Teoria informacji/TI Wykład 10

Efektywne kodowanie wiadomości

Dla pary wejście-wyjście (A,B), rozważmy dodatkową zmienną losową

$E=A\oplus B$

możemy ją interpretować jako sygnaturę błędu w czasie transmisji. Zachodzi równość

$p(b|a)=p(E=a\oplus b)$

Wynika to z definicji BSC:

$p(b|a)=\begin{array}{ccc}P& a=b& (a\oplus b=0)\\ Q& a\ne b& (a\oplus b=1)\end{array}$

i zauważenia że

$p(E=0)=p(A=0)\cdot p(0\to 0)+p(A=1)\cdot p(1\to 0)=P$ $p(E=1)=p(A=0)\cdot p(0\to 1)+p(A=1)\cdot p(1\to 1)=Q$

Rozważmy teraz sekwencję par wejście-wyjście $(A_1,B_1),\dots ,(A_k,B_k)$, zachowującą niezależność symboli. Implikuje to że zmienne losowe $E_1,\dots ,E_k$ (gdzie $E_i=A_i\oplus B_i$ są niezależne (zauważmy że implikacja w drugą stronę nie zawsze zachodzi): Używając notacji $p(\overrightarrow{E}=\overrightarrow{e})$ lub po prostu $p(\overrightarrow{e}$ na oznaczenie $p(E_1=e_1\wedge \dots \wedge E_k=e_k)$ możemy to zapisać

$p(e_1\dots e_k)=\sum _{\overrightarrow{a}}p(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{B}=\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{e})=\sum _{\overrightarrow{a}}p(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a})\cdot p(\overrightarrow{B}=\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{e}|\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a})$

Używając niezależności symboli w połączeniu z $p(b|a)=p(E=a\oplus b)$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned p(\vec{B} = \vec{a} \oplus \vec{e} | \vec{A} = \vec{a}) & = p (B_1 = a_1 \oplus e_1 | A_1 = a_1) \cdot \ldots \cdot p (B_k = a_k \oplus e_k | A_k = a_k )\\ & =p (E_1 = e_1) \cdot \ldots \cdot p(E_k = e_k) \endaligned }

dla dowolnego $\overrightarrow{a}$. A więc

$p(e_1\dots e_k)=p(e_1)\cdot \dots \cdot p(e_k)$

Załóżmy że dysponujemy opisanym wyżej symetrycznym kanałem $\mathrm{\Gamma }$ w którym P>Q, i chcemy przesyłać nim wartości zmiennej losowej X o wartościach z ${𝒳}=\{x_1,\dots ,x_m\}$. We wcześniejszych wykładach poznaliśmy techniki efektywnego kodowania wartości. Jeśli kanał jest wierny, wystarczy że znajdziemy optymalne kodowanie $\phi :{𝒳}\to \{0,1{\}}^{*}$ i będziemy wysyłać bit po bicie. Oczekiwana długość (czas) transmisji będzie ograniczony wtedy przez H(X)+1 (na podstawie kodowania Shannona-Fano). Z drugiej strony, zawsze możemy zakodować ${𝒳}$ używając ciągów długości $\lceil \log m\rceil$, co daje nam ograniczenie na pesymistyczny czas transmisji (te dwa ograniczenia mogą nie dać się zachować jednocześnie dla żadnego kodowania).

Jeśli jednak kanał nie jest wierny, ta metoda będzie prowadziła do błędów. Przykład z poprzedniego wykładu pokazuje że będziemy musieli użyć redundantnego, a więc nieoptymalnego kodowania. Zajmiemy się teraz szukaniem metod pogodzenia tych dwóch przeciwstawnych celów:

• używaniem jak najmniejszej redundancji
• zmiejszenia prawdopodobieństwa błędu do jak najniższego poziomu

Ogólny schemat postępowania będzie następujący

Algorytm transmisji

(dla zmiennej losowej X o wartościach w ${𝒳}=\{x_1,\dots ,x_m\}$ i kanału $\mathrm{\Gamma }$)
1. Wybierz $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ i $C\subseteq \{0,1{\}}^n$ takie że $|C|=m$
2. Ustal bijekcję $\phi :{𝒳}\to C$ (oczywiście taki kod będzie bezprefiksowy). 
3. Prześlij ciąg znaków $\phi (X)=a_1\dots a_n$ przez kanał $\mathrm{\Gamma }$ bit po bicie, 
otrzymując na wyjściu $Y=b_1\dots b_n$.
4. Aby odkodować wiadomość wybierz $a_1\dots a_n\in C$ takie dla którego $p(b_1\dots b_n|a_1\dots a_n)$ jest maksymalne

Zakładając że kanał jest bezstanowy i pozbawiony feedbacku, mamy

$p(b_1\dots b_k|a_1\dots a_k)=Q^{d(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}\cdot P^{1-d(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}$

Użyta reguła dekodowania wskazuje zatem dla każdego ciągu $b_1\dots b_n$ ciąg $\mathrm{\Delta }(b_1\dots b_n)\in C$, najbliższy możliwy w sensie odległości Hamminga (jeśli jest kilka równie odległych to wybierany jest któryś z nich). Jest to tak zwana reguła dobrosąsiedzka.

Dla uproszczenia możemy utożsamić ${𝒳}$ z C (za pomocą bijekcji $\phi$) i traktować X jako zmienną losową o wartościach w C.

Na opisaną powyżej procedurę możemy patrzeć jak na nowy kanał (z C do C):

$C\ni a_1\dots a_n\to$$\to b_1\dots b_n\to \mathrm{\Delta }(b_1\dots b_n)\in C$

z prawdopodobieństwem błędu

$P{r}_E(\mathrm{\Delta },X)=p(\mathrm{\Delta }\circ Y\ne X)$

Naszą pierwszą obserwacją będzie fakt że najgorszym możliwym rozkładem X jest rozkład jednostajny ($p(x)=\frac{1}{m}$ dla $x\in C$)

Fakt

Niech X i U będą dwiema zmiennymi losowymi o wartościach w $C\subseteq \{0,1{\}}^n$. U niech będzie miała rozkład losowy, a X dowolny. Wtedy istnieje permutacja $\phi :C\to C$ taka że

$P{r}_E(\mathrm{\Delta },\phi \circ X)\le P{r}_E(\mathrm{\Delta },U)$

Dowód

TODO

Przy analizowaniu jakości naszych metod możemy zatem bez utraty ogólności zakładać że rozkład X jest jednostajny. W takim przypadku $P{r}_E(\mathrm{\Delta },X)$ zależy jedynie od C, a więc możemy używać notacji $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)$.

Redundancję mierzymy porównując entropię C (o wartości ${\log }_2|C|$), z faktyczną długością kodu (w naszym przypadku n).

Definicja [Szybkość transmisji]

Szybkością transmisji kodu $C\subseteq \{0,1{\}}^n$ nazywamy wartość

$R(C)=\frac{{\log }_2|C|}{n}$

Intuicyjnie możemy rozumieć że aby przesłać ${\log }_2|C|$ bitów informacji, używamy faktycznie n bitów, a więc przesyłamy bity z szybkością $\frac{{\log }_2|C|}{n}$</math> bitów na znak.

Dwa warunki jakie postawiliśmy wcześniej oznaczają teraz że chcemy zminimalizować zarówno $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)$ jak i R(C).

Przykład [Wadliwa maszyna do pisania]

Wrócimy do przykładu wadliwej maszyny do pisania. Z pewnością taki kanał generuje bardzo dużo błędów. Jednak jeśli użyjemy tylko nieparzystych liter ($a,c,e,g,\dots$) to będziemy mogli zawsze odkodować wiernie otrzymane znaki.

Czy możemy użyć tej obserwacji do przesyłania dowolnych wiadomości?

Najprostszym pomysłem jest kodowanie liter jako par, używając wciąż tylko połowy znaków, np.:

$\begin{array}{ccc}a& & aa\\ b& & ac\\ c& & cc\\ d& & ce\\ \dots & & \end{array}$

Szybkość transmisji w tym przypadku wynosi $\frac{1}{2}$. Czy można to zrobić lepiej?

Jeśli mielibyśmy dodatkowy symbol, np. #, który potrafilibyśmy odkodować bezbłędnie, moglibyśmy zakodować symbole w następujący sposób:

$\begin{array}{ccc}a& & a\\ b& & \mathrm{\#}a\\ c& & c\\ d& & \mathrm{\#}c\\ \dots & & \end{array}$

Średnia długość kodu wynosi tu $\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{3}{2}$, a więc szybkość transmisji wynosi $\frac{2}{3}$. Możemy tę metodę wykorzystać bez rozszerzania alfabetu, wybierając jedną literę, np. a, aby grała rolę #, i kodując a przez aa, b przez ca i c przez cc (aby zachować bezprefiksowość kodu). Uzyskamy wtedy szybkość transmisji niewiele mniejszą niż $\frac{2}{3}$. Rozwinięcie tej metody pozwala podnieść szybkość transmisji do wartości bliskiej 1.

Przykład [Wielokrotny BSC]

W tym przykładzie rozważmy kanał BSC i poprawienie jego jakości przez wysłanie każdego bitu wielokrotnie. Niech $n=k\cdot l$ i niech $m=2^k$. Wtedy dowolny ciąg bitów $a_1\dots a_k$ możemy zakodować jako $a_1^l\dots a_k^l\in \{0,1{\}}^n$, uzyskując kod o szybkości transmisji $\frac{1}{l}$. Podobna analiza jak (link TODO) pokazuje że dla dowolnego k jesteśmy w stanie zmniejszyć $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)$ do dowolnie małej wartości, wystarczająco wydłużając l. Oznacza to że teoretycznie, o ile kanał nie jest całkowicie chaotyczny (czyli $P\ne Q$), możemy nim przesyłać wiadomości z dowolnie małym prawdopodobieństwem błędu - ale ceną za to jest spowalnianie prędkości transmisji prawie do zera.

Główne Twierdzenie Shannona mówi że sytuacja w rzeczywistości jest o wiele lepsza. Możemy osiągnąć to samo zachowując szybkość transmisji bliską pewnej stałej, konkretnie (link TODO) przepustowości kanału $C_{\mathrm{\Gamma }}$.

Zanim przejdziemy do samego twierdzenie pokażemy dolne ograniczenie, dowodzące że lepszej szybkości transmisji w ogólności nie da się uzyskać. Zaczniemy od dowiedzenia tego gdy prawdopodobieństwo błędu musi być zerowe, i w dalszej części pokażemy jak ten dowód rozszerza się na dodatnie prawdopodobieństwa. Tutaj $\mathrm{\Gamma }$ może być dowolnym kanałem, ale jak zwykle zakładamy niezależność symboli.

Fakt [Przepustowość kanału]

Jeśli $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)=0$ to

$R(C)\le C_{\mathrm{\Gamma }}$

Dowód

Niech $X=(A_1,\dots A_n)$ i $Y=(B_1,\dots B_n)$ będą zmiennymi z (link TODO) algortymu transmisji. Używając niezależności symboli możemy łatwo policzyć że $H(Y|X)=H(B_1|A_1)+\dots +H(B_n|A_n)$

Wiemy ponadto (link TODO) że

$H(Y)\le H(B_1)+\dots +H(B_n)$

Czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned I (X,Y) & = H(Y) - H(Y|X)\\ & \leq \sum_{i=1}^n H(B_i ) - \sum_{i=1}^n H(B_i | A_i )\\ & = \sum_{i=1}^n \underbrace{(H(B_i ) - H(B_i | A_i ))}_{=I (A_i , B_i)}\\ &\leq n \cdot C_{\Gamma } \endaligned }

(z definicji $C_{\mathrm{\Gamma }}$)

Z drugiej strony mamy

$I(X,Y)=H(X)-\underset{=0}{\underbrace{H(X|Y)}}={\log }_{2}m$

(gdzie $m=|C|$). Tutaj $H(X|Y)$ ma wartość zero, ponieważ założenie $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)=0$ implikuje że X jest funkcją Y (konkretnie $X=\mathrm{\Delta }(Y)$. Ponadto $H(X)={\log }_{2}m$ gdyż X ma rozkład jednostajny. Ostatecznie zatem

$R(C)=\frac{{\log }_{2}m}{n}\le C_{\mathrm{\Gamma }}$ jak zakładaliśmy.

Fakt

Korzystając z ciągłości, możemy łatwo pokazać że osłabienie warunku $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)=0$ do $P{r}_E(\mathrm{\Delta },C)\le \delta$ dla pewnego $\delta >0$ daje w powyższym dowodzie $H(X|Y)\le \vartheta (\delta )$ (dla pewnej ciągłej i ograniczonej funkcji $\vartheta$). Z tego dostajemy ${\log }_{2}m-\vartheta (\delta )\le n\cdot C_{\mathrm{\Gamma }}$

i ostatecznie

$R(C)\le C_{\mathrm{\Gamma }}+\frac{\vartheta (\delta )}{n}$ Z grubsza oznacza to że jeśli chcemy uzyskać małe prawdopodobieństwo błędu, szybkość transmisji nie może być wiele większa niż $C_{\mathrm{\Gamma }}$.