GKIW Moduł 6a

Komputerowe wspomaganie projektowania jest dziedziną stosunkowo nową, ale szeroko wykorzystywaną przez różnych specjalistów. Różnorakie zastosowania wymagają definicji – opisu reprezentacji różnych obiektów. Z jednej strony typowe obiekty mechaniczne czy architektoniczne, z drugiej efekty specjalne filmów science fiction, gdzie jedynym ograniczeniem jest wyobraźnia twórców. Z drugiej strony systemy wspomagania projektowania dają dodatkowe możliwości wykonywania wielu obliczeń związanych bezpośrednio z dziedziną zastosowania – obliczeń konstrukcyjnych czy wytrzymałościowych. Oczywiście grafika komputerowa daje możliwość zobaczenia projektu – możliwość wizualizacji wyobrażeń projektanta. Niezbędne staje się narzędzie do modelowania kształtu – obiektu, powierzchni. Warto zwrócić uwagę na fakt, że użytkownicy takich systemów reprezentują różne poziomy przygotowania informatycznego. System modelowania powinien być więc prosty i efektywny, powinien dawać możliwość definicji kształtu za pomocą minimalnej liczby parametrów, a modyfikacja kształtu powinna dotyczyć wybranego fragmentu, a nie całości krzywej czy powierzchni.

---

W latach sześćdziesiątych XX wieku w fabryce Renault rozpoczął pracę pierwszy system modelowania geometrycznego na użytek komputerowego wspomagania projektowania. Twórcą tego systemu był P. Bézier – będący jedną z najważniejszych postaci w tej dziedzinie. Dzisiaj każda fabryka samochodów projektuje kształty karoserii wykorzystując modelowanie geometryczne. Istnieje wiele metod modelowania krzywych i powierzchni. Mają one różne właściwości i wymagają osobnego omówienia.

---

Wydawać by się mogło, że najprostszą forma modelowania krzywej jest wskazanie zbioru punktów na niej leżących a następnie połączenie ich krzywą interpolującą – najprościej wielomianową. Jeżeli dany jest ciąg parami różnych liczb Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0, t_1, t_2, …t_n } – węzłów interpolacyjnych i odpowiadających im punktom Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P_0, P_1, P_2,…P_n.} To poszukujemy krzywej wielomianowej P(t) takiej, że jest ona stopnia co najwyżej n oraz P(ti)=Pi dla każdego i. Tak sformułowane zadanie jest zadaniem interpolacyjnym Lagrange’a i ma dokładnie jedno rozwiązanie w postaci: $P(t)={\mathrm{\Sigma }}_{j=0j\ne i}^n{P}_i(\prod _{j=0}^n\frac{t-t_j}{t_i-t_j})$ Dla małej liczby punktów (kilku) uzyskana krzywa zachowuje się zgodnie z oczekiwaniem. Niestety dla większej liczby punktów – krzywa wykazuje bardzo dużą wrażliwość na zaburzenia węzłów i skłonność do oscylacji – co pokazuje rysunek a). Dodatkowo każdy fragment krzywej zależy od wszystkich węzłów – brak jest lokalnej reprezentacji. Problem oscylacji można rozwiązać korzystając z interpolacji krzywą sklejaną – przedziałami wielomianową niskiego stopnia, rysunek b). Jednak w obu przypadkach kontrola nad kształtem krzywej pomiędzy węzłami jest trudna. Wady te powodują, że takie rozwiązanie jest praktycznie nieprzydatne.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---