CWGI Moduł 1

Rzutowanie w Grafice inżynierskiej Wykłady z przedmiotu "CAD w Grafice inżynierskiej " zawierają podstawowe wiadomości z odwzorowań elementów przestrzennych na płaszczyźnie rysunku, teorii zapisu konstrukcji technicznych oraz metod komputerowego wspomagania projektowania konstrukcji mechanicznych i elektromechanicznych. Grafika inżynierska, dla inżyniera ma niezwykle istotne znaczenie. Umożliwia dialog między twórcą konstrukcji technicznych a jej wykonawcą. Pozwala przekazać niezbędne informacje techniczne o produkcie konsumentowi. Realizowany w grafice inżynierskiej zapis konstrukcji można nazwać językiem inżynierów konstruktorów i technologów. W dobie rozwoju technik komputerowych i multimedialnych stosowanie użytkowych programów graficznych stanowi ważne uzupełnienie narzędzi projektanta.

---

Grafika inżynierska opiera się na prawach i ustaleniach nauki zwanej geometrią. Historycznie, geometria była zbiorem przepisów praktycznych, które dotyczyły wykonywania pomiarów fizycznych przedmiotów materialnych. W starożytności ok. 300 lat przed naszą erą ustalono dla niej znaczące miejsce w opracowaniach greckiego matematyka – Euklidesa. W dziele o nazwie Elementy autor nadał geometrii postać nauki abstrakcyjnej, gdzie przedmiot materialny zastąpiono pojęciem figury geometrycznej, będącej jego emanacją. Własności takiej figury dotyczyły głównie wielkości i kształtu przedmiotu, a więc opierały się na ustaleniu wzajemnych odległości należących do danego przedmiotu. Wprowadzono naukę o tzw. własnościach metrycznych, która charakteryzuje daną figurę oraz wszystkie figury do niej przystające. Przez figury definiowano zbiory punktów należących do pewnego stałego zbioru punktów zwanego przestrzenią, którą przypadku określenia odległości między punktami zbioru nazwano przestrzenią metryczną. Do najbardziej znanych przestrzeni metrycznych należą prosta euklidesowa $E_1$, płaszczyzna euklidesowa $E_2$ oraz przestrzeń trójwymiarowa $E_3$. Geometria euklidesowa zbudowana w oparciu o cztery podstawowe grupy aksjomatów (o przynależności, o uporządkowaniu, o porównaniu i ciągłości), uzupełnione o aksjomat zwany pewnikiem Euklidesa. W naszych rozważaniach będziemy zajmować się szczególnym przypadkiem geometrii zwanej geometrią wykreślną. Geometria wykreślna, której przedmiotem są metody odwzorowań obiektów przestrzennych na płaszczyźnie, jest teoretyczna podstawą sporządzania graficznych zapisów konstrukcji stosowanych w technice. Nauka o rzutowaniu jest przedmiotem niniejszego wykładu

---

Teoria aksjomatów, o którą oparta jest grafika inżynierska jest teorią abstrakcyjną, ściśle związaną z regułami znanymi w logice. Model tej teorii zbudowany z obiektów materialnych (np. punktów prostych i płaszczyzn) i oparty jest o jej założenia (aksjomaty). Geometria euklidesowa posiada jeden swój model, w którym pojęcia pierwotne, jak punkty, proste i płaszczyzny oraz występujące między nimi relacje, rozumiane są zgodnie z powszechną intuicją i nabytym doświadczeniem człowieka analizującego proces odwzorowań przestrzennych. W dalszych wykładach będziemy wykorzystywali rozważania w dwu lub trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej. Będziemy również wykorzystywali zdefiniowane w literaturze przedmiotowej elementy niewłaściwe rozumiejąc między innymi, że: wszystkie proste równoległe przecinają się w punkcie niewłaściwym, wszystkie płaszczyzny równoległe przecinają się wzdłuż krawędzi, będącej prostą niewłaściwą, płaszczyzna niewłaściwa jest zbiorem punktów niewłaściwych i prostych niewłaściwych, wszystkich punktów i płaszczyzn przestrzeni.

---

Operacja odwzorowań przestrzennych opiera się o proces rzutowania. Stosowane są dwa podstawowe rodzaje rzutów stosowanych w technice. Jest to rzutowanie środkowe i rzutowanie równoległe. Przyjmijmy w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej punkt właściwy $S$, zwany środkiem rzutu oraz płaszczyznę $\pi$, zwana rzutnią. Zespół $R(\pi ,S)$ nazywamy aparatem projekcyjnym (elementami) rzutowania środkowego. Komputerowy zapis konstrukcji realizowany jest przy pomocy programu graficznego z grupy CAD amerykańskiej firmy Autodesk. Trzecia część wykładu realizowana jest w oparciu o graficzny program komputerowy AutoCAD Pl. Do każdego wykładu przygotowano ćwiczenia w postaci zadań konstrukcyjnych, pozwalających na ugruntowanie prezentowanego materiału.

---

Rzut środkowy punktu $P$ otrzymano prowadząc promień rzutujący $p$, wychodzący ze środka rzutowania $S$ i przechodzący przez ten punkt, aż do przecięcia się z rzutnią $\pi$Punkt przebicia promienia rzutującego z rzutnią $(P^{\prime })$ wyznacza rzut środkowy tego punktu.

---

Podobnie można wyznaczyć rzuty środkowe innych punktów w przestrzeni, np. punktów $QiR$, prowadząc odpowiednie promienie rzutujące $qir$ do przecięcia się z płaszczyzną rzutni $\pi$. Jak widać na rysunku odwzorowanie tego typu nie jest jednoznaczne. Punktowi w przestrzeni odpowiada jeden i tylko jeden rzut punktu na rzutni $\pi$, lecz rzutowi punktu odpowiada nieskończenie wiele punktów leżących w przestrzeni na promieniu rzutującym. Oznacza to potrzebę wprowadzenia dalszych parametrów, które zapewniałyby tą jednoznaczność, co jest warunkiem koniecznym poprawnej identyfikacji obiektów przestrzennych.

---

---

W przypadku rzutu równoległego postępujemy podobnie. Jednak promienie rzutujące są równoległe do zadanego kierunku rzutowania k. Rozważając w geometrii zasady rzutowania równoległego często mamy do czynienia z elementami niewłaściwymi, które zdefiniujemy dla zrozumienia zapisów umownych stosowanych w rzutowaniu. W geometrii euklidesowej dwie proste leżące na płaszczyźnie przecinają się lub są równoległe. Prosta nie leżąca w płaszczyźnie przebija ją lub jest do niej równoległa. Rozważania byłyby prostsze, gdyby dwie proste leżące w płaszczyźnie zawsze przecinały się, zaś prosta zawsze przebijała płaszczyznę. Wprowadzając określenie punktu niewłaściwego możemy uzyskać takie własności podstawowych elementów przestrzennych Do zbioru punktów właściwych, leżących na prostej dołączymy, zatem jeden punkt niewłaściwy w taki sposób, aby: proste równoległe miały wspólny punkt niewłaściwy, proste nierównoległe miały różne punkty niewłaściwe. Można, zatem powiedzieć, iż proste równoległe "przecinają się" w jednym punkcie niewłaściwym. Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić w stosunku do dwóch płaszczyzn równoległych, które mieć będą wówczas "wspólną" krawędź przecięcia, zwaną prostą niewłaściwą. Punkty niewłaściwe oznaczać będziemy symbolem punktu właściwego ze znakiem "nieskończoność": np. A:, B:, ... Prostą niewłaściwą opisujemy przy pomocy odcinka prostej zakończonego strzałką, określającego kierunek prostej łącznie z symbolem punktu niewłaściwego tzn.: $k^{{\mathrm{\infty }}^{⟶}}$

---

Zauważmy, że własności rzutu $G^{\prime }$ tworu $G$ nie są identyczne jak własności samego tworu G. Wynika to między innymi z faktu, że twór może być bryłą przestrzenną, natomiast jego rzut równoległy zawsze jest figurą płaską. Jednak niektóre własności tworów nie ulegają zmianie po dokonaniu operacji rzutowania równoległego. Własności te nazwane zostały niezmiennikami rzutu równoległego. Niezmienniki rzutowania równoległego można opisać w sposób następujący: N1. współliniowość punktów (rzuty punktów leżących na prostej będą leżały na rzucie tej prostej), N2. przynależności elementów (jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej), N3. równoległość prostych (rzutami prostych równoległych są proste równoległe lub punkty), N4. stosunek długości odcinków równoległych do siebie, nierównoległych do kierunku rzutowania, (jeżeli długości odcinków równoległych pozostają w określonym stosunku do siebie to długości ich rzutów pozostają w stosunku identycznym), N5. stosunek podziału odcinka (jeżeli punkt A dzieli odcinek w określonym stosunku, to rzut punktu A' dzieli rzut tego odcinka w takim samym stosunku), N6. długość odcinków równoległych do rzutni (długość odcinka równoległego do rzutni jest taka sama jak długość rzutu tego odcinka), N7. kąt o obu ramionach równoległych do rzutni (wielkość kąta, którego obydwa ramiona są równoległe do rzutni jest taka sama jak wielkość rzutu tego kąta), N8. związki miarowe w płaszczyźnie równoległej do rzutni (długości odcinków, kąty oraz wielkości figur leżących na płaszczyźnie równoległej do rzutni zachowują się po dokonaniu operacji rzutowania). Niezmienniki rzutowania równoległego stanowią własności o charakterze podstawowym, które będą wykorzystywane do zapisu konstrukcji technicznych na płaszczyźnie.

---

Znany z geometrii elementarnej układ osi współrzędnych, zwany układem kartezjańskim, jest układem przestrzennym i składa się z osi $x,y,z$ oraz początku układu współrzędnych 0. Osie przecinają się w punkcie początkowym każdej z nich pod kątami $90^o$ względem siebie. Umieszczony w takim układzie punkt $P$ będzie miał współrzędne $P(x_o,y_o,z_o)$. Analogicznie można zdefiniować położenie wektora i innych elementów w przestrzeni. Rzuty aksonometryczne są formą rzutów równoległych, które pozwalają przetransponować układ przestrzenny $0xyz$ na układ płaski, a więc układ umożliwiający odwzorowanie tworów przestrzennych na płaszczyźnie. Takim zagadnieniem jesteśmy zainteresowani z punktu widzenia graficznego zapisu konstrukcji. Rozwijając teorię rzutowania równoległego przyjmiemy twierdzenie Pohlke'go, które otworzy możliwości wyodrębnionego zapisu tworów przestrzennych zwanego rzutem aksonometrycznym. Twierdzenie to umożliwia przenoszenie brył przestrzennych do zupełnie dowolnych układów płaskich zwanych układami aksonometrycznymi. Stanowi to dla inżyniera źródło możliwości różnorodnego eksponowania swoich twórczych projektów.

---

Przyjmując do wiadomości ustalenia twierdzenia Pohlke'go można układ współrzędnych kartezjańskich, za pomocą rzutu równoległego, przetransponować na dowolny układ płaski. Ilustruje to rys.1.4a- 1.4c. Początek $0$ układu $0xyz$ oraz punkty jednostkowe $1x,1y,1z$, tworzą, bowiem czworościan 01x1y1z, który w myśl twierdzenia Pohlke’go można odwzorować na czworokąt zupełny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0’1x’1y’1z’} , podobny do z góry zadanego czworokąta zupełnego (czyli czworokąt dowolny). Ma to fundamentalne znaczenie dla konstruktorów. Oznacza, iż odwzorowanie przestrzennych brył na płaszczyznę można dokonywać w dowolnych układach równoległego rzutu aksonometrycznego, pod warunkiem opisania podstawowych jego parametrów, do których należą rozmieszczenie rzutów osi układu kartezjańskiego oraz tzw. skrótów aksonometrycznych wynikających z rzutowania równoległego układu.

---

Dla potrzeb graficznego zapisu konstrukcji, w wyniku doświadczeń praktycznych, zaproponowano cztery najbardziej używane i przydatne w technice układy aksonometryczne. Na rys. 1.4_3 przedstawiono praktyczne układy aksonometryczne o następujących parametrach wynikających z rzutowania równoległego: a) układ dimetrii kawalerskiej $({\lambda }_x=1:2,{\lambda }_y=1:1,{\lambda }_z=1:1)$, b) układ dimetrii wojskowej $({\lambda }_{x^{\prime }}=1:1,{\lambda }_{y^{\prime }}=1:1,{\lambda }_{z^{\prime }}=1:2)$, c) układ izometrii równokątnej $({\lambda }_x=1:1,{\lambda }_y=1:1,{\lambda }_z=1:1)$, d) układ dimetrii prawie prostokątnej $({\lambda }_{x^{\prime }}=2:3,{\lambda }_{y^{\prime }}=1:1,{\lambda }_{z^{\prime }}=1:1)$. W układzie dimetrii kawalerskiej osie $y^{\prime }i{z}^{\prime }$ położone są względem siebie pod kątem $90^o$ . Oś $x^{\prime }$ tworzy kąt $135^o$ z osiami $y^{\prime }i{z}^{\prime }$. Układ umożliwia zapis bez zniekształceń w pł. $(0,y^{\prime },z^{\prime })$. W układzie dimetrii wojskowej oś $z^{\prime }$ układu jest pionowa, skrót zmniejsza wymiary w tym kierunku dwukrotnie. Osie $x^{\prime },y^{\prime }$ tworzą kąt $135^o$ z osią $z^{\prime }$. Skróty nie zmieniają wymiarów w kierunku tych osi. Układ izometrii równokątnej jest układem regularnym. Osie $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ tworzą kąt $120^o$ względem siebie. Skróty nie zmieniają wymiarów w każdej osi. Tworzenie trzech pierwszych układów nie sprawia żadnych problemów. Komentarza wymaga tworzenie układu dimetrii prawie prostokątnej. Oś $z^{\prime }$ jest osią pionową. Pozostałe osie $x^{\prime }i{y}^{\prime }$ tworzymy w sposób następujący: 1. na pomocniczej linii poziomej odmierzamy osiem odcinków jednostkowych otrzymując na niej punkt, przez który prowadzimy pomocniczą prostą pionową. 2. odmierzając następnie na tej prostej w kierunku do góry 7 odcinków jednostkowych oraz 1 w dół otrzymamy dwa punkty, 3. łącząc otrzymane punkty z środkiem układu wyznaczymy położenie osi $x^{\prime }i{y}^{\prime }$. Rysowanie technicznych obiektów przestrzennych w rzutach aksonometrycznych pozwala przygotować zapis konstrukcji, który może być zrozumiały dla każdego czytelnika oraz przydatny do dalszych zapisów technicznych.

---