }(0)=1$

   

 (2)

$x^{″}(0)=1$

   

 (3)

$x^{‴}(0)=2$.

nie, tak, tak

Rozważamy równanie $x^{\prime }=\frac{x}{t}$.

 

 (1) Izoklinami tego równania są wszystkie proste
 przechodzące przez środek układu współrzędnych.
   

 (2)

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=3t$ są do niej równoległe.

   

 (3)

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=0$ są do niej prostopadłe.

nie, tak, nie

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, tak, nie

\bfZadanie 2. tak, nie, tak

\bfZadanie 3. tak, tak, nie

\bfZadanie 4. tak, nie, nie

\bfZadanie 5. nie, nie, nie

\bfZadanie 6. tak, tak, tak

\bfZadanie 7. tak, tak, nie

\bfZadanie 8. nie, tak, tak

\bfZadanie 9. nie, tak, nie.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515

Elementy rachunku wariacyjnego. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Przestrzeń $C^1[0,1]$ z normą

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}.$

 (1) jest przestrzenią metryczną zupełną
   

 (2) jest przestrzenią Hilberta
   

 (3) ma wymiar skończony.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $y$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=0$
   

 (2) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą.
   

 (3) $L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.

W przestrzeni $C^1[0,1]$ określono

normę

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}.$

Norma  funkcji $f(t)=-\exp (-t)$ w tej przestrzeni

wynosi

 

 (1) $0$
   

 (2) $2$
   

 (3) $2e^{-1}$.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $t$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą.
   

 (2) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.
   

 (3) $L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.

Równanie $t\mapsto (x(t),y(t))$, gdzie $x(t)=r(t-\sin t)$, $y(t)=r(1-\cos t)$ przedstawia

 

 (1) okrąg
   

 (2) elipsę
   

 (3) cykloidę.

Funkcjonał $J[f]=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}dt$ wyraża

 

 (1) objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu
 funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych
   

 (2) pole powierzchni  obrotowej powstałej z obrotu wykresu
 funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych
   

 (3) długość krzywej stanowiącej wykres funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $x$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=0$
   

 (2) $\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=C,$ gdzie
 $C$ jest dowolną stałą
   

 (3) $\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=C,$ gdzie
 $C$ jest dowolną stałą.
   

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(0)=1$, $f(1)=2$, jest

 

 (1) łuk okręgu o środku $(1,1)$ i promieniu $1$
   

 (2) odcinek o końcach $(0,1)$, $(1,2)$
   

 (3) odcinek prostej o równaniu $f(t)=t+1$.

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(-\pi )=0$, $f(\pi )=0$, jest funkcja

 

 (1)  $f(t)=t^2-{\pi }^2$
   

 (2)  $f(t)=1+\cos t$
   

 (3)   $f(t)=0.$

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, nie, nie.

\bfZadanie 2. tak, nie, nie.

\bfZadanie 3. nie, tak, nie.

\bfZadanie 4. nie, nie, nie.

\bfZadanie 5. nie, nie, tak.

\bfZadanie 6. tak, nie, nie.

\bfZadanie 7. nie, nie, tak.

\bfZadanie 8. nie, tak, tak.

\bfZadanie 9. nie, nie, tak.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.