PEE Moduł 2

Wykład 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

---

Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego) $u(t)=U_{m}sin(\omega t+\psi )$ Wielkości występujące w opisie mają następujące nazwy i oznaczenia: $u(t)$- wartość chwilowa napięcia $U_m$- wartość maksymalna (szczytowa) napięcia zwana również amplitudą $\psi$- faza początkowa napięcia odpowiadająca chwili t=0 Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\omegat”): {\displaystyle \omegat+\psi} - kąt fazowy napięcia w chwili t $f=1/T$- częstotliwość mierzona w hercach (Hz) $T$- okres przebiegu sinusoidalnego $\omega =2\pi f$- pulsacja mierzona w radianach na sekundę. Wartości chwilowe sygnałów oznaczać będziemy małą literą a wartości maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe dużą. Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napięcia z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. Oś odciętych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy (aktualny kąt fazowy).

---

Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje wartość skuteczna. Dla przebiegu okresowego $f(t)$ o okresie $T$ jest ona definiowana w postaci Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F=\sqrt\left \frac{1}{T} \right \int_{t_0}^{t_o+T}f^2(t)dt } Łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu okresowego nie zależy od wybory fazy początkowej. W przypadku przebiegu sinusoidalnego napięcia $u(t)=U_{m}sin(\omega t+\psi )$ jest równa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U=\left \frac{U_m}{\sqrt 2} \right} a w przypadku prądu sinusoidalnego $i(t)=U_{m}sin(\omega t+\psi )$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I=\left \frac{I_m}{\sqrt 2} \right} Dla sygnału sinusoidalnego wartość skuteczna jest więc $\sqrt{2}$ razy mniejsza niż jego wartość maksymalna. Należy zauważyć, że napięcie stałe $u(t)=U$ jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego częstotliwość jest równa zeru $(f=0)$ a wartość chwilowa jest stała i równa $u(t)=U_{m}sin()=U$. Jest to ważna właściwość, gdyż dzięki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mogą mieć zastosowanie również do wymuszeń stałych przy założeniu $f=0$. Dla sygnału stałego wartość maksymalna i skuteczna są sobie równe i równają się danej wartości stałej.

---

Metoda symboliczna liczb zespolonych analizy obwodów RLC Analiza obwodów zawierających elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudności związane z wystąpieniem w opisie cewki i kondensatora równań różniczkowych. Trudności te łatwo jest pokonać w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda liczb zespolonych, zwana również metodą symboliczną, sprowadzająca wszystkie operacje różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na liczbach zespolonych.

---

WDla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, że rozważany jest obwód szeregowy RLC zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego $u(t)=U_{m}sin(\omega t+\psi )$ Z prawa napięciowego Kirchhoffa wynika następujący związek między napięciami elementów tego obwodu $u(t)=u_R+u_L+u_C$ Biorąc pod uwagę podstawowe zależności definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora $u_R=Ri$ $u_c=1/C\int idt$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle u_L=L \left \frac{di}{dt} \right} otrzymuje się Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U_m sin(\omega t+\psi)=R_i+ \left \frac{1}{C} \right \int idt+L \left \frac{di}{dt} \right}

---

Jest to równanie różniczkowo-całkowe opisujące zależności między wartościami chwilowymi prądu i napięcia wymuszającego w obwodzie. Pełne rozwiązanie tego równania sprowadza się do wyznaczenia dwu składowych prądu, stanowiących odpowiedź obwodu w stanie ustalonym i stanie przejściowym: składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszającego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości); jest to stan który zostanie osiągnięty przez obwód po czasie teoretycznie dążącym do nieskończoności. składowej przejściowej odpowiadającej różnicy między rozwiązaniem rzeczywistym równania różniczkowego a składową ustaloną. Składowa przejściowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zaniknięciu składowej przejściowej nazywamy stanem ustalonym obwodu.

---

Składową ustaloną prądu w obwodzie można otrzymać nie rozwiązując równania różniczkowego opisującego ten obwód a korzystając jedynie z metody liczb zespolonych (metody symbolicznej). Istotnym elementem tej metody jest zastąpienie przebiegów czasowych ich reprezentacją zespoloną. Przyjmijmy, że prąd $i(t)=I_{m}sin(\omega t+\psi )$ oraz napięcie $u(t)=U_{m}sin(\omega t+\psi )$ zastąpione zostały przez wektory wirujące w czasie, odpowiednio $I(t)$ oraz $U(t)$ określone w postaci $U(t)=U_m{e}^j{}^{\psi }{e}^j{}^{\omega }{}^t$ $I(t)=I_m{e}^j{}^{{\psi }_i}{e}^j{}^{\omega }{}^t$ Po zastąpieniu wartości czasowych prądu i napięcia w równaniu (2.12) poprzez ich reprezentację w postaci wektorów wirujących otrzymuje się Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U(t)=RI(t)+L \left \frac{dI(t)}{dt} \right+\frac{1}{C} \int I(t)dt}

---

WPo wykonaniu operacji różniczkowania i całkowania równanie powyższe przyjmuje postać $\frac{U_m}{\sqrt{2}}{e}^j{}^{\psi }=R\frac{I_m}{\sqrt{2}}{e}^j{}^{{\psi }_i}+j\omega L\frac{I_m}{\sqrt{2}}{e}^j{}^{{\psi }_i}+\frac{1}{j\omega C}\frac{I_m}{\sqrt{2}}{e}^j{}^{{\psi }_i}$

---