Matematyka dyskretna 1/Test 7: Funkcje tworzące: Różnice pomiędzy wersjami
Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „” |
m Zastępowanie tekstu – „ </math>” na „</math>” |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
<quiz>Na ile sposobów można rozmienić <math>25 </math> centów za pomocą monet <math>1 </math> , <math>5 </math> , <math>10 </math> | <quiz>Na ile sposobów można rozmienić <math>25</math> centów za pomocą monet <math>1</math> , <math>5</math> , <math>10</math> | ||
oraz <math>25 </math> centowych? | oraz <math>25</math> centowych? | ||
<wrongoption> <math>6 </math></wrongoption> | <wrongoption> <math>6</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math>12 </math></wrongoption> | <wrongoption> <math>12</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math>13 </math></rightoption> | <rightoption> <math>13</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math>49 </math></wrongoption> | <wrongoption> <math>49</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Funkcja tworząca postaci <math>G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots </math> | <quiz>Funkcja tworząca postaci <math>G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots</math> | ||
ma odwrotną względem mnożenia (splotu), | ma odwrotną względem mnożenia (splotu), | ||
tzn. istnieje funkcja tworząca <math>U\!\left( x \right) </math> taka, | tzn. istnieje funkcja tworząca <math>U\!\left( x \right)</math> taka, | ||
że <math>U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1 </math>: | że <math>U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1</math>: | ||
<wrongoption>jeśli <math>g_0\neq 1 </math></wrongoption> | <wrongoption>jeśli <math>g_0\neq 1</math></wrongoption> | ||
<rightoption>jeśli <math>g_0\neq 0 </math></rightoption> | <rightoption>jeśli <math>g_0\neq 0</math></rightoption> | ||
<rightoption>jeśli wszystkie <math>g_i\neq0 </math></rightoption> | <rightoption>jeśli wszystkie <math>g_i\neq0</math></rightoption> | ||
<rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy <math>g_0\neq0 </math></rightoption> | <rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy <math>g_0\neq0</math></rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Funkcja <math>G\!\left( x \right) </math> spełniająca <math>G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right) </math> jest funkcją tworzącą: | <quiz>Funkcja <math>G\!\left( x \right)</math> spełniająca <math>G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right)</math> jest funkcją tworzącą: | ||
<wrongoption>ciągu <math>1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> </wrongoption> | <wrongoption>ciągu <math>1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots</math> </wrongoption> | ||
<rightoption>ciągu geometrycznego <math>g_n=2^n </math> </rightoption> | <rightoption>ciągu geometrycznego <math>g_n=2^n</math> </rightoption> | ||
<wrongoption>nie ma takiego ciągu</wrongoption> | <wrongoption>nie ma takiego ciągu</wrongoption> | ||
<wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca</wrongoption> | <wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca</wrongoption> | ||
Linia 27: | Linia 27: | ||
<quiz>Funkcja <math>G\!\left( x \right) </math> spełniająca <math>G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right) </math> oraz <math>G\!\left( 0 \right)=1 </math> jest funkcją tworzącą ciągu: | <quiz>Funkcja <math>G\!\left( x \right)</math> spełniająca <math>G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right)</math> oraz <math>G\!\left( 0 \right)=1</math> jest funkcją tworzącą ciągu: | ||
<wrongoption> <math>g_n=\frac{1}{n} </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_n=\frac{1}{n}</math> </wrongoption> | ||
<rightoption> <math>g_n=\frac{1}{n!} </math> </rightoption> | <rightoption> <math>g_n=\frac{1}{n!}</math> </rightoption> | ||
<wrongoption> <math>g_n=1 </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_n=1</math> </wrongoption> | ||
<wrongoption> <math>g_0=1 </math> oraz <math>g_n=0 </math> dla <math>n>1 </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_0=1</math> oraz <math>g_n=0</math> dla <math>n>1</math> </wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Niech <math>G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y </math> , gdzie <math>y </math> jest liczba rzeczywistą. | <quiz>Niech <math>G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y</math> , gdzie <math>y</math> jest liczba rzeczywistą. | ||
Jeśli <math>G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n </math> , to: | Jeśli <math>G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n</math> , to: | ||
<wrongoption> <math>g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n}</math> </wrongoption> | ||
<wrongoption> <math>g_n=\frac{y^n}{n!} </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_n=\frac{y^n}{n!}</math> </wrongoption> | ||
<wrongoption> <math>g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!}</math> </wrongoption> | ||
<rightoption> <math>g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> </rightoption> | <rightoption> <math>g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!}</math> </rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Suma <math>\sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right) </math> wynosi: | <quiz>Suma <math>\sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right)</math> wynosi: | ||
<wrongoption> <math>2n^3+3n+n </math> ,</wrongoption> | <wrongoption> <math>2n^3+3n+n</math> ,</wrongoption> | ||
<rightoption> <math>n^3 </math> ,</rightoption> | <rightoption> <math>n^3</math> ,</rightoption> | ||
<wrongoption> <math>\left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,</wrongoption> | <wrongoption> <math>\left( 2n^3+3n+n \right)/{6}</math> ,</wrongoption> | ||
<wrongoption> <math>3n^3-3n^2+n </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>3n^3-3n^2+n</math> </wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Niech <math>a_0=2 </math> , <math>a_1=3 </math> , <math>a_2=5 </math> , oraz <math>a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n </math> . | <quiz>Niech <math>a_0=2</math> , <math>a_1=3</math> , <math>a_2=5</math> , oraz <math>a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n</math> . | ||
Wtedy: | Wtedy: | ||
<wrongoption> <math>a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n</math> </wrongoption> | ||
<rightoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math></rightoption> | <rightoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right)</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> </wrongoption> | <wrongoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right)</math> </wrongoption> | ||
<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa</wrongoption> | <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa</wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> |
Aktualna wersja na dzień 10:10, 5 wrz 2023
Na ile sposobów można rozmienić centów za pomocą monet , , oraz centowych?
Funkcja tworząca postaci
ma odwrotną względem mnożenia (splotu),
tzn. istnieje funkcja tworząca taka,
że :
jeśli
jeśli
jeśli wszystkie
wtedy i tylko wtedy, gdy
Funkcja spełniająca jest funkcją tworzącą:
ciągu
ciągu geometrycznego
nie ma takiego ciągu
nie istnieje taka funkcja tworząca
Funkcja spełniająca oraz jest funkcją tworzącą ciągu:
oraz dla
Niech , gdzie jest liczba rzeczywistą.
Jeśli , to:
Suma wynosi:
,
,
,
Niech , , , oraz .
Wtedy:
żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa