ASD Ćwiczenia 1

Zadanie 1

Udowodnij, że algorytm Najdłuższy-Malejący jest poprawny.

Rozwiązanie

Dla każdego nowego niezerowego elementu x, który jest aktualnie na pozycji j-tej, jeśli wstawiamy x na pozycję i-tą, to w tym momencie na pozycji (i-1)-szej jest pewien jego poprzednik y w najdłuższym ciągu malejącym kończącym się na pozycji j-tej. To znaczy w szczególności, że y>x, oraz że y jest na pewnej pozycji mniejszej od j.

Zadanie 2

Udowodnij, że algorytm Permutacja-Wagowa jest poprawny.

Rozwiązanie

W każdym momencie na wadze jest w sumie pewien spójny przedział ciągu wejściowego, na jednej (lewej lub prawej) szalce są elementy z pozycji parzystych, na drugiej z pozycji nieparzystych.

Zadanie 3

Udowodnij, że algorytm Proste-Pakowanie jest poprawny.

Rozwiązanie

W każdym optymalnym pakowaniu można je tak zmienić, że najmniejszy element będzie razem z maksymalnym, z którym się mieści do tego samego pudełka

Zadanie 4

Przypuśćmy, że mamy wage szalkową i odważniki będące potęgami trójki, dla każdej potęgi dokładnie jeden odważnik. Jak powinniśmy rozmieścić odważniki na wadze, aby doładnie zważyć przedmiot o zadanej wadze x?

Rozwiązanie

Dodajemy minimalną liczbę y>=x, której rozwinięciem w systemie trójkowym są same jedynki, tworzymy liczbę z = x+y, rozwijamy z w systemie trójkowym, a potem odejmujemy od każdej cyfry jedynkę. Jeśli mamy -1, to odpowiedni odważnik kładziemy na szalce razem z danym przedmiotem, jeśli +1, to na drugiej szalce, a jeśli zero - ignorujemy.

Zadanie 4

Udowodnij poprawność algorytmu na cykliczną równoważność słów.

Rozwiązanie

Relacja mniejszości dla ciągów niech będzie relacją mniejszości leksykograficznej. Zdefiniujmy:

$D(u)=\{k:1\le k\le n$ oraz $u^{(k)}>w^{(j)}$ dla pewnego $j\}$,
$D(w)=\{k:1\le k\le n$ oraz $w^{(k)}>u^{(j)}$ dla pewnego $j\}$.

Skorzystamy z prostego faktu: Jeśli $D(u)=[1..n]$ lub $D(w)=[1..n]$, to $u,w$ nie są równoważne.

Poprawność algorytmu wynika teraz z tego, że po każdej głównej iteracji zachodzi niezmiennik:

$D(w)\supseteq [1..i]$\ oraz \ $D(u)\supseteq [1..j]$.

Zadanie 5

Dla jakich ciągów algorytm na cykliczną równoważność wykonuje maksymalną liczbę porównan symboli?

Rozwiązanie

Dla ciągów postaci $1^{*}201,1^{*}20$ o tej samej długości.