PEE Moduł 8

Wykład 8. Zastosowanie metody operatorowej Laplace’a w analizie stanów nieustalonych

---

Rachunek operatorowy Laplace’a Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym $s=\sigma +j\omega$, gdzie $\omega$ oznacza pulsację. W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań: $F(s)=L\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$ $f(t)=L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi \cdot j}\underset{c-j\omega }{\overset{c+j\omega }{\int }}F(s)e^{st}ds$ w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje proste przekształcenie Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie przekształcenie odwrotne dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem ze slajdu 2 dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem ze slajdu 2 dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a.

---

Podstawowe własności przekształcenia Laplace’a. Z wielu istniejących własności przekształcenia Laplace’a ograniczymy się tutaj do kilku podstawowych, których znajomość jest konieczna do określenia stanów nieustalonych w obwodach RLC. Liniowość przekształcenia Jeśli współczynniki $a_1$ i $a_2$ są dowolnymi stałymi to $L[a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)]=a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)$ $L^{-1}[a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)]=a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)$ gdzie symbole $L$ i $L^{-1}$ oznaczają odpowiednio transformaty: prostą i odwrotną Laplace’a. Z własności liniowości przekształcenia wynika, że przekształcenie Laplace’a spełnia zasadę superpozycji. Transformata pochodnej funkcji czasu Transformata pochodnej funkcji czasu spełnia relację $L\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0^{+})$ W której $f(0^{+})$ oznacza wartość początkową funkcji f(t). Mnożenie funkcji F(s) przez zmienną zespoloną s odpowiada w dziedzinie czasu różniczkowaniu funkcji. Stąd operator s nazywany jest operatorem różniczkowania. Transformata całki funkcji czasu Transformata całki funkcji czasu spełnia relację $L[\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau ]=\frac{F(s)}{s}$ Pomnożenie funkcji F(s) przez 1/s odpowiada w dziedzinie czasu całkowaniu funkcji. Stąd operator $s^{-1}$ jest nazywany również operatorem całkowania. Transformata splotu Splot stanowi ważne pojęcie w teorii obwodów, gdyż za jego pośrednictwem określa się odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu $f_1(t)$ i $f_2(t)$ oznaczony w postaci $f_1(t)*f_1(t)$ jest zdefiniowany w następujący sposób $f_1(t)*f_1(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau =$ $=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )d\tau$ Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych funkcji tworzących splot $L[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s)$ Powyższa własność nosi w matematyce nazwę twierdzenia Borela. Zauważmy, że mnożenie splotowe dwu funkcji w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnożeniu ich transformat w dziedzinie częstotliwości. Własność ta jest szczególnie wygodna w analizie obwodów zarówno w stanie ustalonym jak i nieustalonym. Zamiast żmudnych operacji w dziedzinie czasu wykonuje się transformację Laplace’a funkcji czasowych a następnie wszystkie operacje wykonuje na transformatach.

---

Przykłady transformat Laplace’a Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru ze slajdu 2 przy zadanej funkcji oryginału i przeprowadzeniu działań w nim określonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie wartości na granicach całkowania). Obliczanie transformat dla większości funkcji, zwłaszcza bardziej złożonych, nie jest procesem łatwym i dlatego w praktyce inżynierskiej najczęściej posługujemy się tablicami gotowych transformat Laplace’a, których źródło znaleźć można w wielu poradnikach matematycznych jak również podręcznikach poświęconych rachunkowi operatorowemu. W tablicy na slajdzie 4 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie często wykorzystywanych przy rozwiązywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej części tej lekcji będą one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a (funkcji czasu odpowiadających transformatom). Zawartość tablicy przedstawiająca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadającymi im transformatami może służyć zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej postaci transformaty.

---

Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a Aby wyznaczyć funkcję czasu f(t) na podstawie danej transformaty należy dokonać odwrotnego przekształcenia Laplace’a. Zależność definicyjna określona wzorem na oryginał (slajd 2) jest raczej bezużyteczna ze względu na konieczność całkowania złożonych zwykle funkcji, jak również na nieokreślone precyzyjnie granice całkowania (stała c w definicji nie jest dokładnie określona). Najczęściej korzysta się z pośrednich metod wyznaczania oryginału wynikających z własności samego przekształcenia. Niezależnie od metody zastosowanej do wyznaczenia oryginału, zakładać będziemy, że transformata Laplace’a zadana jest w postaci wymiernej, czyli ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych. $F(s)=\frac{L(s)}{M(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$ Dodatkowo przyjmiemy, że stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. Jeśli warunek powyższy byłby niespełniony, należy podzielić licznik przez mianownik tak, aby wymusić spełnienie tego warunku Istnieje wiele metod obliczania transformaty odwrotnej Laplace’a, wykorzystujących własności przekształcenia. Do najbardziej popularnych należą metoda residuów, rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste, metoda Heaviside’a oraz metoda bazująca na wykorzystaniu tablic transformat Laplace’a. Tutaj ograniczymy się do dwu najbardziej uniwersalnych metod: metody residuów oraz metody tablicowej wykorzystującej tablice transformat Laplace’a.

---

Metoda residuów Załóżmy, że funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s, określona wzorem $F(s)=\frac{L(s)}{M(s)}$ Pierwiastki licznika funkcji transformaty są nazywane zerami a pierwiastki mianownika biegunami. Zauważmy, że bieguny są utożsamione z pierwiastkami równania charakterystycznego występującego w metodzie klasycznej lub wartościami własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta się z następującego twierdzenia. Twierdzenie Jeżeli funkcja $F(s)$ jest ilorazem dwu wielomianów $L(s)$ i $M(s)$, przy czym stopień wielomianu mianownika jest wyższy niż stopień wielomianu licznika $(n>m)$ to oryginał funkcji $f(t)$ określony jest następującym wzorem $L^{-1}[F(s)]=\sum _{i=1}^{n}re{s}_{s=s_i}[F(s)e^{st}]$ Sumowanie odbywa się po wszystkich biegunach funkcji operatorowej F(s) niezależnie od tego, czy bieguny są pojedyncze czy wielokrotne. Residuum funkcji $res[o]$ wyznacza się korzystając ze wzorów wynikających z własności przekształcenia Laplace’a.

---

W przypadku bieguna l-krotnego wzór jest następujący $re{s}_{s=s_i}[F(s)e^{st}]=$ $=\frac{1}{(l-1)!}li{m}_{s\to s_i}\frac{d^{(l-1)}}{d{s}^{l-1}}[F(s)(s-s_i{)}^l{e}^{st}]$ Szczególnie proste zależności otrzymuje się dla bieguna jednokrotnego $s_i$ . W takim przypadku l=1 i wzór na residuum ulega znacznemu uproszczeniu $re{s}_{s=s_i}[F(s)e^{st}]=li{m}_{s\to s_i}[F(s)(s-s_i)e^{st}]$ Wzór ze slajdu 6 wykorzystujący residuum funkcji jest stosowalny dla dowolnych biegunów funkcji F(s), w tym biegunów rzeczywistych, zespolonych, jednokrotnych i wielokrotnych. Jednakże przy biegunach zespolonych obliczenie residuum jest procesem dość złożonym i metoda nie jest konkurencyjna względem innych.

---

Jako przykład rozpatrzmy wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji F(s) danej wzorem $F(s)=\frac{5s}{(s+1)(s+3)}$ Zadana funkcja ma dwa bieguny: $s_1=-1$ oraz $s_2=-3$ . Wykorzystując wzór ze slajdu 6 otrzymuje się $f(t)=re{s}_{s=s_1}[F(s)e^{st}]+re{s}_{s=s_2}[F(s)e^{st}]$ Na podstawie wzoru ze slajdu 7 otrzymuje się $f(t)=li{m}_{s\to s_1}[F(s)(s+1)e^{st}]+$ $+li{m}_{s\to s_2}[F(s)(s+3)e^{st}]=$ $=\frac{5\cdot (-1)}{(-1+3)}{e}^{-1t}+\frac{5\cdot (-3)}{(-3+1)}{e}^{-3t}=$ $=-2,5e^{-t}+7,5e^{-3t}$

---

Metoda wykorzystująca tablice transformat Metoda residuów jakkolwiek koncepcyjnie bardzo prosta staje się żmudna, jeśli bieguny układu są zespolone. Jest to szczególnie widoczne przy wysokich stopniach mianownika transmitancji operatorowej. W takich przypadkach zwykle korzystniejsze jest zastosowanie metody wykorzystującej tablice transformat Laplace’a. Przy korzystaniu z tablic transformat należy poprzez elementarne przekształcenia doprowadzić daną transformatę do postaci standardowej znajdującej się w tablicy transformat (u nas tablica ze slajdu 4) a następnie odczytać z niej oryginał. Jest ona szczególnie wygodna jeśli bieguny układu są zespolone, gdyż w procesie przekształcania transformaty nie występuje potrzeba wyznaczania tych biegunów a wszystkie obliczenia dokonywane są na wartościach rzeczywistych. W praktyce przy stosowaniu tej metody transmitancję wyższych rzędów (n>2) rozkłada się na składniki rzędu drugiego i wszystkie przekształcenia dokonuje na wielomianach rzędu pierwszego lub drugiego. Idę metody wyjaśnimy na przykładach liczbowych. Przykład Obliczyć transformatę odwrotną Laplace’a dla funkcji F(s) danej w postaci $F(s)=\frac{1}{s^2+s+1}$ Wobec zespolonych pierwiastków mianownika wykorzystamy tablicę transformat ze slajdu 4. Porównanie postaci danej transformaty z danymi zawartymi w tablicy wskazuje, że należy ją doprowadzić do postaci transformaty odpowiadającej funkcji sinusoidalnej tłumionej wykładniczo (wiersz 6 w tablicy). Kolejność czynności jest tu następująca $F(s)=\sqrt{4/3}\frac{\sqrt{3/4}}{(s+0,5{)}^2+(\sqrt{3/4}{)}^2}$ Porównanie tej postaci z wierszem szóstym tablicy ze slajdu 4 pokazuje, że $\alpha =0,5$ a $\omega =\sqrt{3/4}$. Funkcja oryginału jest więc określona wzorem $f(t)=\sqrt{4/3}{e}^{-0,5t}sin(\sqrt{3/4}t)$

---

Modele operatorowe elementów obwodu Aby uzyskać bezpośrednie przetworzenie postaci oryginalnej obwodu na obwód w dziedzinie operatorowej Laplace’a należy każdy element obwodu zastąpić odpowiednim modelem w dziedzinie operatorowej. Tutaj podamy te modele dla trzech podstawowych elementów obwodu RLC. Rezystor Prawo Ohma dotyczące wartości chwilowych prądu i napięcia dla rezystora można zapisać w postaci $u_R(t)=R{i}_R(t)$ Jest to równanie algebraiczne wiążące prąd i napięcie na zaciskach elementu. Stosując transformację Laplace’a do obu stron równania otrzymuje się $U_R(s)=R{I}_R(s)$ Jak wynika z powyższej zależności impedancja operatorowa dla rezystora jest równa samej rezystancji $Z_R(s)=R$. Rysunek pierwszy na slajdzie 10 przedstawia model operatorowy rezystora, obowiązujący w dziedzinie zmiennej zespolonej s. Cewka Dla uzyskania modelu operatorowego cewki idealnej zastosujemy przekształcenie Laplace’a bezpośrednio do równania opisującego cewkę w dziedzinie czasu $u_L(t)=L\frac{d{i}_L(t)}{dt}$ i wykorzystamy własność dotyczącą transformaty pochodnej. W efekcie otrzymuje się $U_L(s)=sL{I}_L(s)-L{i}_L(0^{+})$ Powyższemu równaniu można przyporządkować schemat obwodowy cewki w dziedzinie operatorowej przedstawiony na rysunku drugim na slajdzie 10. Jest to połączenie szeregowe impedancji operatorowej odpowiadającej cewce idealnej i źródła napięciowego. Zaciski A-B modelu odpowiadają zaciskom A-B w oryginalnym symbolu cewki. Impedancja $Z_L(s)=sL$ jest impedancją operatorową cewki a $L{i}_L(0^{+})$ reprezentuje źródło napięcia stanowiące integralną część modelu. Kondensator Dla uzyskania modelu operatorowego kondensatora idealnego skorzystamy z jego opisu w dziedzinie czasu $i_C(t)=C\frac{d{u}_C}{dt}$ Zastosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania kondensatora. W efekcie takiej operacji otrzymuje się $I_C(s)=sC{U}_C(s)-C{u}_C(0^{+})$ Przepiszemy tę zależność w postaci $U(s)=\frac{1}{sC}{I}_C(s)+\frac{u_C(0^{+})}{s}$ Równaniu powyższemu można przyporządkować schemat operatorowy kondensatora przedstawiony na rysunku trzecim na slajdzie 10. W modelu tym funkcja $Z_C=\frac{1}{sC}$ reprezentuje impedancję operatorową kondensatora a $\frac{u_C(0^{+})}{s}$ - źródło napięciowe stanowiące integralną część modelu. Modele operatorowe odpowiadające podstawowym elementom obwodu pozwalają przyporządkować każdemu obwodowi rzeczywistemu jego schemat zastępczy w dziedzinie transformat. W schemacie tym niezerowe warunki początkowe uwzględnione są poprzez dodatkowe źródła napięcia występujące w modelu operatorowym cewki i kondensatora. Taki sposób podejścia do analizy stanu nieustalonego jest wygodny ze względu na to, że umożliwia napisanie równań (algebraicznych, funkcyjnych) w postaci operatorowej bezpośrednio na podstawie schematu zastępczego bez potrzeby tworzenia równań różniczkowych opisujących obwód.

---

Prawa Kirchhoffa dla transformat Dla schematu operatorowego obwodu słuszne są prawa Kirchhoffa, analogiczne do praw obowiązujących w dziedzinie czasu. Prawo prądowe Suma transformat prądów w dowolnym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru $\sum _{k=1}^n{I}_k(s)=0$ Prawo napięciowe Suma transformat napięć gałęziowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru $\sum _{k=1}^n{U}_k(s)=0$ W równaniach tych transformaty prądów i napięć zastąpiły wartości czasowe występujące w podstawowej wersji praw Kirchhoffa. Znaki prądów i napięć występujących w równaniach na transformatę Laplace’a splotu (slajd 3) i równanie na slajdzie 5 ustalane są w identyczny sposób jak w przypadku podstawowej wersji praw Kirchhoffa podanych dla wielkości rzeczywistych.

---

Obliczenia prądów i napięć w stanie nieustalonym obwodu metodą operatorową Obliczenia prądów i napięć w stanie nieustalonym obwodu metodą operatorową sprowadzać się będą do wyznaczenia transformaty odpowiedniej wielkości a następnie obliczenia transformaty odwrotnej Laplace’a dla określenia zmiennej w dziedzinie czasu. Do obliczenia transformat prądów i napięć można stosować wszystkie poznane dotąd metody analizy obwodów, w tym metodę równań Kirchhoffa, oczkową, potencjałów węzłowych, Thevenina i Nortona operujące transformatami Laplace’a zamiast wartościami zespolonymi czy wartościami w dziedzinie czasu (dla obwodu rezystancyjnego). Podstawowymi zaletami metody operatorowej jest łatwość uwzględnienia niezerowych warunków początkowych (przez wprowadzenie źródeł napięciowych w modelu operatorowym) oraz sprowadzenie operacji różniczkowych do działań algebraicznych. W ogólności rozwiązując stan nieustalony w obwodzie metodą operatorową należy wyróżnić kilka etapów. 1. Określenie warunków początkowych w obwodzie, poprzez wyznaczenie rozwiązania ustalonego obwodu przed przełączeniem i obliczenie wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili $t=0^{-}$, to jest $i_L(0^{-})$ oraz $u_C(0^{-})$ 2. Określenie rozwiązania obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu przy zastosowaniu metody symbolicznej z wykorzystaniem dowolnej metody analizy. Wynikiem jest postać czasowa rozwiązania ustalonego prądów cewek $i_{Lu}(t)$ i napięć kondensatorów $u_{Cu}(t)$. Przez założenie t=0 otrzymuje się wartości prądów i napięć w chwili początkowej, to jest $i_{Lu}(0^{+})$ oraz $u_{Cu}(0^{+})$. Określenie rozwiązania obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu przy zastosowaniu metody operatorowej. 3. Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej oraz składowej przejściowej, to jest $i_L(t)=i_{Lu}(t)+i_{Lp}(t)$ $u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)$ Składowa przejściowa zanika z czasem do zera i pozostaje jedynie składowa ustalona określająca przebieg wielkości w stanie ustalonym. Taka metodyka rozwiązania stanów nieustalonych przy zastosowaniu transformacji Laplace’a nosi nazwę metody superpozycji stanów, gdyż rozdziela w sposób jawny stan ustalony od stanu przejściowego. Jest szczególnie zalecana przy wymuszeniach sinusoidalnych, choć obowiązuje również dla obwodów prądu stałego. Zaletą takiego podejścia jest jej uniwersalność i stosowalność do każdego obwodu liniowego RLC niezależnie od rodzaju wymuszenia (wymuszenia stałe lub sinusoidalne mają jedynie wpływ na stan ustalony i są wyeliminowane przy rozwiązywaniu stanu przejściowego).

---

W celu obliczenia składowej przejściowej w obwodzie należy wykonać następujące etapy: utworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej poprzez wyeliminowanie źródeł zewnętrznych wymuszających (zwarcie źródeł napięcia i rozwarcie źródeł prądu); obwód rzeczywisty dla składowej przejściowej w dziedzinie czasu nie zawiera żadnych źródeł wymuszających określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy wykorzystaniu praw komutacji, zgodnie z którymi $x(0^{-})=x_u(0^{+})+x_p(0^{+})$; z równania tego wynikają następujące wzory na warunki początkowe dla składowych przejściowych prądu cewki i napięcia kondensatora $i_{Lp}(0^{+})=i_L(0^{-})-i_{Lu}(0^{+})$ $u_{Cp}(0^{+})=u_C(0^{-})-u_{Cu}(0^{+})$ utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez zastąpienie elementów rzeczywistych obwodu ich modelami operatorowymi dla składowej przejściowej i rozwiązanie obwodu względem poszukiwanych prądów i napięć operatorowych wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a dla poszukiwanych wielkości przejściowych określonych w punkcie poprzednim; w wyniku otrzymuje się $i_{Lp}(t)$ oraz $u_{Cp}(t)$. Należy podkreślić, że rozbicie stanu nieustalonego na ustalony i przejściowy jest zalecane jedynie przy istnieniu wymuszeń sinusoidalnych w obwodzie po przełączeniu. Jeśli źródła takie nie występują schemat operatorowy może dotyczyć obwodu całkowitego, bez rozbijania go na schemat dla składowej ustalonej i przejściowej. W takim przypadku pozostawia się zewnętrzne źródła wymuszające w obwodzie przyjmując ich model operatorowy, czyli zastępując postać czasową źródła (wartość stała A przy wymuszeniu stałym) przez funkcję $\frac{A}{s}$. Warunki początkowe również nie podlegają modyfikacji, co oznacza, że $i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$ oraz $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})$ .