PEE Moduł 6

Wykład 6. Układy trójfazowe

---

Pojęcia wstępne Definicja układu trójfazowego Układem trójfazowym nazywamy układ trzech obwodów elektrycznych, w których istnieją trzy źródła napięć sinusoidalnych o jednakowej częstotliwości, przesunięte względem siebie o określony kąt fazowy i wytworzone w jednym generatorze zwanym generatorem trójfazowym. Poszczególne obwody generatora trójfazowego nazywać będziemy fazami i oznaczać literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3.

---

Przykład połączenia 3 faz generatora w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 3). Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Poszczególnym napięciom fazowym przypisuje się wskaźniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia liczbowego cyfry 1, 2, 3. Układ napięć źródłowych generatora trójfazowego nazywać będziemy symetrycznym, jeśli napięcia kolejnych faz są przesunięte względem siebie o kąt $120^{\circ }(\frac{2}{3}\pi )$ a amplitudy ich są sobie równe. Wartości chwilowe poszczególnych napięć fazowych układu symetrycznego można zapisać w postaci $e_A(t)=|E_m|sin(\omega t+\mathrm{\Psi })$ $e_B(t)=|E_m|sin(\omega t+\mathrm{\Psi }-120^{\circ })$ $e_C(t)=|E_m|sin(\omega t+\mathrm{\Psi }+120^{\circ })$ w której $E_m$ oznacza amplitudę, $\omega$ pulsację wspólną dla wszystkich faz (przy generacji napięć trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kąt $\mathrm{\Psi }$ jest początkowym kątem fazowym napięcia w fazie A.

---

W normalnym systemie trójfazowym przyjmuje się tzw. kolejność wirowania zgodną, w której faza B opóźnia się względem fazy A o kąt $120^{\circ }$ a faza C (opóźniona względem fazy B o kolejny kąt $120^{\circ }$ ) wyprzedza fazę A o kąt równy $120^{\circ }$. Na rysunku obok (slajd 4) i poniżej przedstawiono przebiegi czasowe napięć trójfazowych przy kącie początkowym $\mathrm{\Psi }$ równym zeru. Napięcia są zmienne sinusoidalnie przy czym występują regularne przesunięcia o kąt $120^{\circ }$ między poszczególnymi sinusoidami.

---

Układ napięć fazowych Wobec sinusoidalnej postaci wymuszeń w analizie układów trójfazowych zastosujemy metodę symboliczną. Zgodnie z tą metodą napięcia sinusoidalne zastępuje się ich postacią zespoloną, która dla przyjętych funkcji sinusoidalnych może być zapisana następująco $E_A=\frac{|E_m|}{\sqrt{2}}{e}^{j\mathrm{\Psi }}$ $E_B=\frac{|E_m|}{\sqrt{2}}{e}^{j\mathrm{\Psi }-120^{\circ }}=E_A{e}^{-j120^{\circ }}$ $E_A=\frac{|E_m|}{\sqrt{2}}{e}^{j\mathrm{\Psi }+120^{\circ }}=E_A{e}^{j120^{\circ }}$ W praktyce wobec nieustannej zmiany wartości napięć w czasie faza początkowa $\mathrm{\Psi }$ może być przyjęta dowolnie. Najczęściej dla wygody zakładać będziemy, że jest równa zeru. Wykres wektorowy napięć trójfazowych opisanych powyższymi zależnościami dla kąta fazowego $\mathrm{\Psi }\ne 0$ przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 5). Punkt wspólny napięć, odpowiadający wspólnemu punktowi połączenia faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Na końcach napięć fazowych zaznaczone są oznaczenia faz (A, B, C). Napięcie fazowe generatora to napięcie między punktem końcowym wektora a punktem zerowym.

---

Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym odbywa się w przyjętym układzie współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Rysunek powyżej pokazuje wektory napięć generatora trójfazowego wirujące w czasie. Wektory fazy B i C nadążają za wektorem A, przy czym przesunięcia fazowe między nimi są stałe i równe dokładnie $120^{\circ }$. Ważną cechą trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie się sumy napięć fazowych $E_A+E_B+E_C=0$ Wartość zerowa sumy wynika bezpośrednio z symetrii poszczególnych napięć. Mianowicie $E_A+E_B+E_C=E_A+E_A{e}^{-j120^{\circ }}+E_A{e}^{j120^{\circ }}=$ $=E_A(1-0,5-j\frac{\sqrt{3}}{2}-0,5+j\frac{\sqrt{3}}{2})=0$

---

Układ napięć międzyfazowych Oprócz napięć fazowych wyróżnia się układ napięć międzyfazowych, zwanych również liniowymi, czyli napięć panujących między punktami zewnętrznymi poszczególnych faz. Przy trzech napięciach fazowych można wyróżnić trzy napięcia międzyfazowe: $E_{AB}$, $E_{BC}$ oraz $E_{CA}$, przy czym $E_{AB}=E_A-E_B$ $E_{BC}=E_B-E_C$ $E_{CA}=E_C-E_A$ Z definicji napięć międzyfazowych wynika, że niezależnie od symetrii ich suma jest zawsze równa zeru gdyż wszystkie napięcia tworzą trójkąt zamknięty. Rysunek na sladzie nr 7 pokazuje układ napięć międzyfazowych generatora trójfazowego z przyjętymi oznaczeniami. Symbol $E_{AB}$ oznacza, że strzałka wektora napięcia na wykresie jest skierowana w stronę pierwszego wskaźnika w oznaczeniu (u nas litera A). Z symetrii napięć fazowych wynika bezpośrednio symetria napięć międzyfazowych. Napięcia te są równe i przesunięte względem siebie o kąt $120^{\circ }$, czyli $E_{AB}=E_A-E_B$ $E_{BC}=E_{AB}{e}^{-j120^{\circ }}$ $E_{CA}=E_{AB}{e}^{j120^{\circ }}$ Układ napięć międzyfazowych symetrycznych tworzy więc trójkąt równoboczny. Wykorzystując relacje obowiązujące dla tego trójkąta łatwo jest udowodnić, że napięcie międzyfazowe jest $\sqrt{3}$ razy większe niż napięcie fazowe, co zapiszemy w ogólności jako $|E_{mf}|=\sqrt{3}|E_f|$ gdzie $|E_f|$ oznacza moduł napięcia fazowego a $|E_{mf}|$ moduł napięcia międzyfazowego.

---

Analiza układów trójfazowych Połączenia trójfazowe generatora i odbiornika Układ napięć fazowych generatora może być połączony bądź w gwiazdę bądź w trójkąt. Schemat obu połączeń przedstawiony jest na rysunku obok (slajd nr 8). Przy połączeniu trójkątnym generatora odbiornik jest zasilany napięciem międzyfazowym trójprzewodowym. Przy połączeniu generatora w gwiazdę napięcie zasilające jest napięciem fazowym a liczba przewodów może być równa trzy bądź cztery (przy czterech przewodach zasilających jednym z nich jest przewód zerowy, zwany również przewodem neutralnym).

---

W układzie trójfazowym odbiornik zawiera również trzy fazy, przy czym może być on połączony w gwiazdę lub w trójkąt. Oba sposoby połączenia odbiornika przedstawione są na rysunku na slajdzie nr 8. W zależności od sposobu połączenia generatora i odbiornika można w układach trójfazowych wyróżnić cztery rodzaje połączeń. Są to: generator i odbiornik połączone w gwiazdę (układ gwiazdowy) generator i odbiornik połączone w trójkąt (układ trójkątny) generator połączony w gwiazdę a odbiornik w trójkąt generator połączony w trójkąt a odbiornik w gwiazdę. Z punktu widzenia metodyki analizy obwodów istotne są tylko dwa pierwsze rodzaje połączeń. Dwa pozostałe są wtórne względem pierwszych i nie wnoszą nowych elementów do metody analizy.

---

Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika Rozpatrzmy układ połączeń gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z oznaczeniami prądów i napięć przedstawionymi na rys. 6.8.

---

---

---