MO Moduł 4

---

---

---

---

---

---

---

---

Z rozważań geometrycznych wiadomo, że iloczyn skalarny dwu wektorów jest ujemny wtedy gdy kąt miedzy nimi jest rozwarty. Tak też jest na rysunku dla wybranego wektora $d$.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Uwaga: intuicyjnie wydaje się, że tezy powinny być zamienione miejscami! Konieczność sformułowania jak w lemacie wynika z faktu, że dla macierzy zerowej 0 mamy dla każdego $x:x^{\mathrm{T}}\mathbf{𝟎}{x}^{\mathrm{T}}=0\ge 0$, zatem macierz ta jest dodatnio (i ujemnie też!) półokreślona.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Zatem, dla funkcji dostatecznie gładkich możemy sobie poradzić z zagadnieniem punktu szóstego procedury (teraz powinno być jasne, dlaczego jest tam wstawiona uwaga „gdy wiemy, że nasze zadanie ma rozwiązanie”).

---

---

---

---

---

Piękny rezultat teoretyczny, sprowadzający procedurę redukcji do układu równań wyłącznie do rachunków: liczenia pochodnych i rozwiązywania równań, czyli do takiego postępowania, które zastosowaliśmy z ochotą lecz błędnie w przykładzie. Trzeba tylko policzyć macierz Hessego by stwierdzić wypukłość funkcji celu i zastanowić się nad sposobem rozwiązania stosownych równań, ale odpadają zagadnienia związane z dowodem istnienia rozwiązania.

---

Napisaliśmy, w zasadzie, ponieważ opracowano procedury automatycznego różniczkowania (nie mylić z procedurami symbolicznego różniczkowania), które przetwarzają kod wyliczający funkcję wyboru na kod wyliczający jej pochodne. Zatem wymaganie znajomości wzoru nie jest już takie kategoryczne

---

Zauważmy, że jednym z plusów tej metody jest to, że idealnie nadaje się do, nazwijmy to tak, sprawdzania wiadomości i zdolności rachunkowych studentów.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Widać, że otoczenie, w którym aproksymację uznalibyśmy za dobrą nie jest duże i jego kształt jest zbliżony do elipsy o osiach nierównoległych do osi współrzędnych kartezjańskich.

---

---

---

Korzystać z aproksymacji – nie korzystać ? Tego rodzaju dylemat jest typowy dla sytuacji, w której znajduje się twórca nowych rozwiązań konstrukcyjnych – magister, a więc mistrz – a także twórca nowych teorii naukowych. Za podejściem optymisty opowiedział się Albert Einstein, który stwierdził, że "God is subtle but he is not malicious". Co w naszym przypadku przekłada się na przeświadczenie, że nieliniowe zadania optymalizacji związane z rozwiązywaniem zagadnień praktycznych, są takie, że zręczne wykorzystanie możliwości jakie daje posługiwanie się aproksymacją (APR) pozwoli opracować skuteczne algorytmy ich rozwiązywania. Współcześni optymiści mają sławnego poprzednika – Izaaka Newtona, który wymyślił metodę stycznych rozwiązywania równań nieliniowych opartą o jeszcze prostszą aproksymację, bo ograniczoną tylko do składnika afinicznego.

---

---

Intuicyjnie – dodanie członu afinicznego “przesuwa” formę kwadratową nie zmieniając jej kształtu, tzn. nie zmienia jej podstawowych własności

---

---

---

---

---

Wektory własne nie są wyznaczone jednoznacznie, i nie jest to przypadek. W terminologii używanej w teorii metod optymalizacji wektory własne wyznaczają tylko kierunki (proste).

---

---

---

---

---

---

---

---

Niestety, możemy narysować tylko funkcję dwu zmiennych (jak często mówimy, na płaszczyźnie). Przedstawmy zatem wykresy trójwymiarowe i poziomicowe dla pierwszych trzech przypadków, ponieważ funkcje określone ujemnie to “odwrócone w dół” funkcje określone dodatnio.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Widać, ze funkcja Rosenbrocka jest dobrze dobrana jako “tor badania sprawności” dla różnych algorytmów. Tylko w centralnej części (tam gdzie nie ma minimum) jej uwarunkowanie jest mniejsze od pięciu, a w okolicy minimum jest większe od 500.

---