Sztuczna inteligencja/SI Moduł 2/Składnia języka logiki

Składnia języka logiki

Obecnie przystąpimy do zdefiniowania składni języka logiki predykatów, w którym będą zapisywane formuły przetwarzane w procesie wnioskowania, Składnia określa reguły budowania poprawnych formuł, czyli takich, które mogą być przetwarzane przez system wnioskujący. Definiując składnię nie będziemy się zajmować znaczeniem poszczególnych symboli i konstrukcji języka, choć oczywiście znaczenie części z nich będzie dla nas oczywiste ze względu na powszechne doświadczenie z używaniem notacji logicznej np. do zapisu twierdzeń matematycznych.

Alfabet

Alfabet, czyli zbiór symboli języka logiki predykatów, obejmuje poniższe kategorie symboli. Dla każdej z nich podano oznaczenia, jakie będą dalej stosowane.

• Symbole stałych: oznaczane za pomocą liter Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a,b,c\dots \} ,.
• Symbole zmiennych: oznaczane za pomocą liter Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x,y,z\dots \} ,.
• Symbole funkcyjne: oznaczane za pomocą liter Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f,g,h\dots \} ,. każdy symbol funkcyjny ma ustaloną liczbę argumentów.
• Symbole predykatowe: oznaczane za pomocą liter Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P,Q,R,\dots \} ,; każdy symbol predykatowy ma ustaloną liczbę argumentów.
• Operatory logiczne: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \neg \} , (negacja), Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \land \} , (koniunkcja), Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lor \} , (alternatywa), Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rightarrow \} , (implikacja), Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \leftrightarrow \} , (równoważność).
• Kwantyfikatory: kwantyfikator ogólny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \} ,, kwantyfikator szczegółowy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists \} ,.
• Nawiasy: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ( \} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ) \} ,, w razie potrzeby także inne.

Będziemy czasem skrótowo mówić o symbolach stałych jako o stałych, o symbolach zmiennych jako o zmiennych, o symbolach funkcyjnych jako o funkcjach, o symbolach predykatowych jako o predykatach, trzeba jednak pamiętać, że - jak długo nie określimy ich znaczenia - są to wyłącznie symbole, czyli pewne napisy, z których konstruowane są bardziej złożone napisy (formuły) według opisanych dalej reguł.

Termy

Jak zobaczymy, formuły konstruowane są z symboli predykatowych stosowanych do argumentów. Poprawnej postaci argumenty dla symboli predykatowych nazywane są termami. Każda stała i zmienna jest termem. Ponadto, jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f \} , jest dowolnym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m \} ,-argumentowym symbolem funkcyjnym, a Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_1,t_2,\dots,t_m \} , są dowolnymi termami, to także Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(t_1,t_2,\dots,t_m) \} , jest termem. Jak widać, stosując dowolny symbol funkcyjny do argumentów będących termami uzyskujemy term.

Formuły atomowe

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P \} , oznacza dowolny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m \} ,-argumentowy symbol predykatowy, a Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_1,t_2,\dots,t_m \} , sa dowolnymi termami, to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P(t_1,t_2,\dots,t_m) \} , jest formułą atomową. Formułą atomową jest więc dowolne zastosowanie symbolu predykatowego do argumentów będących termami.

Formuły złożone

Formuły złożone są konstruowane z formuł atomowych przez zastosowanie operatorów logicznych, kwantyfikatorów i nawiasów, zgodnie z określonymi poniżej zasadami.

• Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha \} , jest formula, to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\alpha) \} , jest formułą.
• Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha \} , jest formula, to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \neg\alpha \} , jest formułą.
• Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha \} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta \} , są formułami, to:
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\land\beta \} , jest formułą,
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\lor\beta \} , jest formułą,
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\rightarrow\beta \} , jest formułą,
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\leftrightarrow\beta \} , jest formułą.

• Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha \} , jest formula i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x \} , jest symbolem zmiennej, to
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\forall x)\alpha \} , jest formułą,
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\exists x)\alpha \} , jest formułą.