Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>”
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
Linia 88: Linia 88:
R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale <math>(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem
R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale <math>(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem
<center><math>
<center><math>
g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x}.
g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x}</math></center>
</math></center>
Liczymy drugą pochodną
Liczymy drugą pochodną
<center><math>
<center><math>
g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot
g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot
\frac{2-\ln{x}}{x^2}.
\frac{2-\ln{x}}{x^2}</math></center>
</math></center>
Ponieważ wartość <math>
Ponieważ wartość <math>
g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math>g</math> ma w punkcie
g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math>g</math> ma w punkcie
Linia 165: Linia 163:
<center><math>
<center><math>
f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \;
f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \;
x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right.
x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right</math></center>
</math></center>
jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje.
jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje.


Linia 214: Linia 211:
f'(x)=
f'(x)=
\frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x=
\frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x=
\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x).
\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x)</math></center>
</math></center>
Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum
Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum
w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna
w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna
Linia 224: Linia 220:
g'(x)=
g'(x)=
\frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}=
\frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}=
\frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x).
\frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x)</math></center>
</math></center>
Funkcja <math>g</math> ma minimum w
Funkcja <math>g</math> ma minimum w
punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>.
punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>.
Linia 276: Linia 271:
<center><math>
<center><math>
f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}=
f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}=
e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2}.
e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2}</math></center>
</math></center>
Funkcja <math>g</math> nie ma pochodnej w <math>0</math> i
Funkcja <math>g</math> nie ma pochodnej w <math>0</math> i
<center><math>
<center><math>
Linia 283: Linia 277:
gdy}\quad x<0\\
gdy}\quad x<0\\
\frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0
\frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0
\end{array} \right.
\end{array} \right</math></center>
</math></center>
W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>.
W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>.


Linia 357: Linia 350:
\left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq
\left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq
\frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot
\frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot
(0,01)^3}{2^3}=0,000000875.
(0,01)^3}{2^3}=0,000000875</math></center>
</math></center>


</div></div>
</div></div>
Linia 369: Linia 361:
0\\
0\\
0& {\rm gdy}\; x=0
0& {\rm gdy}\; x=0
\end{array} \right., n\in\mathbb N_0.
\end{array} \right., n\in\mathbb N_0</math></center>
</math></center>
Pokazać, że <math> f_{2n}</math> ma <math> n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a
Pokazać, że <math> f_{2n}</math> ma <math> n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a
<math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej
<math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej

Wersja z 21:32, 11 wrz 2023

10. Wzór Taylora. Ekstrema

Ćwiczenie 10.1.

Wyznaczyć ekstrema funkcji

a) x(x+2)2x+3,xx3(x1)2,x(x2)3(x+2)3,

b) xsin2x+cosx,xtgxsinx,

c) xxe1x+2,x(2x)e(x2)2,

d) xln|x2+3x10|,xln2|x|2ln|x|,

e) xx+10arcctgx,x21x2+arcsinx,

f) xxx,x(x2+1)x3+2x.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.2.

Wyznaczyć ekstrema funkcji

a) xx2,xx23,xx35,

b) xx3x2,x4x(x+2)3,

c) x3x23ex,x5x45ex,xex21,

d) xarccos1x21+x2,xarcsin2x1+x2.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.3.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

a) f(x)=ex2x210,

b) g(x)=arctg|x|3,
w przedziale [1,3].

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.4.

Znaleźć wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości V=250πcm3, do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.5.

a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru parametru m funkcja f(x)=3x44mx3+m2x2 ma minimum w punkcie 0.

b) Wykorzystując wzór Taylora dla n{1,2}, wyznaczyć przybliżoną wartość 24,9 i 16,084 oraz oszacować błąd przybliżenia.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.6.

Niech

fn(x)={xnsin1xgdyx00gdyx=0,n0

Pokazać, że f2n ma n-tą pochodną nieciągłą w 0, a f2n+1 należy do klasy Cn, ale nie ma (n+1)-ej pochodnej w 0, dla n0.

Wskazówka
Rozwiązanie