Algebra liniowa z geometrią analityczną

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w $R^n$.

Sylabus

Autorzy

• Barbara Opozda
• Małgorzata Downarowicz
• Dominik Kwietniak

Wymagania wstępne

• Podstawy logiki i teorii mnogości
• Wiadomości ze szkoły.

Zawartość

• Ciała i przestrzenie wektorowe:
  • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
  • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
  • definicja przestrzeni wektorowej
  • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
  • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni

• Odwzorowania liniowe:
  • definicja odwzorowania liniowego
  • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
  • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
  • przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne

• Macierze:
  • podstawowe pojęcia
  • działania na macierzach
  • macierz odwzorowania liniowego
  • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
  • macierz dualna a odwzorowanie dualne
  • rząd macierzy
  • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
  • ślad macierzy i endomorfizmu
• Układy równań liniowych:
  • twierdzenie Kroneckera-Capellego
  • zbiór rozwiązań układu równań liniowych
  • badanie układu równań
• Wyznacznik:
  • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
  • minory i rząd macierzy
  • wzory Cramera
  • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
• Endomorfizmy:
  • wartość własna i wektor własny
  • wielomian charakterystyczny
  • bazy i macierze Jordana
• Formy kwadratowe:
  • macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
  • twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
• Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
  • iloczyn skalarny
  • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
  • nierówność Schwarza
  • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
  • macierz i wyznacznik Grama
  • izometrie liniowe, macierz ortogonalna
• Geometria analityczna:
  • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna $R^n$
  • układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
  • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
  • równoległość podprzestrzeni afinicznych
  • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
  • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
  • odległość punktów i niektórych figur
  • zbiory wypukłe
  • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa

Literatura

1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN,Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
4. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.

Moduły

1. Ciała i przestrzenie wektorowe I (ćwiczenia)
2. Ciała i przestrzenie wektorowe II (ćwiczenia)
3. Ciała i przestrzenie wektorowe III (ćwiczenia)
4. Odwzorowania liniowe (ćwiczenia)
5. Macierze I (ćwiczenia)
6. Macierze II (ćwiczenia)
7. Układy równań liniowych (ćwiczenia)
8. Wyznacznik (ćwiczenia)
9. Endomorfizmy (ćwiczenia)
10. Formy kwadratowe (ćwiczenia)
11. Przestrzenie euklidesowe (ćwiczenia)
12. Geomeria analityczna I (ćwiczenia)
13. Geometria analityczna II (ćwiczenia)
14. Geometria analityczna III (ćwiczenia)
15. Geometria analityczna IV (ćwiczenia)