GKIW Moduł 4

---

---

Przekształcenia 2D, zapis macierzowy Współczesna grafika komputerowa operuje na milionach elementów (punktów, trójkątów). Przy tak dużej liczbie zachodzi konieczność opisania operacji geometrycznych w taki sposób, aby ich wykonanie było z jednej strony efektywne, a z drugiej, aby opis był prosty i ujednolicony. Takie warunki spełnia opis macierzowy. Niech $P={\left[\begin{array}{cc}{x}_p& y_p\\ \end{array}\right]}^T$ opisuje położenie punktu na płaszczyźnie. Najprostszym rozwiązaniem byłoby przyjęcie, że macierz $M(2\times 2)$ opisuje przekształcenie punktu $P$ na $P^{\prime }$ i że $P^{\prime }=M\cdot P$

---

Przekształcenia 2D, obrót, problem przesunięcia I Można zastanowić się nad tym, czy takie podejście do problemu wystarczy do opisu prostych operacji geometrycznych. Rozpatrzmy zestaw przekształceń na płaszczyźnie: obrót, skalowanie, przesunięcie (translację). Można zaproponować macierz 2x2, która, opisuje obrót punktu wokół początku układu współrzędnych. Analogiczny opis można zaproponować dla operacji skalowania.

---

Przekształcenia 2D, obrót, problem przesunięcia II Niech $M_{T1}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right]$. Niech wektor $P=\left[\begin{array}{cc}{T}_X& T_Y\\ \end{array}\right]$ opisuje translację punktu na płaszczyźnie. Czy można znaleźć takie a, b, c, d, aby $M_{T1}=\left[\begin{array}{c}{x}_p+T_X\\ y_p+T_Y\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_p\\ y_p\\ \end{array}\right]$ dla $T_X\ne 0$ i $T_Y\ne 0$ . Widać że nie jest to możliwe dla współrzędnych dowolnego punktu. Na dodatek punkt $P={\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \end{array}\right]}^T$ byłby punktem stałym takiego przekształcenia. Jak zatem opisać translację na płaszczyźnie? Operację tę można opisać macierzą $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& T_X\\ 0& 1& T_Y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ Między współrzędnymi zachodzi następujący związek: $M=\left[\begin{array}{c}{X}_p^{\text{'}}\\ Y_p^{\text{'}}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& T_X\\ 0& 1& T_Y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_p\\ Y_p\\ 1\end{array}\right]$ i jest to równoważne opisowi translacji o wektor w postaci układu równań: $\{\begin{array}{l}{x}_p^{\text{'}}=x_p+T_X\\ y_p^{\text{'}}=y_p+T_Y\end{array}$ Tak wykonana operacja wymaga użycia współrzędnych jednorodnych.

---

Współrzędne jednorodne znormalizowane Niech $x_p,y_p,z_p$, opisują położenie punktu w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych. W grafice komputerowej do opisu położenia oraz opisu operacji (transformacji geometrycznych), którym punkty będą podlegały, jest używany układ współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. Dzięki temu wszystkie stosowane transformacje geometryczne mogą być opisane w identyczny sposób za pomocą mnożenia macierzowego. Jeśli współrzędne $x_p,y_p,z_p$ opisują położenie punktu, to odpowiada temu wektor $P={\left[\begin{array}{cccc}{x}_p& y_p& z_p& 1\\ \end{array}\right]}^T$ we współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. We współrzędnych nieznormalizowanych wektor ten miałby postać $P={\left[\begin{array}{cccc}\stackrel{\sim }{x_p}& \stackrel{\sim }{y_p}& \stackrel{\sim }{z_p}& \stackrel{\sim }{N}\\ \end{array}\right]}^T$ dla $\stackrel{\sim }{N}\ne 0$ . Przy czym $x_p=\frac{\stackrel{\sim }{x_p}}{\stackrel{\sim }{N}}$ , $y_p=\frac{\stackrel{\sim }{y_p}}{\stackrel{\sim }{N}}$ , $z_p=\frac{\stackrel{\sim }{z_p}}{\stackrel{\sim }{N}}$ , co nosi nazwę operacji normalizacji. Zastosowanie w przypadku przesunięcia na płaszczyźnie współrzędnych jednorodnych można sobie wyobrazić jako umieszczenie płaszczyzny, na której pracujemy, w trójwymiarowym układzie współrzędnych, w taki sposób, aby nie przechodziła ona przez początek układu (tzn. dla $z=h_z\ne 0$ ). Wtedy analogiczne opisanie operacji translacji na płaszczyźnie (ale już jako macierz 3x3) da poprawne rozwiązanie, gdyż punkt stały – początek układu współrzędnych jest poza płaszczyzną, na której jest wykonywana operacja. Jednocześnie, aby wynik operacji znajdował się na tej samej płaszczyźnie, najprościej operować na współrzędnych znormalizowanych, czyli pracować na płaszczyźnie $z=1$. Gdyby operacja normalizacji nie została wykonana mogłoby się zdarzyć, że wynik operacji leżałby na innej płaszczyźnie – a to nie miałoby sensu A zatem zawsze jeśli wynik operacji będzie nieznormalizowany zostanie przeprowadzona operacja normalizacji. Analogicznie dla przekształceń trójwymiarowych można wyobrazić sobie umieszczenie przestrzeni 3D i trójwymiarowego układu współrzędnych wewnątrz układu czterowymiarowego, tak aby nie zawierał on początku układu współrzędnych..

---

Przekształcenia 2D Niech położenie punktu o współrzędnych $(x_p,y_p)$ na płaszczyźnie reprezentuje wektor P : $P=\left[\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\\ 1\end{array}\right]$ Jeśli macierz M opisuje pewną transformację geometryczną to operację tę można opisać następująco: $P^{\prime }=M\cdot P$ czyli: $\left[\begin{array}{c}{x}_P^{\text{'}}\\ y_P^{\text{'}}\\ 1\end{array}\right]=M\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\\ 1\end{array}\right]$ gdzie P' opisuje położenie punktu po przekształceniu. Oczywiście, jeśli wynik mnożenia macierzy jest nieznormalizowany, to należy dokonać normalizacji. W grafice komputerowej operacje na płaszczyźnie opisuje macierz 3x3. Można powiedzieć, że macierz M definiuje liniowe funkcje określające każdą ze współrzędnych punktu tzn.: $\{\begin{array}{l}{x}_P^{\text{'}}=f_{XM}(x_P,y_P,z_P)\\ y_P^{\text{'}}=f_{YM}(x_P,y_P,z_P)\end{array}$ Wykorzystując rachunek macierzowy przekształcenia punktu można opisać również za pomocą prawostronnego mnożenia macierzy. Wtedy, dla przyjętych wyżej danych operacja wyglądałaby tak.: ${P^{\prime }}^T=P^T\cdot M^T$ Jak widać tę samą operację można zapisać jako mnożenie lewostronne lub prawostronne przez macierz przekształcenia. Tak naprawdę trudno byłoby wskazać uzasadnienie dla wyboru jednej lub drugiej formy zapisu. W książkach dotyczących grafiki komputerowej w ostatnich latach częściej stosowany jest zapis lewostronnego mnożenia, chociaż są autorzy, którzy nadal konsekwentnie trzymają się mnożenia prawostronnego. Natomiast sposób używania zależy od przyzwyczajeń i upodobań użytkownika. Jedno jest jednak bardzo istotne – konsekwencja. Nie można mieszać postaci opisu.

---

Przekształcenie 2D, symetrie I Można zaproponować pewien minimalny zestaw operacji: symetrie (względem osi układu współrzędnych i środkowa), obroty, przesunięcie (translacja), skalowanie oraz pochylenie.

---

---

---

---

---

Przekształcenie 2D, pochylenie Pochylenie jest rzadziej stosowanym przekształceniem. Daje możliwość zniekształcenia figury. Nie zachowuje odległości punktów. Figura i jej obraz w tym przekształceniu nie są podobne.

---

Przekształcenie 3D, skrętność układu współrzędnych Możliwe są dwa ustawienia osi trójwymiarowego układu współrzędnych. Najczęściej do opisu położenia obiektów na scenie (w przestrzeni obiektu) stosowany jest układ prawoskrętny. Natomiast w operacjach związanych z rzutowaniem układ lewoskrętny. Wybór układu współrzędnych dla operacji rzutowania jest konsekwencją naturalnego rozumienia odległości obiektu od obserwatora. Jeśli osie OX i OY zdefiniują układ współrzędnych na rzutni (utożsamianej z płaszczyzną XOY) (pozioma oś OX skierowana w prawo i pionowa oś OY skierowana do góry), to kierunek wzrostu odległości od obserwatora wskaże oś OZ. Tak zdefiniowany układ współrzędnych będzie układem lewoskrętnym. Niech położenie punktu o współrzędnych $(x_p,y_p,z_p)$ w przestrzeni trójwymiarowej reprezentuje wektor P : $\left[\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\\ z_P\\ 1\end{array}\right]$ Jeśli macierz M opisuje pewną transformację geometryczną w przestrzeni 3D, to operację tę można opisać następująco: $P^{\prime }=M\cdot P$ czyli: $\left[\begin{array}{c}{x}_P^{\text{'}}\\ y_P^{\text{'}}\\ z_P^{\text{'}}\\ 1\end{array}\right]=M\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\\ z_P\\ 1\end{array}\right]$ gdzie P' opisuje położenie punktu po przekształceniu. Oczywiście, jeśli wynik mnożenia macierzy jest nieznormalizowany, to należy dokonać normalizacji. Operacje w przestrzeni 3D opisuje macierz 4x4 w przestrzeni 4D

---

---

Przekształcenie 3D, symetrie I Macierze opisujące symetrie płaszczyznowe względem pozostałych dwóch płaszczyzn (XOY i YOZ) mają analogiczną postać ze zmienionym znakiem przy 1 w odpowiedniej kolumnie.

---

Przekształcenie 3D, symetrie II Podobnie macierze opisujące symetrie osiowe względem pozostałych dwóch osi (OY i OZ) mają analogiczną postać ze zmienionymi znakami.

---

---

Przekształcenie 3D, symetrie IV Jeżeli założyliśmy, że położenie obiektów sceny będzie opisywane w układzie prawoskrętnym, natomiast rzutowanie będzie rozpatrywane w układzie lewoskrętnym, to współrzędne tego samego punktu w obu układach będą się różniły znakiem przy współrzędnej z. Przeliczenie współrzędnych między układami zapewnia macierz symetrii płaszczyznowej względem XOY.

---

Przekształcenie 3D, przesunięcie I Przesunięcie w układzie trójwymiarowym odbywa się w sposób analogiczny do przesunięcia na płaszczyźnie.

---

---

Przekształcenie 3D, obroty I W układzie współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowych zdefiniowanie obrotów wokół osi układu wymaga przyjęcia reguł uznawania obrotów za dodatnie. Najczęściej przyjmuje się konwencję, według której dodatnie obroty są zdefiniowane zgodnie z rysunkiem.

---

Przekształcenie 3D, obroty II Obiekt na rysunku został obrócony o kat $-45^{\circ }$ wokół osi OX.

---

Przekształcenie 3D, obroty III Obiekt na rysunku został obrócony o kat $45^{\circ }$ wokół osi OY

---

Przekształcenie 3D, obroty IV Obiekt na rysunku został obrócony o kat $45^{\circ }$ wokół osi OZ.

---

Przekształcenie 3D, skalowanie Warto zwrócić uwagę na fakt, że jeśli $S=S_X=S_Y=S_Z\ne 0$ to skalowanie można opisać macierzą:

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---