Test GR4

Komoda ma $10$ szuflad. Pierwsza jest w stanie pomieścić $1$ koszulę, druga $2$ i w ogólności $i$ -ta szuflada jest w stanie pomieścić $i$ koszul. Do przechowania jest $46$ koszul. Wtedy: <wrongoption>nie da się pomieścić wszystkich koszul w komodzie} <wrongoption>wszystkie szuflady będą w pełni zapełnione} <rightoption>co najmniej jedna z szuflad będzie w pełni zapełniona} <rightoption>któraś szuflada może być pusta}

Graf o $524288$ wierzchołkach zawiera jako podgraf indukowany: <rightoption>klikę ${{𝒦}}_9$ lub antyklikę ${{𝒜}}_9$ } <rightoption>klikę ${{𝒦}}_{10}$ lub antyklikę ${{𝒜}}_{10}$ } <wrongoption>klikę ${{𝒦}}_{512}$ lub antyklikę ${{𝒜}}_{512}$ } <wrongoption>klikę ${{𝒦}}_{1024}$ lub antyklikę ${{𝒜}}_{1024}$ }

Jeśli graf $\mathbf{𝐆}$ ma nieskończenie wiele wierzchołków, to:} <rightoption>istnieje liczba naturalna $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ taka, że graf $\mathbf{𝐆}$ zawiera jako podgraf indukowany klikę ${{𝒦}}_n$ lub antyklikę ${{𝒜}}_n$ } <rightoption>dla dowolnej liczby naturalnej $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ graf $\mathbf{𝐆}$ zawiera jako podgraf indukowany klikę ${{𝒦}}_n$ lub antyklikę ${{𝒜}}_n$ } <wrongoption>dla dowolnej liczby naturalnej $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ graf $\mathbf{𝐆}$ zawiera jako podgraf indukowany klikę ${{𝒦}}_n$ oraz antyklikę ${{𝒜}}_n$ } <rightoption>graf $\mathbf{𝐆}$ zawiera jako podgraf indukowany przeliczalną klikę ${{𝒦}}_{\mathbb{\mathbb{N}}}$ lub przeliczalną antyklikę ${{𝒜}}_{\mathbb{\mathbb{N}}}$ }

Dla dowolnych $n,m,p\in \mathbb{\mathbb{N}}$ istnieje liczba $q$ taka, że:} <rightoption>dla każdego zbioru $X$ o co najmniej $q$ elementach i dowolnego rozbicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m } , istnieje $p$ -elementowy podzbiór $Y$ zbioru $X$ taki, że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i } przy pewnym $i=1,\dots ,t$ } <rightoption>dla każdego zbioru $X$ o co najmniej $n$ elementach i dowolnego rozbicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_t } , istnieje $q$ -elementowy podzbiór $Y$ zbioru $X$ taki, że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i } przy pewnym $i=1,\dots ,t$ } <wrongoption>dla każdego zbioru $X$ o co najmniej $q$ elementach i dowolnego rozbicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m } , istnieje $\lceil q/m\rceil$ -elementowy podzbiór $Y$ zbioru $X$ taki, że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_p } } <wrongoption>Żadna z pozostałych własności nie musi zachodzić}

Liczba Ramseya Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}\!\left( 3,4 \right) } to:} <wrongoption> $6$ } <rightoption> $9$ } <wrongoption> $14$ } <rightoption>co najwyżej $10$ }

Liczba Ramseya Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right) } spełnia:} <rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right) } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right) } }

Liczby Ramseya Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right) } spełniają:} <rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle n2^{n/2}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle n2^{2n}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) } } <rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n-2 \choose n-1 } } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n \choose n } } }

444444444444444444444444444444444444444444444444

Zaznacz struktury będące grupami: <rightoption> $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+,0)$ <wrongoption> $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4^{*},\cdot ,1)$ <rightoption> $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_5,+,0)$ <rightoption> $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_5^{*},\cdot ,1)$

Dla dowolnych elementów $x,y$ pewnej grupy element $x^{-1}y{y}^{-1}yx{y}^{-1}$ można tez zapisać jako: <rightoption> $x^{-1}yx{y}^{-1}$ <wrongoption> $1$ <rightoption> $x^{-1}zz{z}^{-1}{z}^{-1}yx{y}^{-1}$, gdzie $z$ jest dowolnym elementem grupy <wrongoption> $x^{-1}{y}^{-1}x{y}^{-1}$

W dowolnej grupie skończonej, jeśli $x^{15}=1$ i $x^{25}=1$, to: <wrongoption> $x$ jest rzędu $5$ <rightoption> $x^5=1$ <rightoption> $x^{30}=1$ <rightoption> $x^{35}=1$

Grupa $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_{12},+,0)$ <rightoption> ma podgrupę $1$-elementową <rightoption> ma podgrupę $2$-elementową <rightoption> ma podgrupę $3$-elementową <rightoption> ma podgrupę $4$-elementową

Niech $H_0,H_1$ będą podgrupami grupy $\mathbf{𝐆}$. Wtedy: <rightoption> $H_0\cap H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$ <wrongoption> $H_0\cup H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$ <rightoption> $H_0\cap H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$, o ile $H_0\subseteq H_1$ <rightoption> $H_0\cup H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$, o ile $H_0\subseteq H_1$

Wskaż prawdziwe własności grup $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ dla $n>1$: <wrongoption> grupa $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest pierwsza <rightoption> każda grupa postaci $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ jest cykliczna <rightoption> jeśli grupa ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_m$ jest cykliczna, to $m$ i $n$ są względnie pierwsze <rightoption> grupa ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_m$ jest cykliczna o ile $m$ i $n$ są względnie pierwsze

Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n$ jest grupą addytywną $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$: <rightoption> ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ <rightoption> ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$ <wrongoption> ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_{33}$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{99}$ <wrongoption> ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$

Czy w dowolnej grupie postaci $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ elementów rzędu $7$ jest $0$ lub $6$? <rightoption> tak <rightoption> tak, jeśli dodatkowo $n$ jest wielokrotnkością $7$ <rightoption> tak, jeśli dodatkowo $n\perp 7$ <wrongoption> żadna z pozostałych

Dla podgrupy $\mathbf{𝐇}$ skończonej grupy $\mathbf{𝐆}$ zachodzi: <rightoption> $\left|gH\right|=\left|Hg\right|$, jeśli $g\in H$ <rightoption> $gH=Hg$, jeśli $g\in H$ <rightoption> $\left|gH\right|=\left|Hg\right|$, dla dowolnego $g\in G$ <wrongoption> $gH=Hg$, dla dowolnego $g\in G$

Jeśli element $x$ grupy $\mathbf{𝐆}$ ma rząd $n$, to $x^{3n}$ ma rząd: <rightoption> $1$ <wrongoption> $3$ <wrongoption> $n$ <wrongoption> żadne z pozostałych