Wstęp do programowania/Wstęp do algorytmów/Ćwiczenia

Zadanie 1

Podaj algorytm wyliczający część wspólną dwóch zadanych prostokątów o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Analiza specyfikacji

• Czy specyfikacja podana w zadaniu jest wystarczająca do zapisania algorytmu ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Co może być częścią wspólną ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Jaka może być postać danych ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Jaka może być postać wyniku ?

Odpowiedź

{{{2}}}

Znajdowanie algorytmu

Gdy zaczniemy analizować możliwe wzajemne położenia prostokątów okaże się, że przypadków jest co najmniej kilkanaście.

Wskazówka 1

{{{3}}}

Wskazówka 2

{{{3}}}

Rozwiązanie

{{{3}}}

Testowanie

Mając algorytm/program powinniśmy go przetestować, czyli sprawdzić jakie daje wyniki dla przykładowych danych. Warto testować z jednej strony przypadki typowe, z drugiej zaś szczególne przypadki graniczne (np. prostokąty dotykające się jednym rogiem lub jeden prostokąt zawarty w drugim). Testowanie jest ważne i trzeba je robić, mimo że, w przypadku gdy nie wykryje błędów, nic nie daje (nawet nie mamy pewności, że dla przetestowanych danych zawsze dostaniemy poprawny wynik, bo np. mamy niezainicjalizowane zmienne).

Dowód poprawności

Skoro testowanie nie daje pewności, że mamy dobry program to potrzebujemy innego narzędzia, które pozwoli nam spać spokojnie - możemy (przynajmniej teoretycznie) dowieść formalnie poprawność programu. Powinniśmy ustalić co jest formalną specyfikacją naszego zadania (W = A ∩ B) i zrobić formalny dowód, że dla każdego punktu p zdanie p ε A ∩ B jest równoważne temu, że p ε W. Teraz już możemy spać spokojnie - nasz algorytm jest poprawny (o ile nie pomylilismy się w dowodzie)!

Dowód

{{{3}}}

Najważniejszy morał z tego zadania, to pochwała myślenia - trzeba wykonać dużo pracy (myślowej) zanim zacznie się pisać pierwszy wiersz programu/algorytmu.

Inna wersja zadania

A co by było gdyby prostokąty były otwarte (czyli bez brzegu) ?

Reprezentacja używana powyżej jest nadal dobra zarówno dla danych jak i dla wyniku. Tym razem możliwe są tylko dwie postacie wyniku: albo prostokąt (z wnętrzem) o bokach równoległych do osi układu, albo zbiór pusty. Algorytm który podaliśmy powyżej działa również dla prostokątów otwartych; w dowodzie poprawności trzeba by jedynie zamienić nierówności nieostre (≤, ≥) na ostre (<, >).

Zadanie 2

Podaj algorytm wyliczający najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych zawierający dwa zadane prostokąty o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Wskazówka

{{{3}}}

Rozwiązanie

{{{3}}}

Zadanie 3

Używając tylko czterech podstawowych działań arytmetycznych sprawdź czy dwa odcinki na płaszczyźnie, zadane porzez współrzędne końców, przecinają się.

Wskazówka 1

{{{3}}}

Wskazówka 2

{{{3}}}

Wskazówka 3

{{{3}}}

Rozwiązanie

{{{3}}}

Zadanie 4

Sprawdż czy dane dwa równolełoboki na płaszczyźnie przecinają się. Równoległoboki mają boki dowolnie nachylone do osi współrzędnych i zadane są porzez współrzędne czterech rogów podanych zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Wskazówka 1

I tym razem nie wystarczy sprawdzić rzutów na oś X i Y. Trzeba użyć zadania o przecinaniu się odcinków.

Rozwiązanie

Niech R=(r_1,r_2,r_3,r_4) i Q=(q_1,q_2,q_3,q_4) to dane równoległoboki. Żeby R i Q się przecinały to albo ich boki muszą się przecinać, albo jeden równoległobok musi być zawarty w drugim.

Wpierw mamy do sprawdzenia 16 (a tak naprawdę 15) przecięć odcinków:

wynik=ROZŁĄCZNE
dla i ∈ [1..4]
  dla j ∈ [1..4]
    jeśli PrzecinająSię(r_ir_(i+1 mod 4), q_jq_(j+1 mod 4) to wynik=PRZECINAJĄ SIĘ 

Jeśli po wykonaniu tych przecięć wynik nadal ma wartość ROZŁĄCZNE to powinniśmy jeszcze sprawdzić zawieranie równoległoboków. Żeby Q zawierało się w R potrzeba i wystarcza by q1 ∈ R. Do tego zaś trzeba by q_1 znajdowało się po przeciwnych stronach naprzeciwległych boków R, do czego użyjemy metody z wyznacznikiem z poprzedniego zadania.

M12=M(r_1,r_2,q_1)	N12=M(q_1,q_2,r_1)	     
M43=M(r_4,r_3,q_1)	N43=M(q_4,q_3,r_1)
M14=M(r_1,r_4,q_1)	N14=M(q_1,q_4,r_1)
M23=M(r_2,r_3,q_1)	N23=M(q_2,q_3,r_1)
 
jeśli (M12*M43 < 0 i M14*M23 <0) lub (N12*N43 < 0 i N14*N23 <0) to wynik=PRZECINAJĄ SIĘ