MIMINF:Analiza matematyczna 2: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
Diks (dyskusja | edycje)
538 edycji
Janusz (dyskusja | edycje)
803 edycje
Nie podano opisu zmian
Linia 8: Linia 8:


=== Autorzy ===
=== Autorzy ===
* Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
* Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
* Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki
Linia 15: Linia 16:


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
* Funkcje wielu zmiennych:
 
** pojęcie pochodnej
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu
** wzór Taylora
zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych,
** zamiana zmiennych (dyfeomorfizmy)  
równania różniczkowe zwyczajne.
** informacja o twierdzeniu o funkcji uwikłanej i odwrotnej
 
* Całki wielokrotne (w sensie Riemanna), całki iterowane, zamiana zmiennych
# Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic);
* Równania różniczkowe:  
# Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w
** podstawowe pojęcia równań różniczkowych (przestrzeń fazowa, trajektorie, potok,...)  
R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji
** przykłady równań różniczkowych  
wielu zmiennych;
** najprostsze rozwiązania, całki pierwsze
# Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
** układy równań liniowych i własności rozwiązań
# Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne;
# Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.
 
[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]
 


===Literatura===
===Literatura===
# G.M. Fichtenholz, ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', tom I, II i III, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978


<!--
<!--

Wersja z 01:07, 13 sty 2009

Forma zajęć

Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)

Opis

Podstawowe pojęcia i metody rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych.

Sylabus

Autorzy

  • Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
  • Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
  • Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki

Wymagania wstępne

  • Analiza matematyczna 1 oraz Algebra liniowa.

Zawartość

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne.

  1. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic);
  2. Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w

R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych;

  1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
  2. Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne;
  3. Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.

[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]


Literatura

  1. wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978


Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MIMINF:Analiza_matematyczna_2&oldid=75720”