Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „ \displaystyle ” na „”
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
Pochodna funkcji <math>\displaystyle
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>(1,+\infty)</math> jest równa


<rightoption><math>\displaystylef'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylef'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>
Linia 14: Linia 14:
<quiz>
<quiz>
Styczna do wykresu funkcji
Styczna do wykresu funkcji
<math>\displaystylef(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
<math>\displaystylef(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>(\frac {\pi}{2},\frac
{\pi}{2})</math> ma równanie
{\pi}{2})</math> ma równanie


Linia 29: Linia 29:
Funkcja
Funkcja


<center><math>\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ 0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \end{cases}  
<center><math>f(x)=\begin{cases} x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ 0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \end{cases}  
</math></center>
</math></center>


Linia 35: Linia 35:
<rightoption>jest ciągła</rightoption>
<rightoption>jest ciągła</rightoption>


<rightoption>ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math></rightoption>
<rightoption>ma pochodną w punkcie <math>x=0</math></rightoption>


<rightoption>ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.</rightoption>
<rightoption>ma ciągłą pochodną w punkcie <math>x=0</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 44: Linia 44:
Równanie <math>\displaystylex^e=ke^x</math>
Równanie <math>\displaystylex^e=ke^x</math>


<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math></wrongoption>
<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>k\in(0,1)</math></wrongoption>


<rightoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math></rightoption>
<rightoption>nie ma rozwiązań dla <math>k>1</math></rightoption>


<wrongoption>ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.</wrongoption>
<wrongoption>ma dwa rozwiązania dla <math>k=1</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
Pochodna funkcji <math>\displaystyle
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa


Linia 65: Linia 65:


<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
Niech <math>x_0\in (a,b)</math> i niech <math>f</math> będzie
funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
funkcją ciągłą w przedziale <math>(a,b)</math> taką, że istnieje granica


<center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
<center><math>\lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
</math></center>
</math></center>


Wtedy
Wtedy


<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>
<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i <math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>


<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>
<math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>


<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<math>\displaystylef'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
<math>\displaystylef'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>

Wersja z 08:51, 28 sie 2023

Pochodna funkcji f(x)=x+1−x−1x+1+x−1 w przedziale (1,+∞) jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}+\sqrt {x+1}}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}} .


Styczna do wykresu funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef(x)=x\sin x} w punkcie (π2,π2) ma równanie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=x}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=x+\frac {\pi}{2}} .


Funkcja

f(x)={x3sin⁡(1x),  dla  x≠0,0,  dla  x=0,


jest ciągła

ma pochodną w punkcie x=0

ma ciągłą pochodną w punkcie x=0.


Równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex^e=ke^x}

nie ma rozwiązań dla k∈(0,1)

nie ma rozwiązań dla k>1

ma dwa rozwiązania dla k=1.


Pochodna funkcji f(x)=xex jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x}\ln x}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}} .


Niech x0∈(a,b) i niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale (a,b) taką, że istnieje granica

limt→0f(x0+t)−f(x0−t)t=A.

Wtedy

istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=A}

jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=A}

jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=\frac A2} .

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Test_9:_Pochodna_funkcji_jednej_zmiennej&oldid=79765”