MO Moduł 4
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Z rozważań geometrycznych wiadomo, że iloczyn skalarny dwu wektorów jest ujemny wtedy gdy kąt miedzy nimi jest rozwarty. Tak też jest na rysunku dla wybranego wektora d. |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Uwaga: intuicyjnie wydaje się, że tezy powinny być zamienione miejscami! Konieczność sformułowania jak w lemacie wynika z faktu, że dla macierzy zerowej 0 mamy dla każdego , zatem macierz ta jest dodatnio (i ujemnie też!) półokreślona. |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Zatem, dla funkcji dostatecznie gładkich możemy sobie poradzić z zagadnieniem punktu szóstego procedury (teraz powinno być jasne, dlaczego jest tam wstawiona uwaga „gdy wiemy, że nasze zadanie ma rozwiązanie”). |
 |
 |
 |
 |
 |
Piękny rezultat teoretyczny, sprowadzający procedurę redukcji do układu równań wyłącznie do rachunków: liczenia pochodnych i rozwiązywania równań, czyli do takiego postępowania, które zastosowaliśmy z ochotą lecz błędnie w przykładzie. Trzeba tylko policzyć macierz Hessego by stwierdzić wypukłość funkcji celu i zastanowić się nad sposobem rozwiązania stosownych równań, ale odpadają zagadnienia związane z dowodem istnienia rozwiązania. |
 |
Napisaliśmy, w zasadzie, ponieważ opracowano procedury automatycznego różniczkowania (nie mylić z procedurami symbolicznego różniczkowania), które przetwarzają kod wyliczający funkcję wyboru na kod wyliczający jej pochodne. Zatem wymaganie znajomości wzoru nie jest już takie kategoryczne |
 |
Zauważmy, że jednym z plusów tej metody jest to, że idealnie nadaje się do, nazwijmy to tak, sprawdzania wiadomości i zdolności rachunkowych studentów. |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Widać, że otoczenie, w którym aproksymację uznalibyśmy za dobrą nie jest duże i jego kształt jest zbliżony do elipsy o osiach nierównoległych do osi współrzędnych kartezjańskich. |
 |
 |
 |
Korzystać z aproksymacji – nie korzystać ?
Tego rodzaju dylemat jest typowy dla sytuacji, w której znajduje się twórca no-wych rozwiązań konstrukcyjnych – magister, a więc mistrz – a także twórca nowych teorii naukowych. Za podejściem optymisty opowiedział się Albert Einstein, który stwierdził, że “God is subtle but he is not malicious”. Co w naszym przypadku przekłada się na przeświadczenie, że nieliniowe zadania optymalizacji związane z rozwiązywaniem zagadnień praktycznych, są takie, że zręczne wykorzystanie możliwości jakie daje posługiwanie się aproksymacją (APR) pozwoli opracować skuteczne algorytmy ich rozwiązywania. Współcześni optymiści mają sławnego poprzednika – Izaaka Newtona, który wymyślił metodę stycznych rozwiązywania równań nieliniowych opartą o jeszcze prostszą aproksymację, bo ograniczoną tylko do składnika afinicznego. |
 |
 |
Intuicyjnie – dodanie członu afinicznego “przesuwa” formę kwadratową nie zmieniając jej kształtu, tzn. nie zmienia jej podstawowych własności |
 |
 |
 |
 |
 |
Wektory własne nie są wyznaczone jednoznacznie, i nie jest to przypadek. W terminologii używanej w teorii metod optymalizacji wektory własne wyznaczają tylko kierunki (proste). |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Niestety, możemy narysować tylko funkcję dwu zmiennych (jak często mówimy, na płaszczyźnie). Przedstawmy zatem wykresy trójwymiarowe i poziomicowe dla pierwszych trzech przypadków, ponieważ funkcje określone ujemnie to “odwrócone w dół” funkcje określone dodatnio. |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Widać, ze funkcja Rosenbrocka jest dobrze dobrana jako “tor badania sprawności” dla różnych algorytmów. Tylko w centralnej części (tam gdzie nie ma minimum) jej uwarunkowanie jest mniejsze od pięciu, a w okolicy minimum jest większe od 500. |
