Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami
Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>” |
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>” |
||
Linia 88: | Linia 88: | ||
R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale <math>(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem | R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale <math>(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem | ||
<center><math> | <center><math> | ||
g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x} | g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Liczymy drugą pochodną | Liczymy drugą pochodną | ||
<center><math> | <center><math> | ||
g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot | g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot | ||
\frac{2-\ln{x}}{x^2} | \frac{2-\ln{x}}{x^2}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Ponieważ wartość <math> | Ponieważ wartość <math> | ||
g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math>g</math> ma w punkcie | g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math>g</math> ma w punkcie | ||
Linia 165: | Linia 163: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \; | f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \; | ||
x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right | x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje. | jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje. | ||
Linia 214: | Linia 211: | ||
f'(x)= | f'(x)= | ||
\frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | \frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | ||
\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x) | \frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum | Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum | ||
w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna | w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna | ||
Linia 224: | Linia 220: | ||
g'(x)= | g'(x)= | ||
\frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}= | \frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}= | ||
\frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x) | \frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Funkcja <math>g</math> ma minimum w | Funkcja <math>g</math> ma minimum w | ||
punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>. | punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>. | ||
Linia 276: | Linia 271: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}= | f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}= | ||
e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2} | e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Funkcja <math>g</math> nie ma pochodnej w <math>0</math> i | Funkcja <math>g</math> nie ma pochodnej w <math>0</math> i | ||
<center><math> | <center><math> | ||
Linia 283: | Linia 277: | ||
gdy}\quad x<0\\ | gdy}\quad x<0\\ | ||
\frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0 | \frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0 | ||
\end{array} \right | \end{array} \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>. | W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>. | ||
Linia 357: | Linia 350: | ||
\left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq | \left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq | ||
\frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot | \frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot | ||
(0,01)^3}{2^3}=0,000000875 | (0,01)^3}{2^3}=0,000000875</math></center> | ||
</math></center> | |||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 369: | Linia 361: | ||
0\\ | 0\\ | ||
0& {\rm gdy}\; x=0 | 0& {\rm gdy}\; x=0 | ||
\end{array} \right., n\in\mathbb N_0 | \end{array} \right., n\in\mathbb N_0</math></center> | ||
</math></center> | |||
Pokazać, że <math> f_{2n}</math> ma <math> n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a | Pokazać, że <math> f_{2n}</math> ma <math> n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a | ||
<math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej | <math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej |
Wersja z 21:32, 11 wrz 2023
10. Wzór Taylora. Ekstrema
Ćwiczenie 10.1.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.2.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.3.
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) ,
b) ,
w przedziale .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.4.
Znaleźć wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości , do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.5.
a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru parametru funkcja ma minimum w punkcie .
b) Wykorzystując wzór Taylora dla , wyznaczyć przybliżoną wartość i oraz oszacować błąd przybliżenia.
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.6.
Niech
Pokazać, że ma -tą pochodną nieciągłą w , a należy do klasy , ale nie ma -ej pochodnej w , dla .
Wskazówka
Rozwiązanie